Cirkelbeweging - Algemene gravitatiewet

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5,6

Cirkelbeweging

  Algemene gravitatiewet

Hoofdstuk Cirkelbeweging

Cirkelbeweging - Algemene gravitatiewet

Cirkelbeweging - Gewichtloosheid

Cirkelbeweging - Gravitatie-energie

Cirkelbeweging - Cirkelbeweging
Cirkelbeweging - Middelpuntzoekende kracht

Leerdoelen

Aan het eind van de les kun je...

... de formule voor de algemene gravitatiewet begrijpen en toepassen

... de formule voor de valversnelling en baansnelheid kan afleiden

Newton's kanon

Voor Newton's ontdekkingen, dachten wetenschappers dat de natuurwetten op aarde anders waren dan de natuurwetten in de ruimte. In de ruimte zien we objecten namelijk vaak in cirkelbanen bewegen, terwijl dit op aarde slechts zelden
gebeurt.

Newton liet echter
zien dat met
dezelfde formule
zowel het vallen van
voorwerpen op aarde
als de planeetbanen
verklaard konden
worden.

Newton stelde een gedachte experiment voor. Stel dat we een gigantisch kanon op aarde zouden bouwen (zie afbeelding), dan moet het mogelijk zijn om de kogel zo snel af te schieten dat de valbeweging van de kanonskogel dezelfde bocht maakt als de kromming van de aarde.

Wanneer de snelheid niet groot genoeg is, zal de kogel weer terugvallen naar de aarde (A & B). In dat geval zou de kogel altijd vallen, maar nooit dichter bij de aarde komen. De kogel zal dan in een cirkelbaan om de aarde bewegen, zoals ook de maan dat doet (C). Newton liet hiermee zien dat hij met de zwaartekracht de baan van de maan kon verklaren!

Wanneer de kogel met een iets grotere snelheid afgeschoten wordt, wordt de baan ellipsvorming (D), en bij te grote snelheid ontsnapt de kogel aan de gravitatie van aarde (E).

Gravitatiewet

Newton begreep ook dat alle voorwerpen in het universum elkaar aantrekken doormiddel van de gravitatiekracht. De gravitatiekracht is een ander woord voor de zwaartekracht, maar meestal gebruiken we het woord 'zwaartekracht' voor het beschrijven van vallende voorwerpen op aarde en het woord 'gravitatiekracht' voor het beschrijven van de beweging van hemellichamen.

Deze gravitatiekracht wordt beschreven met de formule:

waarin:

F_g = gravitatiekracht (N)
G  = gravitatieconstante (N·m²·kg^-2)

M  = grote massa (kg)
m  = kleine massa (kg)

r   = afstand tussen massamiddelpunten (m)

De waarde voor G is in BINAS T7 terug te vinden. De massa van planeten en andere hemellichamen is terug te vinden in BINAS T31.

F​g​​=​r​2​​​​GMm​​

Valversnelling

Als we deze formule gelijkstellen aan de al bekende formule F_z = mg, dan vinden we:






Met deze formule kunnen we de valversnelling van elk hemellichaam uitrekenen, zolang we de straal en de massa van het hemellichaam weten.

We kunnen ook de valversnelling op 400 km hoogte aan boord van het ISS, het internationale ruimtestation, uitrekenen:





Er is dus wel degelijk een valversnelling aanwezig aan boord van het ISS.

F​z​​=F​g​​

→mg=​r​2​​​​GMm​​

→g=​r​2​​​​GM​​

g=​r​2​​​​GM​​

g=​((6,371+0,400)⋅10​6​​)​2​​​​6,67⋅10​−11​​⋅5,972⋅10​24​​​​=8,69 m⋅s​−2​​

Baansnelheid

Als een object een cirkelbaan maakt om bijvoorbeeld de aarde, dan weten we dat er een middelpuntzoekende kracht werkt die geleverd wordt door de gravitatiekracht. In dit geval geldt dus:

We hebben dan een formule voor de baansnelheid:


waarin:
v_baan = baansnelheid (m/s)
G  = gravitatieconstante (N·m²·kg^-2)
M  = grote massa (kg)
r   = baanstraal (m)

Dit is ongeveer 1/5de deel, oftewel 0,2 deel, van de aardse gravitatie. Dat kunnen we ook noteren als 0,2·g.

F​mpz​​=F​g​​

→​r​​mv​2​​​​=​r​2​​​​GMm​​

→​r​​v​2​​​​=​r​2​​​​GM​​

→v​2​​=​r​​GM​​

→v​baan​​=√​​r​​GM​​​​​

v​baan​​=√​​r​​GM​​​​​

Opgaven

Opgave 1

Laat met behulp van de formule van de gravitatiekracht en eenheidsbepaling zien dat de eenheid van G geschreven kan worden als N·m^2·kg^-2 en als m³·kg^-1·s^-2.

Opgave 2

Cavendish bepaalde de constante G door de kracht te meten tussen een loden bol met een massa van 7,3 kg een andere loden bol met een massa van 158 kg. De zwaartepunten van de bollen werden op een afstand van 250 mm van elkaar opgehangen. De kracht die Cavendish mat was gelijk aan 1,23·10^-6 N. Bereken hiermee de constante G.

Opgave 3

Bereken de gravitatiekracht werkende op een persoon van 80 kg in het internationaal ruimtestation (400 km boven het aardoppervlak).

Opgave 4

Geostationaire satellieten zijn satellieten die meedraaien met de rotatie van de aarde om zijn eigen as. 

a. Wat is de omlooptijd van geostationaire satellieten?

b. Bereken op welke hoogte boven het aardoppervlak deze satellieten geplaatst moeten worden met behulp van de derde wet van Kepler (zie BINAS tabel 35A5).

Opgaven

Opgave 5

In deze opdracht bestuderen we twee manieren waarop de massa van de maan gemeten is.

a. In 1966 lukte het de Russen voor het eerst om het ruimtevaartuig Luna 10 in een baan om de maan te krijgen. Luna 10 bevond zich 682 km boven het maanoppervlak en de omlooptijd was 178 minuten. Gebruik deze data om de massa van de maan uit te rekenen. Kijk daarna in BINAS of je de juist waarde gevonden hebt.

b. In 1969 lukte het de Amerikanen om op de maan te landen. Ze vonden dat op het oppervlak van de maan de valversnelling gelijk was aan 1,62 m/s². Gebruik ook deze waarde om de massa van de maan te vinden.

Opgave 6

De maan Oberon van Uranus heeft een omlooptijd van 13,5 dagen. De afstand van Uranus tot zijn maan is 5,826·10⁵ km. Bereken hiermee de massa van Uranus. Kijk daarna wederom in BINAS om te kijken of je de juiste waarde gevonden hebt.

Opgave 7

Leid de derde wet van Kepler af.

Opgaven

Opgave 8

Een satelliet die door de buitenste lagen van de atmosfeer rondcirkelt, ondervindt een kleine wrijvingskracht. Als het geen aandrijfmotor heeft, zal het daardoor in een steeds lagere baan rond de aarde gaan cirkelen en uiteindelijk op de aarde neerstorten (zie de onderstaande grafiek).

Opgave 8 (vervolg)

Op een bepaald moment bevindt de satelliet zich op een hoogte van 400 km boven de aarde. 

Bepaal op dit moment het hoogteverlies per omwenteling om de aarde. Bereken hiervoor eerst hoe lang een omwenteling op deze hoogte duurt.