11-1

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t
• Leerjaar 3

Wat moet je bij je hebben

-   Schrift en pen

-   Rekenmachine

-   Potlood

π

Oppervlakte rechthoek

De oppervlakte van een rechthoek bereken je met de formule: lengte · breedte. Als de rechthoek ook een hoogte heeft, dus geen plat maar een ruimtelijk figuur is, dan noemen we dit een balk. Deze heeft de afmetingen lengte, breedte en hoogte.

Lengte

                                                        breedte

Oppervlakte van een balk

Oppervlakte Balk

Van een balk kun je  de oppervlakte berekenen door de oppervlakten van alle rechthoeken te berekenen en bij elkaar op te tellen.

De oppervlakte van een balk is de oppervlakte van zijn uitslag

Oppervlakte Balk

Methode

Dit gegeven kun je gebruiken om het rekenwerk wat te verkorten. Hieronder staat welke afmetingen je met elkaar moet vermenigvuldigen om de oppervlakte te berekenen van het betreffende paar zijvlakken:

Oppervlakte A = 2 · Lengte · Hoogte

Oppervlakte B = 2 · Lengte · Breedte

Oppervlakte C = 2 · Hoogte · Breedte

------------------------------------------------- +

Opp. balk = som van de losse oppervlaktes

Vuistregel

Oppervlakte balk = oppervlakte A + oppervlakte B + oppervlakte C

Oppervlakte balk

Probeer het 

Bereken de oppervlakte in cm2 van een balk met de volgende afmetingen:

Hoogte: 15 cm

Lengte: 20 cm

Breedte: 35 cm

Probeer het 

Bereken de oppervlakte in cm2 van een balk met de volgende afmetingen:

Hoogte: 15 cm

Lengte: 20 cm

Breedte: 35 cm

Uitwerking:

Oppervlakte A = 2 · Lengte · Hoogte

Oppervlakte B = 2 · Lengte · Breedte

Oppervlakte C = 2 · Hoogte · Breedte

------------------------------------------------- +

Opp. balk =  opp. A + opp. B +opp.C

Oppervlakte =

2 · 20 · 35 = 1.400

2 · 15 · 35 = 1.050

2 · 20 · 15 = 600

------------ ------------ +

                  = 3.050 cm2

Je gaat vandaag leren wat Pi is en hoe je de omtrek van een cirkel uit kunt rekenen met een formule.

Dit is    , je spreekt het uit als pie

     

  gebruiken we om de omtrek en de oppervlakte 

van een cirkel uit te rekenen. 

π

π

π

π

Pi heeft 22 biljoen cijfers achter de komma, wat schiet je er mee op??

Nu gaan we kijken naar de oppervlakte van een cilinder.

  Omtrek cirkel 

omtrek=π⋅diameter

Diameter=2⋅straal

Diameter=​π​​omtrek​​

OMTREK CIRKEL

Omtrek cirkel=π×diameter

π ≈ 3,14

Zoek π op je rekenmachine en

bereken π × 8

Antwoord 25,13274123

 Omtrek van de cirkel

Cilinder

 Een grondvlak (blauw), een mantel (wit) en een bovenvlak (grijs). Het grond- en bovenvlak zijn beide cirkels die even groot zijn. Hoe bepalen we nu de oppervlakte van de cilinder mantel? De mantel is het gekromde vlak van een cilinder. De mantel is een rechthoek (zie afb.2). Deze rechthoek (mantel) heeft als lengte de omtrek van de cirkel van het grondvlak. Dus als je de omtrek weet van het grondvlak (cirkel) dan weet je ook de lengte van de mantel. De hoogte van de mantel is gelijk aan de hoogte van de cilinder.

Oppervlakte van een cilinder

Oppervlakte cilinder

Om de oppervlakte van een cilinder te berekenen, nemen we dus de oppervlakte van grond- en boven vlak (2 cirkels dus) en de "tussen" mantel.

Oppervlakte cirkel grondvlak: π x  r2. 

Oppervlakte cirkel bovenvlak: π x r2.

Oppervlakte mantel: 2 x π x r x h (hoogte) 

De totale oppervlakte is dus gelijk aan π x r2 + π x r2 + 2 x π x r x h. Anders geschreven: 2 x π x r x r + 2 x π x rh.                                                                                         

Probeer deze opgave te maken

Bereken de oppervlakte van de cilinder met hoogte 18 cm (h) en diameter 8 cm. Bedenk dus dat r = 4.

Probeer deze opgave te maken

Bereken de oppervlakte van de cilinder met hoogte 18 cm (h) en diameter 8 cm. Bedenk dus dat r = 4. Opp cil.= π x r2 + π x r2 + 2 x π x r x h

             =     x 42 +     x 42 + 2 x     x 8 x 18

             = 1005.31 cm2

π

π

π

   Cilinder

Het grondvlak van een cilinder is een cirkel. 

Inhoud cilinder = oppervlakte cirkel x hoogte

Inhoud cilinder =   x straal x straal x hoogte

π

De omtrek en oppervlakte van een cilinder berekenen.

Formule Omtrek cirkel

Formule Oppervlakte cirkel

Wat is de omtrek en  oppervlakte van de cilinder?

Wat is de omtrek en  oppervlakte van de cilinder?

omtrek =     x 8 = 25,13cm

 

 

opp cilinder= π x r2 + π x r2 +                   2 x π x r x h =  x 42 +    x 42 +   

 2  x     x 8x 12=

                       = 703.72 cm2

π

π

π

π

Inhoud balk

oppervlakte grondvlak x hoogte

Lengte x breedte x hoogte

10⋅4⋅3=120cm​3​​

Inhoud balk

Inhoud balk=

Lengte x breedte x hoogte

oppervlakte bodem x hoogte

Inhoud cilinder

oppervlakte grondvlak x hoogte

straal = 5 cm 

hoogte = 6 cm

inhoud=π⋅5​2​​⋅6=471,2cm​3​​

   Cilinder

Het grondvlak van een cilinder is een cirkel. 

Inhoud cilinder = oppervlakte cirkel x hoogte

Inhoud cilinder = pi x straal x straal x hoogte

Inhoud cilinder :

Inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte

Formule

Opp cilinder = opp bovenvlak en opp grondvlak + opp gebogen vlak

 = 2 × opp grondvlak + omtrek grondvlak × hoogte(h)

 = 2 × π × r 2 + 2 × r × π × h

Inhoud = Oppervlakte grondvlak × h

                 = π × r 2 × h

r= straal

11-2 samengestelde figuren

doel: 

Ik kan de inhoud van samengestelde figuren berekenen.

 

 Inhoud Samengestelde figuren

samengestelde figuren

kun je verdelen in bekende ruimte figuren voordat je de inhoud kunt berekenen

Inhoud van samengestelde figuren

Vandaag zoeken we naar manieren om de inhoud van "vreemde" vormen te berekenen.

Inhoud samengestelde figuren

In deze les gaan we kijken naar de inhoud van samengestelde figuren. Je moet eerst gaan kijken uit welke figuren het bestaat.

Een samengesteld figuur bestaat uit 2 of meer ruimtefiguren waarvan we de inhoud afzonderlijk kunnen berekenen.

Samengestelde figuren

Hoe bereken je de inhoud van een samengestelde ruimtefiguur?  

1. Verdeel de samengestelde ruimtefiguur in delen waarvan je de inhoudsformules kent.  
2. Bereken van de verschillende delen de inhoud.  
3. Tel de inhoud van de verschillende delen bij elkaar op of trek ze van elkaar af.

Een balk, waar een stuk is weggezaagd óf twee balken op elkaar!

50⋅65⋅40−50⋅20⋅20

50⋅65⋅20+50⋅45⋅20

Bedenk eerst hoe een figuur is opgebouwd (zie boven) en schrijf op hoe je de inhoud gaat berekenen.

óf

(. = x)

Inhoud samengestelde figuren

Inhoud van ruimtefiguren

• De inhoud van ruimtefiguren:

oppervlakte grondvlak x hoogte

   

• Alleen bij een kegel en een piramide geldt:

1/3 x oppervlakte grondvlak x hoogte

• Bij samengestelde figuren, verdeel de figuur in delen waarvan je de inhoud kan berekenen

Inhoud samengestelde figuren

Bij een samengesteld figuur zijn twee mogelijkheden..

1. Samengevoegde bekende ruimtefiguren. 

    Hierbij bereken je de inhoud van de losse figuren. 

    De antwoorden tel je bij elkaar op.

2. Een ruimtefiguur, waar een uitsparing in zit in de vorm van een ander         

     ruimtefiguur.

     Hierbij bereken je de inhoud van de figuren.

     De uitsparing(en) haal je van de 'grote' vorm af.

In de volgende slide worden voorbeelden uitgerekend.

Inhoud berekenen van samengestelde figuren.

Let goed op de uitwerkingen in de voorbeelden. Benoem de gedeelten die je berekent. Laat zien of je ze bij elkaar op moet tellen of van elkaar af moet halen.

Schrijf de berekeningen allemaal op.

Wat je intoetst op de rekenmachine zijn ook berekeningen!

inhoud samengestelde figuren

Uitdaging

Bereken de inhoud van de figuur hiernaast.

Heel belangrijk voor de toets

Inhoud kubus, balk en prisma: formules zijn hetzelfde 

Inhoud kubus = inhoud balk = inhoud prisma 

= oppervlakte bodem x hoogte

Doel

Op het einde van deze les:

- kan je de inhoud van een Prisma berekenen

- Kan je verschillende prisma's berekenen

De inhoud van een prisma berekenen

De inhoud van een prisma kun je berekenen met de volgende formule: Inhoud prisma= Oppervlakte grondvlak x hoogte. 

Wat handig is om te onthouden is dat je een prisma altijd zó moet neerzetten dat hij in de hoogte gelijk blijft.

Eigenschappen van een Prisma

1.  - De bovenkant en onderkant van een prisma hebben dezelfde vorm, dit kunnen allebei grondvlakken zijn.
   
2. - Alle zijkanten van een prisma hebben de vorm van een rechthoek.
   
3. - De boven en onderkant van een prisma hebben de vorm van een veelhoek.
   
4. - De hoogte van het prisma is de afstand tussen het grondvlak en bovenvlak.-
   

0

Stappen plan

Stap 1: Identificeer het grondvalk en bovenvlak van de prisma.

Stap 2: Schets voor jezelf het grondvlak op een kladblaadje en verdeel deze in berekenbare stukken om de oppervlakte te kunnen bepalen.

Stap 3: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

Stap 4: Bepaal de hoogte van het prisma.

Stap 5: Vul je gegevens in in de formule: Inhoud prisma=oppervlakte van het grondvlak·hoogte

0

Een prisma is een meetkundig figuur dat bestaat uit allemaal rechthoeken, behalve 2.

Deze 2 andere vlakken zijn een n-zijdige veelhoek. Bijvoorbeeld een driehoek, vierhoek, vijfhoek of n-hoek.

Deze twee grensvlakken zijn evenwijdig. We noemen deze 2 grensvlakken het bovenvlak en grondvlak.

Bij een prisma hoeft het grondvlak niet altijd op de grond te liggen. Het grondvlak kan bijvoorbeeld ook rechtop staan.

Een prisma is een meetkundig figuur dat bestaat uit allemaal rechthoeken, behalve 2.

Deze 2 andere vlakken zijn een n-zijdige veelhoek. Bijvoorbeeld een driehoek, vierhoek, vijfhoek of n-hoek.

Deze twee grensvlakken zijn evenwijdig. We noemen deze 2 grensvlakken het bovenvlak en grondvlak.

Bij een prisma hoeft het grondvlak niet altijd op de grond te liggen. Het grondvlak kan bijvoorbeeld ook rechtop staan.ekst

Bereken de inhoud van de prisma

Het grondvlak van het prisma is driehoek CGJ . De hoogte van het prisma is IJ (of AB of HG)

De hoogte van het prisma is dus 5 cm.

Gebruik formule:                                                              Inh prisma = oppervlakte grondvlak x hoogte 

oppervlakte grondvlak prisma = oppervlakte driehoek CGJ = 1/2 x basis x hoogte = 

1/2 x CG x BC = 1/2 x 4 x 2 = 4

Inhoud prisma wordt nu dus:                                      4 x hoogte prisma = 4 x 5 = 20 cm3

Probeer deze

Gegeven is een prisma met de hoogte h = 5 cm, basis b= 3cm

Hoogte l= 4cm

Gegeven is een prisma met de hoogte h = 5 cm, basis b= 3cm

Hoogte l= 4cm

Bereken eerste de oppervlakte van het grondvlak G:

G = (basis x hoogte) : 2

G = (3 cm x 4 cm) : 2 = 6 cm²​

inhoud prisma = G x h = 6 cm²​ x 5 cm

inhoud prisma = 30 cm³

Doel

Je kunt de inhoud berekenen van een balk, prisma en cilinder.

Je kunt de inhoud berekenen van samengestelde figuren. 

https://www.wiskundeuitleg.com/3-mavo/h7-oppervlakte-en-inhoud/7-4-inhoud/

https:

Tekst

Formule

Formules