Hoofdstuk 6: dynamische modellen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Discrete Dynamische Modellen

Webgrafieken

met

1. Bereken U0 t/m U5

2. Maak een assenstelsel waarbij je op beide assen U0 t/m U5 uitzet.

3. Teken de volgende punten in je assenstelsel:

(U0, U1), (U1, U2), (U2, U3), etc. 

4. Welke formule hoort er bij de lijn waar deze punten op liggen?

U​n​​=2U​n−1​​+1

U​0​​=1

Webgrafieken

Mét y = x, zonder rekenwerk

Dekpunt 

x- coördinaat van het snijpunt van y = ax + b en y = x

GR 

2nd - zoom (format) - Web

Formule invoeren

Trace - pijltjes - tadaa :-)

Aan de slag

Maak zelf 9, 10, 11, 12, 13

Directe formules 

Even ophalen

Bij de recursieve formule                                             (U0, U1), (U1, U2) etc. in een assenstelsel zetten gaf welke lijn? 

Een directe formule bij                                                met                        geeft (met gewoon 'U' en 'n' op de assen):

U​n​​=2U​n−1​​+1

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08

U​0​​=100

Stapje moeilijker

                                                   met

Stap 1: bereken het dekpunt met 1,08ū + 500 = ū

Stap 2: vul ū, U0, n en a in, in de standaard directe formule: 

Stap 3: bereken A en geef de formule

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08+500

U​0​​=100

u​n​​=A⋅a​n​​+ ​u​​​

Uitgewerkt

                                                   met

1,08ū+500 = ū dus 0,08ū = 500 dus ū = 6250

A = -6150

U​n​​=U​n−1​​⋅1,08+500

U​0​​=100

100=A⋅1,08​0​​+6250

100=A+6250

u​n​​=−6150⋅1,08​n​​+6250

Stel de recursieve formule op

Een populatie van 4000 herten neemt jaarlijks met 5% toe. 

0,05 (de jaarlijkse toename) noemen we ook wel de groeivoet.

Is het reëel om te denken dat de populatie herten altijd blijft groeien?

U​n​​=U​n−1​​+0,05U​n−1​​

G = grenswaarde

Remfactor:

Zorgt ervoor dat de groei afneemt

Ligt tussen 0 en 1

Wordt kleiner naarmate de grenswaarde bereikt wordt

U​n​​=U​n−1​​+0,05U​n−1​​⋅(1−​G​​U​n−1​​​​)

Aan de slag

20, 21, 25, 26

Herhaling

SE-stof

Hoofdstuk 2, paragraaf 2.2 t/m 2.6

Hoofdstuk 6, paragraaf 6.1B t/m 6.2A (6.3A optioneel)

Wat moet je kennen en kunnen op het SE

1. Recursieve formules gebruiken en opstellen. Denk eraan U0 te vermelden. 

2. Sigmanotatie gebruiken en de som uitrekenen. 

3. Een webgrafiek tekenen bij een recursieve formule en andersom. 

4. Grenswaarden uitrekenen.

5. Een directe formule opstellen bij een recursieve formule. 

6. Weten wat de groeivoet en remfactor is en hoe je hiermee rekent / redeneert. 

Optie: zelf stukje over prooi-roofdiermodellen doornemen & bonuspunten pakken. 

Prooi-roofdiermodellen

Gedachte-experiment

In een gebied leven prooidieren (hazen) en roofdieren (lynxen).

 Als je alle andere factoren buiten beschouwing laat, hoe zou de populatie van beide groepen zich in de tijd ontwikkelen denk je?

Een voorbeeld

We bekijken een situatie waarbij er in het begin 700 prooidieren zijn en 200 roofdieren. De formules voor beide groepen zijn:

x min = 0, x max = 250, y min = 0, y max = 2250

P​t​​=1,25P​t−1​​−0,0015R​t−1​​P​t−1​​

R​t​​=0,97R​t−1​​+0,00004P​t−1​​R​t−1​​

Rekenen met prooi-roofdiermodellen

       en         geven de evenwichtsstanden aan. 

Bereken         en 

​P​​​

​R​​​

​P​​​=1,25​P​​​−0,0015​R​​​⋅​P​​​

​R​​​=0,97​R​​​+0,00004​P​​​⋅​R​​​

​P​​​

​R​​​

Aan de slag

Maak hierbij opdracht 39, 42