H7: Meetkunde met coördinaten

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Meetkunde met coördinaten

Wat ga je vandaag leren

Wat strijdige, afhankelijke en onafhankelijk vergelijkingen zijn.

Wat de assenvergelijking van een lijn is en hoe je die opstelt

Stelsels vergelijkingen oplossen

Wat gebeurt er als je het stelsel 

oplost?

{​2x−3y=5​4x−6y=7​​

Stelsels vergelijkingen oplossen

En wat gebeurt er bij:

{​2x−3y=5​4x−6y=10​​

Algemeen

De lijnen ax + by = c en px + qy = r zijn:

1. Strijdig of evenwijdig als 

2. Afhankelijk of samenvallend als 

3. Onafhankelijk als 

​p​​a​​=​q​​b​​≠​r​​c​​

​p​​a​​=​q​​b​​=​r​​c​​

​p​​a​​≠​q​​b​​

Assenvergelijking

Gegeven is de vergelijking: 

Welke snijpunten met de assen heeft deze vergelijking? 

​a​​x​​+​b​​y​​=1

Voorbeeldopgave

De lijn k snijdt de x-as in het punt (6,0) en de y-as in (0, q). 

a) Stel een formule op van lijn k in de vorm ax + by = c

b) Voor welke waarde van q is lijn k evenwijdig met de lijn 

l: y = 3x + 2?

Zelf aan de slag

Alle routes maken opdracht 3, 4, 7, 8 en 9

Hoek tussen 2 lijnen

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de hoek tussen 2 lijnen berekent

Teken de lijn              

Hoe zou je (zelf) de hoek berekenen tussen deze lijn en de x-as?

Valt je iets op als je jouw berekening vergelijkt met de formule voor de lijn?

y=​2​​1​​x−1

Vervolg

1. Bereken ook de hoek tussen de x-as en de lijn 

2. Hoe groot is nu de hoek tussen de 2 lijnen? 

y=​4​​3​​x+1,5

Samenvattend

De hellingshoek van een lijn kan berekend worden met 

De hoek        tussen 2 lijnen         en        is altijd kleiner dan 90 graden.

tan(a)=rc

ϕ

β

α

Zelf aan de slag

Iedereen maakt opdracht 13, 14, 15

Afstand tussen punt en punt en punt en lijn

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent tussen 2 punten

Hoe je de afstand berekent tussen een punt en een lijn

Gegeven zijn de punten A(2, 4) en B(4, 6) 

Hoe zou je, anders dan opmeten, de afstand tussen punt A en punt B kunnen uitrekenen?

Vervolg

Bereken de afstand tussen het punt P (5,5) en de lijn k: y = 2x - 4

Afstand punt P tot lijn l

Stap 1: stel een formule op van de loodrechte projectie k van het punt P op de lijn l*.

Stap 2: bereken het snijpunt van de lijn l en de loodrechte projectie k.

Stap 3: Bepaal de afstand tussen het punt P en de loodrechte projectie P'.

* Let op: ax + by = c staat loodrecht op bx - ay = d

Zelf aan de slag

Basisroute: 19, 24, 25, 26

Middenroute: 20, 25, 26, 27

Uitdagende route: 21, 26, 27, 28

De afstandsformule

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent van een punt tot een lijn in de vorm ax + by = c

De afstandsformule

Laten we dit eens uitpluizen voor P(4, 6) en k: 3x + 4y = -5

Hoe vind ik alle punten op de x-as met afstand 3 tot de lijn 

3x + 4y = -5?

Zelf aan de slag

Basisroute: 32, 33, 34, 35

Middenroute: 33, 34, 35, 36

Uitdagende route: 34, 35, 36, 37

Cirkelvergelijkingen

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de formule opstelt van een cirkel

Wat weet je al?

1. Je kunt de afstand tussen 2 punten berekenen.

2. Je weet hoe je de afstand tussen een punt en een lijn moet berekenen.

3. Je weet dat de raaklijn aan een cirkel loodrecht op de straal van de cirkel staat.

Nu verder met cirkels

Gegeven is een cirkel met middelpunt M (Xm, Ym) en de cirkel met alle punten (x, y) waarvoor de afstand tot M gelijk is aan 3. 

Hoe kun je, met behulp van de afstandsformules, een formule opstellen voor deze cirkel? 

Voor een willekeurig punt P op de cirkel geldt

Dat betekent dat

√​(x​P​​−x​M​​)​2​​+(y​P​​−y​M​​)​2​​​​​=r

(x​P​​−x​M​​)​2​​+(y​P​​−y​M​​)​2​​=r​2​​

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent tussen een punt en een cirkel

Bijvoorbeeld

Gegeven is 

met daarop M1 en M2. 

Cirkels c1 en c2 hebben allebei een 

straal van 3 cm en raken de x-as. 

Stel een formule op van c1 en c2.

k:y=​2​​1​​x−2

Zelf aan de slag

Basisroute: 40, 41, 43, 46, 47

Middenroute: 41, 42, 43, 47, 48

Uitdagende route: 42, 43, 44, 48, 49

Cirkelvergelijkingen deel 2

Wat ga je vandaag leren

Hoe je het middelpunt van de cirkel vindt bij de vorm

x​2​​+y​2​​+ax+by+c=0

Vorige les hebben we dit gezien:

(x​P​​−x​M​​)​2​​+(y​P​​−y​M​​)​2​​=r​2​​

Maar wat nou als je de straal en het middelpunt wilt weten van

c:x​2​​+y​2​​+8x−3y+6=0

Uitdaging

Van de cirkel c: 

is de straal 10 en ligt het middelpunt op de lijn k: x + 2y = 1. Bereken a en b algebraïsch. 

x​2​​+y​2​​+ax+by=71

Zelf aan de slag

Basisroute: 52, 53, 54

Middenroute: 52, 53, 54

Uitdagende route: 53, 54, 55

Afstanden bij cirkels

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de afstand berekent tussen een punt en een cirkel

Afstand punt tot cirkel

Kortste stuk tussen punt en cirkel met 

straal r.

Voor een punt binnen de cirkel geldt:

d(A, c) = r - d(A, M) 

Voor een punt buiten de cirkel geldt:

d(B, c) = d(B, M) - r

Bereken de afstand tussen c1 en c2

Op lijn k: x + 4y = 16 ligt punt M

met Xm = 2 en punt N met Xn = 8. 

De cirkels met middelpunten M en 

N raken de X-as. 

Uitdaging

Zelf aan de slag

Basisroute: 58, 59, 60, 61

Middenroute: 59, 60, 61, 62

Uitdagende route: 60, 61, 62, 63

Raaklijnen aan cirkels

Wat ga je vandaag leren

Hoe je gebruik maakt van raaklijnen aan cirkels

Tijd om (bijna) alles samen te voegen

Gegeven is het punt A(2, 3) en de

cirkel 

Stel de formule op van de lijn k 

die de cirkel raakt in punt A. 

c:(x−3)​2​​+(y−1)​2​​=5

Zelf aan de slag

Alle routes maken 66, 67, 68, 69

Raaklijnen aan cirkels deel 2

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de formule op kunt stellen van een lijn die de cirkel raakt.

Tot slot: raaklijnen aan cirkels

Gegeven is de cirkel 

en het punt A(9, 2). 

Stel de formule op van de lijnen die door A gaan en de cirkel raken. 

c:(x−2)​2​​+(y−3)​2​​=25

Zelf aan de slag

Basisroute: 71, 72, 73

Middenroute: 72, 73, 74

Uitdagende route: 73, 74, 75

(Onvolledige) Samenvatting 

Aandachtspunten afstanden

Afstand punt tot punt: 

Afstand punt tot lijn:

 - Optie 1 voor y = ax+b: maak een loodrechte lijn op y en bereken de afstand tussen het punt en het snijpunt. 

- Optie 2 voor ax + by = c: 

Afstand punt tot cirkel: afstand van het punt tot het middelpunt, min de straal. 

d(A,B)=√​(x​a−​​x​b​​)​2​​+(y​a​​−y​b​​)​2​​​​​

d(P,k)=​√​a​2​​+b​2​​​​​​​∣ax​p​​+by​p​​−c∣​​

Aandachtspunten cirkels

Raaklijn aan een cirkel met een punt OP de cirkel: 

formule opstellen van de lijn door middelpunt en raakpunt, raaklijn daar loodrecht op. 

Raaklijn aan cirkel door een punt BUITEN de cirkel:

y = ax + b door dat punt, omschrijven naar ax + by = c en afstandsformule gebruiken.