Warmte & Materialen - Spanning en rek (HAVO)

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

Warmte & Materialen

Spanning en rek (HAVO)

Hoofdstuk Warmte & Materialen

Warmte - Spanning & rek (HAVO)

Warmte & Materialen - Temperatuur
Warmte & Materialen - Faseovergangen

Warmte & Materialen - Warmtetransport
Warmte & Materialen - Soortelijke warmte

Warmte & Materialen - Geleidbaarheid

Warmte & Materialen - Ideale gaswet (VWO)

Spanning (door een kracht)

Als we een kracht op een voorwerp uitoefenen, dan gaat dit voorwerp vervormen. Denk bijvoorbeeld aan het uitrekken van een elastiek. Om dit proces te begrijpen hebben we het begrip (mechanische) spanning nodig. We berekenen de (mechanische) spanning in een kabel als volgt:



waarin:
σ  = spanning (N/m² of Pa (van Pascal)
F  = kracht (N)
A  = oppervlakte (m²)

De doorsnede (A) is een oppervlak in vierkante meter. Dit is het oppervlak waar je tegenaan kijkt wanneer je de kabel zou doorsnijden, afbeelding hieronder. 

Met de onderstaande formules kunnen we met de doorsnede de straal (r ) en de diameter (d ) uitrekenen:

σ=​A​​F​​

A=πr​2​​                d=2r

Rek

Een maat voor hoeveel een voorwerp uitrekt is de rek (ook wel relatieve rek genoemd):


waarin:
ε  = rek (-)
Δℓ  = uitrekking (m)
ℓ₀  = oorspronkelijke lengte (m)

De rek geeft ons de fractie die het materiaal langer is geworden door er een kracht op uit te oefenen, zie afbeelding hieronder.

Als we de rek vermenigvuldigen met 100 %, dan vinden we hoeveel procent het materiaal langer is geworden. Een rek van 0,25 betekent dus dat de kabel 25 procent langer is geworden.

ϵ=​ℓ​0​​​​Δℓ​​

Elasticiteitsmodus

Bij een kleine kracht zal een voorwerp na het uitoefenen van een kracht weer terugschieten naar zijn originele lengte. We spreken hier van elastische vervorming. Dit gebeurt bijvoorbeeld als we een elastiekje een klein stukje uitrekken en weer loslaten.

Zolang materiaal elastisch vervormd wordt, geldt:

 

waarin:

E = elasticiteitsmodus (N/m² of Pa)

σ = spanning (N/m² of Pa)

ε  = rek (-)

De elasticiteitsmodulus E, is een materiaaleigenschap die een maat is voor de stijfheid of starheid van een materiaal. Het bepaalt ook in hoeverre een materiaal uitrekt onder een (mechanische) spanning. 

Voor verschillende materialen staat de elasticiteitsmodus E in Binas vermeld. 

Na het uitoefenen van een te grote kracht zal het voorwerp niet meer terugschieten naar zijn oorspronkelijke vorm. In dit geval spreken we van plastische vervorming.

E=​ϵ​​σ​​

Plastische vervorming

Na het uitoefenen van een te grote kracht zal het voorwerp niet meer terugschieten naar zijn oorspronkelijke vorm. In dit geval spreken we van plastische vervorming.

In het (σ,ε)-diagram hiernaast (spanning tegenover rek) is de overgang van elastische naar plastische vervorming goed te zien. Zolang de grafiek een recht evenredig verband laat zien (een recht lijn door de oorsprong), spreken we van elastische vervorming.

In alle andere gevallen vindt plastische vervorming plaats. De vorm van dit plastische deel is erg afhankelijk van de stof. De maximale spanning die het voorwerp aan kan noemen we de treksterkte.

Plastische vervorming

In het diagram hiernaast zien we twee grafieken van twee soorten kabels die worden uitgerekt. Het materiaal dat hoort bij de rode grafiek kan flink uitgerekt worden voordat plastische vervorming optreedt. We noemen dit voorwerp daarom ook wel elastisch.

Een voorbeeld hiervan is een bungeekoord. Het andere materiaal kan maar een klein beetje worden uitgerekt voordat plastische vervorming optreedt. Dit materiaal is dus niet elastisch. Een voorbeeld hiervan is een stukje kauwgom. Als we een stukje kauwgom vervormen, blijft het direct in zijn nieuwe vorm staan. 

Opgaven

Opgave 1
Een blok met massa m en een blok met massa 2m hangen elk aan een kabel met dezelfde eigenschappen. Vergelijk de spanning, de rek en de elasticiteitsmodulus in de kabels.

Opgave 2
Aan twee kabels hangt elk een blok met massa m. Beide kabels zijn van hetzelfde materiaal gemaakt, hebben dezelfde lengte, maar hebben een grotere diameter. Vergelijk de spanning, de rek en de elasticiteitsmodulus in de kabels.

 

Opgave 3 

Als een spaak in het fietswiel wordt gemonteerd, wordt de spaak ook gespannen. Dit wordt voorspannen genoemd. Een bepaalde roestvrijstalen spaak krijgt een spanning van 190 MPa. De doorsnede van de spaak is 2,63 mm².

a. Bereken de spankracht in de voorgespannen spaak.

b. Bereken hoeveel procent de voorgespannen spaak is uitgerekt.

Opgave 4 

Tijdens het springen oefent een kangoeroe een maximale spanning van 27 MPa uit op de pees van de spier waarmee de kangoeroe afzet tegen de grond. De pees rekt daarbij 2,5% uit. De uitrekking van de pees is lineair. Bereken de elasticiteitsmodulus van de pees.

Opgaven

Opgave 5

Een lift met een massa van 300 kg mag maximaal 800 kg aan massa vervoeren. De lift hangt aan een stalen kabel. Zonder belasting is de kabel 20 meter lang. Met maximale belasting wordt de kabel 0,50 cm langer.

a. Bereken de spanning in de liftkabel. 

b. Bereken de diameter van de liftkabel bij maximale belasting.

Opgave 6
Bestudeer het onderstaande diagram:







a. Geef aan in welk gebied elastische en plastische vervorming plaatsvindt.
b. Geef aan in welk gebied de formule voor de elasticiteitsmodulus geldt.
c. Geef ook in de grafiek de treksterkte van het materiaal aan.

Opgaven

Opgave 7
In het onderstaande diagram wordt de relatie tussen de spanning en de rek van twee verschillende stoffen vergeleken.


 

Opgave 7 (vervolg)
a. Welke stof breekt het snelst? Leg je antwoord uit.
b. Welke stof is het meest elastisch? Leg je antwoord uit.