7.3 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Maak 36

Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie

• Bij een onderzoek onder n personen met populatieproportie p zal de steekproefproportie ^p per steekproef verschillen.
• De waarden van ^p ontstaan uit een steekproevenverdeling die normaal verdeeld is met gemiddelde p en standaardafwijking 0 = wortel ( p(1-p)/n).

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Hiernaast staat deze steekproefverdeling met daaronder 20 steekproefproporties uit deze verdeling.

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Elke steekproefproportie staat als bolletje weergegeven.
• De verwachting is dat 95% van de steekproefproporties in het groene gebied valt

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Hiernaast is bij twee steekproeven ook het interval [^p-2o,^p+2o] getekend als een lijnstuk vanaf ^p -2o tot en met ^p - 2o.

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Bij het groene lijnstuk valt de populatieproportie p binnen dit interval.
• Bij het rode lijnstuk valt de populatieproportie p buiten dit interval.

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• In 95% van de steekproeven zal het interval [^p - 2o, ^p + 2o] de populatieproportie p bevatten. 

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Om het interval  [^p-2o,^p+2o] te berekenen heb je 0 = wortel ( p(1-p)/n) nodig.
• Het probleem is dat p onbekend is, daar ben je immers naar op zoek.
• Een oplossing voor dit probleem is het schatten van p met de steekproefproportie ^p.

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Je vervangt dan p door ^p bij het berekenen van o.
• Voor grotere waarden van n zal deze schatting steeds beter kloppen.
• Zo krijg je een interval dat in 95% van alle steekproeven p bevat, dit heet het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie.

Betrouwbaarheidsinter-val voor een proportie

• Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is  [^p-2o,^p+2o]
• Hierin is ^p de steekproefproportie en 0 = wortel ( p(1-p)/n) met n de steekproefomvang.

Voorbeeld

• Twee dagen voor een verkiezing wordt aan 1200 stemgerechtigde Nederlanders gevraagd of ze van plan zijn te gaan stemmen. 
• Van deze 1200 zeggen 756 inderdaad te gaan stemmen.
• Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie stemgerechtigde Nederlanders die van plan zijn te gaan stemmen.

Voorbeeld

• uitwerking:
  
• ^p = 756/1200 = 0,63 en o = wortel( (0,63*0,37)/1200) = 0,0139...
  
• ^p -2o = 0.63 - 2 * 0,0139... is ongeveer 0,602
  
• ^p + 2o = 0,63 + 2 * 0,0139... is ongeveer 0,658
• Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is [0,602;0,658]
• Rond in een brouwbaarheidsinterval proporties af op drie decimalen, tenzij anders wordt gevraagd.

Aan het werk...

Maak 37, 38, 39  +  nakijken

Huiswerk

Maken 40, 41 + nakijken en insturen via teams.