Hoofdstuk 11

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 2

Samenvatting

Hoofdstuk 11 - Ontbinden in factoren

Leerdoel 1: 

• Je leert wat priemfactoren zijn
  
• Je leert formules ontbinden in factoren

Wat zijn factoren?

Factoren zijn delen van een som die je met elkaar vermenigvuldigd.

Bijvoorbeeld: 4 x 3 = 12

De factoren zijn 4 en 3

Wat zijn priemfactoren?

Priemfactoren zijn de priemgetallen waar je een groter geheel getal door kan delen.

Bijvoorbeeld: 60 = 2 × 2 × 3 × 5

2, 3 en 5 zijn priemgetallen

Wat zijn priemfactoren?

Schrijf 55 als een product van priemfactoren.

55 = 5 × 11

Schrijf 12 als een product van priemfactoren.

12 = 2 × 2 × 3

Formules ontbinden in factoren

Je kan een formule als                     schrijven als een product van factoren.

12 kan je schrijven als 2 × 2 × 3 

kan je schrijven als           

y=12x​2​​

x​2​​

x⋅x

12x​2​​=2⋅2⋅3⋅x⋅x

Formules ontbinden in factoren

Je kan            nu ontbinden in 2 factoren.

Bijvoorbeeld:

Dit noemen we ONTBINDEN IN FACTOREN.

12x​2​​=2⋅2⋅3⋅x⋅x

12x​2​​

12x​2​​=6x⋅2x

12x​2​​=4⋅3x​2​​

Hoe ging dit leerdoel voor je gevoel? 

Meer oefening nodig? Maak opdracht  S1 en S2

😒🙁😐🙂😃

Leerdoel 2: 

• Je leert hoe je een tweeterm ontbind in factoren.

Ontbinden van tweetermen

De formule b = 8a - 28 is een tweeterm

Beide termen zijn deelbaar door?

8a = 2 x 2 x 2 x a 

-28 = -2 x 2 x 7

Zoek de grootste gemeenschappelijke factor: allebei hebben ze 2 x 2 

Door de grootste gemeenschappelijke factor buiten haakjes te halen,

 kan je de tweeterm ontbinden in twee factoren 

b =   4 (2a - 7)

Controleer je antwoord door de haakjes weg te werken.

Ontbinden van tweetermen

          

grootste gemene factor = 

dus 

grootste gemene factor is:

dus 

k=27p​2​​+18p

p=−12b+30

27p​2​​=3⋅3⋅3⋅p⋅p

27p​2​​=2⋅3⋅3⋅p

3⋅3⋅p=9p

k=9p(3p+2)

−12b=−2⋅2⋅3⋅b

30=2⋅3⋅5

2⋅3=6

p=6(−2b+5)

Hoe ging dit leerdoel voor je gevoel? 

Meer oefening nodig? Maak opdracht S3 en S5.

😒🙁😐🙂😃

Leerdoel 3: 

• Je leert hoe je het snijpunt van twee grafieken berekent.

Ontbinden van drietermen

De formule                                    is een drieterm

Wanneer je een dubbele haakjes wegwerkt ontstaat er een drieterm.

   

y=x​2​​+6x+8

y=(x+2)(x+4)=x​2​​+6x+8

Ontbinden van drietermen

Ontbind                                       als een product van 2 factoren.

1) Welk product zoek je en welke som zoek je? 

          De opgeteld (+) is 7 en keer elkaar (x) is 10

2) Maak een schema waarin je opzoek gaat naar de juiste som voor het product.

3) Welke getallen kan je gebruiken om dit product te krijgen en waarbij de som klopt?

     De getallen 2 en 5, want bij elkaar opgeteld 7 en keer elkaar 10.

4) Schrijf de drieterm als een product van 2 factoren. Een formule met dubbele haakjes

   

5) Controleer of het klopt door de haakjes weg te werken. 

   

y=x​2​​+7x+10

× (10)	+ (7)
1 × 10	8
-1 × -10	-8
2 × 5	7
-2 × -5	-7

y=(x+2)(x+5)

Ontbinden van drietermen

Ontbind                                       als een product van 2 factoren.

1) Welk product (×) zoek je en welke som (+) zoek je? 

          De opgeteld (+) is 14 en keer elkaar (x) is 45

2) Maak een schema waarin je opzoek gaat naar de juiste som voor het product.

3) Welke getallen kan je gebruiken om dit product te krijgen en waarbij de som klopt?

     Gebruik de getallen 5 en 9

4) Schrijf de drieterm als een product van 2 factoren. Een formule met dubbele haakjes

    Altijd in de standaard vorm: y= (x+...)(.x+...)    dus y=(x+5)(x+9)

5) Controleer of het klopt door de haakjes weg te werken. 

   

y=x​2​​+14x+45

× (45)	+ (14)
3×15	17
5 × 9	14
×
×

Hoe ging dit leerdoel voor je gevoel? 

Meer oefening nodig? Maak opdracht S4 en S6.

😒🙁😐🙂😃

Leerdoel 4: 

• Je leert hoe met ontbinden in factoren een vergelijking oplost.
  
• Je leert hoe je de snijpunten van een parabool met de horizontale as vindt.

Met ontbinden in factoren een vergelijking oplossen.

Wanneer het product van 2 factoren 0 is

geldt dat 1 van de 2 factoren 0 moet zijn.

A x B = 0

dan geldt A=0 of B=0 

want 2 x 0 = 0 

0 x 3 = 0 etc.

Met ontbinden in factoren een vergelijking oplossen.

Hieruit volgt dat x+8=0 of x-9=0

De vergelijking heeft 2 oplossingen, namelijk x=-8 of x=9

.

(x+8)(x−9)=0

x​2​​−x−72=0

(Ontbonden in factoren)

Snijpunten parabool met x-as.

De vergelijking heeft 2 oplossingen

namelijk x=-8 of x=9

Deze oplossingen zijn de snijpunten 

van de parabool met de x-as.

Want je hebt berekent wat de oplossingen zijn

wanneer y gelijk is aan 0. 

Dit is namelijk de x-as

x

y

Bereken de snijpunten van de parabool met de x-as

1) Schrijf "= 0"

2) A x B = 0

3) Los op 

Let op! Er zijn meestal 2 oplossingen!!

(2t−8)(t+3)=s

3k(4k+16)=u

(2t−8)(t+3)=0

3k(4k+16)=0

2t−8=0

t+3=0

of

2t=8

t=−3

of

t=4

3k=0

of

of

k=0

4k+16=0

4k=−16

k=−4

Hoe ging dit leerdoel voor je gevoel? 

Meer oefening nodig? Maak opdracht S7 en S8.

😒🙁😐🙂😃

Leerdoel 5: 

• Je leert hoe je kwadratische vergelijkingen moet oplossen.

Kwadratische vergelijkingen oplossen.

1) Kijk of je de formule kan oplossen met bordjes.

   Dit is vaak bij formules met maar 1 variabele.

2) Meer dan 1 variabele? Herleid de formule op nul.

    Zorg dat achter het '=teken' nul komt te staan.

3) Ontbind de tweeterm of drieterm in factoren.

     Plaats haakjes in de vergelijking.

4) Los de vergelijking op met de regel A × B =0

    Dan geldt A=0 of B=0

Los de vergelijkingen op: 

Op de volgende slide staan de uitwerkingen.

a​2​​+9a+18=0

3t​2​​+9t=0

100−d​2​​=19

(p−5)(p+6)=26

Gebruik de stappen van uit de vorige slide.

Los de vergelijkingen op:

Zie volgende slide

a​2​​+9a+18=0

3t​2​​+9t=0

100−d​2​​=19

(p−5)(p+6)=26

(a+2)(a+9)=0

a+2=0

a+9=0

a=−2

a=−9

v

v

3t(t+3)=0

3t=0

t+3=0

t=0

t=−3

v

v

100−d​2​​=19

d​2​​=81

d=9

d=−9

v

Het kan voorkomen dat dubbele haakjes op 'nul' moet herleiden. Dan moet je eerst de haakjes wegwerken voordat je op nul kan herleiden. De stappen staan hieronder:

1) Haakjes wegwerken, anders kun je niet op nul herleiden.

2) Korter schrijven want je hebt gelijksoortige termen.

3) Herleiden op nul want je kunt nu niet de regel A x B = 0 toepassen.

4) Ontbinden in factoren. Het is een drieterm dus in de standaard vorm: y= (x+...)(.x+...)   

5) Stel beide factoren gelijk aan nul. AxB=0

6) Los de vergelijkingen op. Dus wat moet er op de plek van p komen te staan? Er zijn weer 2 oplossingen.

(p−5)(p+6)=26

p​2​​−5p+6p−30=26

p​2​​+p−30=26

p​2​​+p−56=0

(p+8)(p−7)=0

p+8=0

p−7=0

p=−8

p=7

v

v

Hoe ging dit leerdoel voor je gevoel? 

Meer oefening nodig? Maak opdracht S9

😒🙁😐🙂😃

Ben je voldoende voorbereid voor de toets? 

😒🙁😐🙂😃

Verwacht je een goed cijfer te halen?

😒🙁😐🙂😃

Veel succes!

Je kan het!