les 1 basisvaardigheden en grootheden en eenheden

• Beveiliging
• MBO
• Studiejaar 3

Basisvaardigheden

Na deze lessen weet/kun je:

• het verschil tussen grootheden en eenheden
• waarom er standaardeenheden zijn
• eenheden in elkaar omrekenen
• hoe je rekent met machten van 10
• het juiste aantal significante cijfers bepalen bij een berekening
• bepalen wat een meetonzekerheid is
• verbanden leggen en grafieken tekenen

Grootheden en eenheden

Eigenschappen die we kunnen meten noemen we grootheden. Voorbeelden hiervan zijn: lengte (ℓ), oppervlakte (A), massa (m), tijd (t), snelheid (v), temperatuur (T).

Waarin we die eigenschappen uitdrukken noemen we eenheden. Voorbeelden van eenheden zijn: meter (m), vierkante meter (m²), kilogram (kg), seconde (s)

Wanneer we een meetresultaat willen noteren, schrijven we altijd eerst de grootheid op, daarna een = teken, dan het getal en tenslotte de eenheid.

Voorbeeld: 

p = 10,4 N/m²

SI-eenheden 

Er zijn 7 basis S.I.-eenheden afgesproken, waarmee je allerlei andere eenheden kan afleiden door deze te combineren.

^{Basis SI-eenheden, afgeleide SI-eenheden en niet-SI-eenheden}

Andere eenheden 

Andere SI-eenheden als Newton (N) en Joule (J) kun je in basiseenheden uitdrukken:

N = kg·m·s¯² 

W = J/s = J·s¯¹ = kg·m²·s¯²·s¯¹ = kg·m²·s¯³

Je hebt ook "andere eenheden" zoals de inch, mijl, calorie. 

Deze moet je (ingewikkeld) omrekenen.

Opgaven

Opgave 

Zijn de volgende begrippen SI-eenheden of niet:

a. Meter

b. Kilometer per uur

c. Centimeter

d. Gram

e. Kubieke meter

f. Meter per seconde

g. Liter

h. Kilogram

i. Kilogram per kubieke meter

 

Opgave 

Reken de volgende maten om in SI-eenheden:

a. 340 cm³

b. 150 g

c. 25 l

d. 550 mg

e. 400 km²

f. 24 uur

Rekenen met eenheden

Lastig! Geef de eenheid van 'koppel' in de basiseenheden van het S.I.

Koppel = N m, maar N is niet S.I.

N = kg m / s² dus

Koppel is kg m²/s²

Rekenen met eenheden

Zoek de formule voor veerkracht op.

Schrijf hem om naar 'C = ... '

Bepaal de eenheid van C.

Rekenregels

Machten van 10 - waarom?

machten van 10 uit de natuur

10^-10 diameter atoom (m)

10^-8  diameter kleinste virus

10^-6 diameter bacterie

10^-4 dikte papier

10^-2 dikte vinger

10^0 lengte mens

10^2 lengte supertanker

10^4 diepte oceaan

10^6 diameter maan

10^8 afstand aarde maan

vragen: levensduur mens sec 10^9, record 100 m rennen (10^1), duur bliksemflits (10^-4), massa auto (kg) 10^3, massa vliegtuig kg (10^5), een dag sec (10^5)

Significante cijfers

Elke meting in de natuurkunde heeft een onzekerheid / onnauwkeurigheid.

De hoeveelheid cijfers die voor een meting wordt gebruikt zegt hier iets over.

Dit heet dan de 'significantie' van de meting.

Het aantal significante cijfers van een meting is het totaal aantal cijfers waaruit het getal van de meting bestaat.

Let op: nullen aan het begin worden niet meegerekend, nullen aan het eind wel.

Machten van 10 en voorvoegsels hebben geen invloed op de significantie.

Bijv: 

v = 12,30 m/s heeft 4 significante cijfers.

s = 18 km heeft 2 significante cijfers

d = 0,02045 m heeft 4 significante cijfers

U = 32 .10³ V heeft 2 significante cijfers

6. Rekenen met significantie

Bij een berekening wordt de significantie van het eindantwoord bepaald door de gebruikte waarde met het minst aantal significante cijfers.

Bij vermenigvuldigen en delen gaat het om het TOTAAL aantal significante cijfers.

Bij optellen en aftrekken gaat het om het aantal cijfers achter de komma (het aantal decimalen).

Optellen en aftrekken

356,1 + 2,65 = 358,75

Omdat 356,1 heeft één decimaal heeft, mag het antwoord er ook maar één hebben. Dus 358,75 wordt 358,8.

Met 10-machten

1,2 10³ + 80,5 = 1280,5

In het antwoord zijn hieronder de laatste nauwkeurige 'plekken' van de meting aangegeven.

                                   1280,5

Over alles na de honderdtallen (hier de 2) kan je niets zinnigs meer zeggen, en mogen dus niet genoteerd worden. Het antwoord wordt dus 1,3 10³.

Vermenigvuldigen en delen

243 x 5,250

Wiskundig (rekenmachine) is dat: 1275,75

Het getal 243 is 3 significant.

Het getal 5,250 is 4 significant.

Het antwoord mag dus 'maar' in 3 significant.

1275,75 is 6 significant. De laatste 3 cijfers (..575) moeten dus weg. 

Je houdt dan 1,28 over (na de 7 stond een 5 dus omhoog afronden).

Het getal is echter een 'duizendtal' dus moet je dat nog met een 10-macht fixen.

Het antwoord 1275,75 wordt dus significant 1,28 10³

Reken uit en geef het antwoord in de juiste significantie.

A. 45 x 33

B. 48/,3

C: 18,48 - 12,2

D: 12,1+0,9

A. 1485 dus 1,5 10³ (2 significant)

B. 160 dus 2 10² (1 significant)

C. 6,28 dus 6,3 (1 cijfer achter de komma)

D. 13 dus 13,0 (1 cijfer achter de komma)

Meetonzekerheid

• Afhankelijk van je gebruikte meetapparatuur kan je een grootheid maar tot een bepaalde nauwkeurigheid meten.
• In de gemeten waarde zit dan dus een meetonzekerheid.
• Het laatste (meest rechtse) cijfer bevat deze onzekerheid.
• Bij verkeerd gebruik / aflezen van een apparaat spreek je over een systematische fout.

Voorbeeld:

Een meetwaarde van I = 12,4 A kan liggen tussen 12,35 en 12,45... A.

Een meetwaarde van I = 12,367 A kan liggen tussen 12,3665 en 12,3675.. A.

De tweede meting is op een nauwkeurigere stroommeter gedaan.
Afhankelijk van wat voor proef je doet, kan dit nuttig zijn.

Voorbeelden van meetonzekerheid

-Je meet een afstand met een geodriehoek. Je kunt tot op de mm nauwkeurig aflezen. Je kunt dan bijv 13,2 cm of 5,0 cm aflezen maar niet 13,23 cm of 5,00 cm.

-Je weegt iets af op een digitale weegschaal. Het aantal cijfers dat het schermpje achter de komma weer kan geven bepaalt de meetonzekerheid. Eenzelfde blokje kan op verschillende weegschalen de volgende waardes aangeven:

14 g      -       13,7 g      -      13,65 g       -      13,653 g         etc.

Je meet de massa op een digitale weegschaal, deze geeft aan: 5,27 gram. Tussen welke twee waardes kan de werkelijke massa van dit voorwerp liggen?

A. 5,2 en 5,3

B. 5,26 en 5,28

C. 5,265 en 5,275

D. 5,269 en 5,271

antwoord C.

Regels voor grafieken

Er zijn een aantal belangrijke regels voor het maken van grafieken in de natuurkunde:

• Schrijf altijd de grootheden en tussen haakjes de eenheden bij de assen.
  
• Verdeel de assen in gelijke stapjes. Maak de stapjes niet te ingewikkeld. Neem dus bijvoorbeeld niet 0 13 26 39 52 65. Dit is lastig aflezen. Neem hier bijv. 0 20 40 60 80.
• Zet alle meetpunten zo precies mogelijk in het diagram. Het maakt hier niet uit als sommige meetpunten niet mooi op een lijn liggen. 
• Trek dan een vloeiende lijn die zo goed mogelijk door de meetpunten loopt. We noemen dit ook wel de trendlijn.

Het komt regelmatig voor dat een aantal punten niet op de vloeiende lijn ligt. Dit komt doordat zo goed als alle metingen in zekere mate onnauwkeurig zijn. Hoe verder het punt van de lijn af ligt, hoe groter de meetfout.

Grafieken

Een goede manier om metingen weer te geven is met behulp van tabellen en grafieken. Hieronder zien we bijvoorbeeld een tabel met daarin de valtijd van een voorwerp bij verschillende hoogten. Belangrijk is om bij elke kolom de grootheid te schrijven en daarachter tussen haakjes de eenheid.

Van deze tabel kunnen we de volgende grafiek maken:

Regels voor grafieken

Hieronder zien we een voorbeeld van een trendlijn. Wederom zien we hier een vloeiende lijn. Merk op dat deze lijn niet recht
hoeft te lopen. Ook in dit voorbeeld zien we een paar meetfouten. De meetwaarde met de grootste meetfout
is omcirkeld.

Belangrijk:

Als je de grafiek afleest, dan is het belangrijk niet naar de meetpunten te kijken, maar naar de trendlijn zelf. De individuele meetpunten kunnen immers meetfouten bevatten.

Lineair verband

Een ander soort verband is het lineair verband. Als een grafiek recht is en niet door de oorsprong gaat, dan spreken we van een lineair verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling kunnen we bepalen door eerst de waarde van b te bepalen. Wanneer x = 0, krijgen we:

In de grafiek hieronder kunnen we dus bepalen dat b gelijk is aan 40, zie rode pijl. Om de helling te bepalen, moeten we een waarde van 1 op de x-as toenemen en zien hoeveel de waarde op de y-as toeneemt.

In het geval van deze grafiek is 

dat een waarde van 20 op de

y-as. Dus de helling a = 20.

Dat maakt de formule voor dit 

lineair verband:

y=a⋅x+b

y=a⋅x+b→y=a⋅0+b→y=b

y=20x+40

Recht evenredig verband

Van een grafiek kunnen we een formule maken. Als een grafiek recht is en door de oorsprong gaat, dan spreken we van een recht evenredig verband. De bijbehorende formule heeft de volgende vorm:

In vergelijking met het lineair verband is hier de constante b gelijk aan nul. De constante a is hier gelijk aan de helling van de grafiek. In de wiskunde wordt dit ook wel de richtingscoëfficiënt genoemd. De helling wordt gegeven door:

Dit geeft een helling a van:

Dus de formule voor dit recht evenredig verband is:

y=a⋅x

a=​x​2​​−x​1​​​​y​2​​−y​1​​​​

a=​6,0−0​​3,5−0​​=0,58

y=0,58⋅x

Overige verbanden

Op onderstaande afbeelding zijn meerdere verbanden afgebeeld met hun bijbehorende formules, deze moet je allemaal kunnen herkennen.

Het kwadratisch verband neemt de vorm aan van een parabool.

Het omgekeerd evenredig verband begint hoog, en daalt dan snel naar de x-as.

Het omgekeerd kwadratisch verband begint ook hoog, en daalt dan minder snel, maar wel dichter naar de x-as.

Het wortelverband klimt vanuit de oorsprong snel naar een hogere waarde, maar elke waarde waarmee het hierna stijgt neemt minder snel toe, en dus stijgt de lijn steeds langzamer.

y=a⋅x​2​​

y=​x​​a​​

y=​x​2​​​​a​​

y=a√​x​​​

Opgaven

Opgave 

Hieronder zien we een grafiek van de massa en het volume van een aantal stukjes van hetzelfde soort glas.

a. Wat is de dichtheid van dit glas?

b. Waarom staan de meetpunten niet helemaal precies op een lijn?

Opgaven

Opgave 

Een heliumballon stijgt op in de atmosfeer. Bevestigd aan de ballon zit een klein apparaatje waarmee om de paar kilometer de dichtheid van de lucht in de atmosfeer gemeten wordt. De meetgegevens staan in de onderstaande tabel: 

Opgave (vervolg)

a. Teken de grafiek met op de horizontale as de hoogte en op de verticale as de dichtheid.

b. Bepaal met behulp van de grafiek op welke hoogte de luchtdichtheid gehalveerd is.

c. De ballon heeft een massa van 2,0 gram en is met 3,0 liter helium gevuld. Bepaal met behulp van de grafiek hoe hoog de heliumballon maximaal zal opstijgen.

Opgaven

Opgave 

Een persoon doet onderzoek naar de relatie tussen de uitwijking van een veer en de veerkracht. De metingen zijn hieronder weergegeven: 

Opgave (vervolg)

De formule die de veerkracht beschrijft is: 

waarin:

F_v = veerconstante (N)

C = veerconstante (N/m)

u = uitwijking (m)

Bepaal met behulp van de grafiek de grootte van de veerconstante van de veer.

F​v​​=C⋅u

Opgaven

Opgave 

Hieronder zien we een grafiek waarin het verband tussen de valtijd en valhoogte van een voorwerp is weergegeven.

Opgave  (vervolg)

a. Lineariseer de grafiek met een coördinatentransformatie en toon hiermee aan om welk verband het gaat.

b. De bijbehorende formule is:

waarin:

h = hoogte (m)

g = valversnelling (m/s²)

t = tijd (s)

Bepaal met behulp van de grafiek de valversnelling g.

h=​2​​1​​gt​2​​

Opgaven

Opgave 1
Een leerling laat water uit een grote bak stromen en meet om de paar seconden hoeveel water er nog in de bak zit. De leerling zet zijn metingen in het volgende diagram. 

a. Teken de grafiek in het bovenstaande diagram.

b. Omcirkel de twee grootste meetfouten.

Opgave 2

Geef bij de volgende diagrammen aan wat er ontbreekt of niet klopt: