Hoofdstuk 5: kansrekening

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Kansrekenen

Pakken met en zonder terugleggen

Met terugleggen

Zonder terugleggen

Of

Je mag 4 lootjes trekken uit een vaas met 6 lootjes zonder prijs en 5 lootjes met een prijs. Wat is de kans op 1 prijs?

(​1​4​​)⋅​11​​5​​⋅(​11​​6​​)​3​​

(​1​4​​)⋅​11​​5​​⋅​10​​6​​⋅​9​​5​​⋅​8​​4​​

​(​4​11​​)​​(​1​5​​)⋅(​3​6​​)​​

Kansverdelingen

Aankondiging wiskunde Olympiade

Kansverdeling

Stochast = toevalsvariabele

Een vaas bevat 12 knikkers waaronder 4 rode. Je trekt 3 knikkers uit deze vaas. X = het aantal rode knikkers dat je pakt. Stel de kansverdeling op van X.

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 35, 37, 40

Verwachtingswaarde

Verwachtingswaarde

Bij de eindejaarsloterij worden 1.700.000 miljoen loten verkocht. Er is 1 hoofdprijs van 34,4 miljoen, 3 tweede prijzen van 5 miljoen, 15 derde prijzen van een miljoen en 250 prijzen van 10.000 euro. Een lot kost €35,-. Wat is de verwachte winst van deze loterij?

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 43, 46, 47

Binomiale kansen

Binomiaal kansexperiment

Of

Oefenvraag

Stel, je krijgt het volgende uur een SO. Meerkeuze, dat dan weer wel, maar je hebt niet geleerd. Wat is de kans dat je van de 20 vierkeuzevragen er 10 goed gokt?

Uitwerking

P(x=10)=(​20​10​​)⋅(​4​​1​​)​10​​⋅(​4​​3​​)​10​​=0,01

Gelukkig kan dit makkelijker

Pak je GR

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 51, 55, 57, 60

Let op: studiewijzer klopt niet meer helemaal i.v.m. extra les.

Binomiale kansen deel 2

Herinner je je deze nog?

Stel, je krijgt het volgende uur een SO. Meerkeuze, dat dan weer wel, maar je hebt niet geleerd. Wat is de kans dat je van de 20 vierkeuzevragen er 10 goed gokt?

P(x=10)=(​20​10​​)⋅(​4​​1​​)​10​​⋅(​4​​3​​)​10​​=0,01

Maar

Stel, je krijgt het volgende uur een SO. Meerkeuze, dat dan weer wel, maar je hebt niet geleerd. Wat is de kans dat je van de 20 vierkeuzevragen er minstens 10 goed gokt?

Terug naar de GR dus...

Conclusie

Precies aantal: binomPdf

Meerdere opties: binomCdf

Denk erom dat CDF altijd rekent vanaf 0. Soms moet je kansen dus omschrijven.

Zoals bijvoorbeeld

Je gooit 20 keer met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je minstens 8 keer een '6' gooit?

Uitwerkingen

P(X≥8)=1−P(X≤7)

1−binomcdf(20,​6​​1​​,7)=0,011

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 63, 64, 65

n berekenen

Dobbelstenen

Situatie 1: je gooit 10 keer met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je minstens 4 keer 6 ogen gooit?

Situatie 2: je wilt dat de kans dat je minstens 4 keer 6 ogen gooit groter is dan 95%. Hoe vaak moet je gooien?

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 67, 68, 69

Multinomiale kansexperimenten

Dobbelstenen deel 2

Je gooit 10 keer met een dobbelsteen. Wat is de kans dat je drie keer 1 of 2 ogen, drie keer 3 ogen en vier keer 5 of 6 ogen gooit?

Uitwerkingen

Optie 1 (zoals bij wiskunde b): 

Optie 2 (met multinomiaalcoëfficiënten): 

(​6​​2​​)​3​​⋅(​6​​1​​)​3​​⋅(​6​​2​​)​4​​⋅(​10​3,3,4​​)=(​6​​2​​)​3​​⋅(​6​​1​​)​3​​⋅(​6​​2​​)​4​​⋅​3!⋅3!⋅4!​​10!​​

(​6​​2​​)​3​​⋅(​6​​1​​)​3​​⋅(​6​​2​​)​4​​⋅(​10​3​​)⋅(​7​3​​)

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 73, 74

De poissonverdeling

In de wachtrij

Bij de helpdesk van een internetprovider is bekend dat er op maandag tussen 8 en 9 uur gemiddeld 15 telefoontjes binnenkomen. Wat is de kans dat er op een willekeurige maandag tussen 8 en 9 uur meer dan 20 telefoontjes binnenkomen:

a) ervan uitgaande dat de provider 10.000 klanten heeft?

b) ervan uitgaande dat de provider 100.000 klanten heeft?

Uitwerkingen

a) 1 - binomcdf (10.000 ; 15/10000 ; 19) = 0,125

b) 1 - binomcdf (100.000 ; 15/100000 ; 19) = 0,125

De poissonverdeling

Een kleine kans op succes heel vaak herhalen geeft:

Waarbij         = gemiddeld aantal keer succes.

Op GR:

P (X = k) geeft poissonpdf (l, k)

P (X < k) geeft poissoncdf (l, k)

P(x=k)=e​−λ​​⋅​k!​​λ​k​​​​

λ

Zelf aan de slag

Maak hierbij opdracht 77, 79, 80