Les 171 - Het oplossen van vergelijkingen

• Procestechniek
• MBO
• Studiejaar 2

B-PW6 Les 171
Het oplossen van vergelijkingen

Het oplossen van vergelijkingen

Aan het einde van deze les kun je:

• de constante, de onbekende en de variabele uit een wiskundig probleem halen
  
  
• Vergelijkingen omzetten
  
  
• Vergelijkingen oplossen
  
  
• Bekende technische formules omzetten en oplossen

Wat weet je al over vergelijkingen?

Wat weet je al over het oplossen van vergelijkingen?

Definitie en onderdelen van een vergelijking

Vergelijking: een wiskundige stelling waarin de waarden van twee wiskundige uitdrukkingen gelijk aan elkaar zijn gesteld

Formule: Berekenen van volumestroom (m3/s) in een leiding

Wat staat er nu precies in de vergelijking?

Onderdelen van een vergelijking

Onderdelen van een vergelijking: de constante, de onbekende en de variabele

Isgelijkteken (=)

Onbekende: Het onderdeel dat je gaat berekenen. (de volumestroom door de leiding)

Constante: Is altijd gelijk en heeft dus een constante waarde. (de diameter van de leiding)

Variabele: Kan verschillen, de waarde kan dus variëren. (de snelheid van de vloeistof door de leiding)

Isgelijkteken (=)

Het isgelijkteken (=) geeft aan dat wat aan de ene kant van het isgelijkteken staat precies gelijk is aan wat aan wat de andere kant van het isgelijkteken staat.

Anders gezegd:

De getallen en symbolen aan de ene kant van de = hebben een relatie  met de symbolen/getallen aan de andere kant.

F = p x A  (de kracht is afhankelijk van de druk en het oppervlak)

Hoeveel m3 stroomt er per seconde door een waterleiding met een diameter van 5 cm en een waterflow van 4 m/s?

Let om het omrekenen van 5 cm naar 0,05 m.

Volumestroom = 4 x 0,25 x 3,14 x (0,05)^2 = 0,0079 m3/s

Vergelijking opstellen

Vergelijking

Verkorte vergelijking:

Index: 

In bovenstaande formule hebben we te maken met twee soorten kosten. 

• Kosten voor aanschaf (Ka) 
• Kosten voor onderhoud (Ko)

 Deze twee soorten kosten kunnen we uit elkaar houden door de kleine a en o. Deze toevoeging wordt de index genoemd.

Hoeveel printplaten moeten er worden geprint om de installatie in 10 jaar terug te verdienen?

Vergelijking invullen levert op:

• 320.000 + (7.500 x 10) = 6,75 x a
• 395.000 : 6,75 = 58.519 printplaten

Het omzetten van vergelijkingen

Wat weten we al?

• In een vergelijking is altijd een = teken (isgelijkteken) aanwezig.
• Het = teken geef aan dat de waarden aan beide kanten van het teken gelijk zijn.

• De vergelijking is in balans.  
• We kunnen een vergelijking zien als een weegschaal

Een balans is een oude weegschaal waar je gewichtjes opzet.

Het omzetten van vergelijkingen

Stel je hebt de vergelijking:            x + 12 = 29

Je kunt deze vergelijking tekenen op een balans.

De weegschaal moet in balans blijven.

Je moet aan beide kanten van de balans hetzelfde doen.

Dit wordt de balansmethode genoemd.

X = 17

De opgeloste vergelijking is dus:

17 + 12 = 29

Het omzetten van vergelijkingen

• Je krijgt niet alleen te maken met vergelijkingen waarbij waardes worden opgetrokken (+) of afgeteld (-).
  
  
• Je kunt ook te maken krijgen met vergelijkingen waarbij waardes worden vermenigvuldigd (*)

Hoe lossen we dit op?

vermenigvuldigen kan worden weergeven als x, * of als een punt. De laatste twee opties hebben de voorkeur om verwarring met de onbekende X in een formule te voorkomen.

Het omzetten van vergelijkingen

• Je kunt ook te maken krijgen met vergelijkingen waarbij waardes worden gedeeld (:).

• Om dit op te losse moet je als eerste de X naar links verplaatsen.
• Alleen delen/vermenigvuldigen met X is lastig, want X heeft geen waarde.

• We kunnen X ook schrijven als 1X. Hier kunnen we mee aan de slag!

delingen komen voor als : of als /.

Het omzetten van vergelijkingen

• Soms kom je vergelijkingen tegen waarin aan beide kanten een deel hetzelfde is.                                     (4x + 5 = 4x + x)
  
  
• In bovenstaande formule staat aan beide kanten 4x. Je noemt dit deel van de vergelijking gelijknamig.
  
  
• Je kunt gelijknamige delen tegen elkaar wegstrepen.
• 4x + 5 = 4x + x
• x = 5

/.

Vergelijkingen oplossen

Het oplossen van vergelijkingen met de balansmethode

• Je weet in hoe je vergelijkingen kunt oplossen met 1 onbekende (X).
• Maar er zijn ook vergelijkingen met meer onbekenden (X) voorkomen.
  
  
• 4x + 6 = x + 12        (geen gelijknamige delen, dus kunnen niks wegstrepen)
                 Deze vergelijking kunnen we ook oplossen met de balansmethode.

1. Als eerste gaan eerst de X rechts van = weghalen.
2. Als tweede gaan we de 6 links van = weghalen.

Hoe komt je nu aan het antwoord?

3x = 6 omschrijven naar x = 6 : 3 = 2

Negatieve getallen

Maar wat nu als je negatieve getallen zoals -8 of -12 in je vergelijking hebt?

Ook die kunnen wel oplossen ;)

Voorbeeld:

• 5x -12 = 23 - 2x

Haakjes

Maar wat als je in je vergelijking getallen tussen haakjes hebt?

• Voordat we de vergelijkingen kunnen oplossen moeten we eerst de haakjes wegwerken.

Voorbeeld 

• (4-10)-3x = 5(-3x+6)

Kommagetallen

Het oplossen van vergelijkingen met kommagetallen werkt op dezelfde manier als het oplossen van vergelijkingen met hele getalen.

Voorbeeld:

• 3,2x + 4,2 = 13 + x

Breuken

Het oplossen van vergelijkingen met breuken werkt op dezelfde manier. 

 Tip: soms helpt het om de breuk eerst uit te rekenen.

Voorbeeld:

• 1/4x + 3 = 5

Bekende technische vergelijkingen

Met welke vergelijking heb jij op je werk te maken?

Los de onderstaande vergelijking op:
2x - 5 = 11

Los de onderstaande vergelijking op:
3(4x + 2) = 30

Los de onderstaande vergelijking op:
0,5x + 7 = 10

Schrijf 3 dingen op die je deze les hebt geleerd.

De leerlingen voeren hier drie dingen in die ze in deze les hebben geleerd. Hiermee geven ze aan wat hun eigen leerrendement van deze les is.

Schrijf 2 dingen op waarover je meer wilt weten.

De leerlingen voeren hier twee dingen in waarover ze meer zouden willen weten. Hiermee vergroot je niet alleen betrokkenheid, maar geef je hen ook meer eigenaarschap.

Stel 1 vraag over iets dat je nog niet zo goed hebt begrepen.

De leerlingen geven hier (in vraagvorm) aan met welk onderdeel van de stof ze nog moeite. Voor de docent biedt dit niet alleen inzicht in de mate waarin de stof de leerlingen begrijpen/beheersen, maar ook een goed startpunt voor een volgende les.

Maak de oefenvragen.