VWO Oefentoets Hoofdstuk Trillingen

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4

Hoofdstuk Trillingen

In deze oefentoets worden in ... hoofdopgaven ... vragen gesteld. 

Let op A.L.L.E.S.:

Antwoord, Leesbaar, Logisch, Eenheid, Significantie

Oscilloscoop (1/2)

Een luidspreker is met een toongenerator verbonden die een bepaalde toon produceert. Het geluid wordt opgevangen door een microfoon die is aangesloten op een oscilloscoop. 

Op het oscilloscoopscherm is het beeld van figuur a te zien. Even later laat men een andere toon (II) ontstaan, terwijl verder niets aan de opstelling / instelling verandert. Het beeld is dan zoals figuur b weergeeft.

1. Leg uit welke toon hoger is, toon I of toon II. (1-R1)

2. Leg uit welke toon harder is, toon I of toon II. (1-R1)

Oscilloscoop (2/2)

Toon II (fig b) heeft een frequentie van 1250 Hz.

De spanning staat ingesteld op 2,0 V/hokje.

3. Bepaal de stand van de tijdbasis van de oscilloscoop in ms / hokje. (3-T1)

De algemene manier om een harmonische trilling uit te drukken in een functie is, met U als spanning:

                                           (Zie ook BINAS T35B1)

4. Geef de functie van de toon II op de oscilloscoop. (2-T1)

U(t)=A⋅sin(​T​​2⋅π⋅t​​)

Antwoord vraag 1 t/m 4

1.  Als een toon hoger is, dan is de frequentie ook hoger. Dat betekent natuurlijk dat er meer trillingen in hetzelfde tijdsdomein zitten. Dat is toon I.

2. Een hardere toon heeft een hoge amplitude. Dus komt het erop neer dat dat ook toon I betreft.

3. Toon II heeft een frequentie van 1250 Hz. Dat betekent dat de trillingstijd T uit te rekenen is met:

Uit de figuur blijkt dat er vier hokjes zijn die één golflengte λ voorstellen. Dus is de tijdbasis uit te rekenen met:

4.  De trillingstijd T is al uitgerekend bij vraag 3. De amplitude is uit te rekenen door de 2 hokjes te vermenigvuldigen met de tijdsbasis van 2,0 V / hokje en komt neer op een amplitude van: A = 4,0 V.

Samen met de trillingstijd T en amplitude A komt daar een functie uit van:

Dat geeft, uitgerekend, een functie van:

U(t)=4,0⋅sin(​0,8000⋅10​−3​​​​2⋅π⋅t​​)

f=​T​​1​​=​1250​​1​​=8,000⋅10​−4​​ s=0,8000 ms

​4 hokjes​​0,8000 ms​​=0,2000 ms/hokje

U(t)=4,0⋅sin(7854⋅t)

Infrasone trillingen (1/5)

In de jaren 80 deed wetenschapper Vic Tandy een toevallige ontdekking. Hij had een zwaard vastgeklemd om het schoon te maken. Het vrije uiteinde van het zwaard bleek uit zichzelf te trillen. Zie schematisch in de figuur hieronder.

Hij verplaatste het zwaard in de kamer. Midden in de kamer trilde het zwaard het hardst. Richting de wanden nam de trilling af, bij de wanden trilde het zwaard niet.

Tandy concludeerde dat infrasone geluidsgolven de oorzaak waren van het trillen van het zwaard. Infrasoon geluid is onhoorbaar voor mensen omdat het een frequentie heeft lager dan 20 Hz. De lengte L van de ruimte is 11,0 m en de temperatuur is 20 °C.

5. Voer de volgende opdrachten uit:

- Teken in je schrift een stippellijn van 8,0 cm en geef op de stippellijn het patroon aan van knopen (K) en buiken (B) van de grondtoon in de kamer.

- Toon met een berekening aan dat de geluidsgolven infrasoon waren.

Infrasone trillingen (2/5)

In 2012 vertoonde een nieuw gebouw van Rijkswaterstaat ongewenste trillingen. Zie figuur 2 voor een foto van dit gebouw. Al snel werd gedacht aan infrasone trillingen. Men startte een onderzoek naar de oorzaak van die trillingen.

Tijdens het onderzoek hebben onderzoekers in beeld gebracht hoeveel klachten er binnen waren gekomen per verdieping. In hun rapport zijn de resultaten weergegeven op de manier van figuur hiernaast.

Hoe donkerder de verdieping is weergegeven, hoe groter het percentage klagers op deze verdieping.

De onderzoekers hebben geconstateerd dat het gaat om een golf in het gebouw.

6. Leg met behulp van figuur 3 uit of dit patroon van klachten beter past bij een staande golf of bij een lopende golf.

Infrasone trillingen (3/5)

Ook staat in het rapport:

 Veel melders zeggen dat de glaswasinstallatie op dat     moment in gebruik was, maar wijzen de glaswasinstallatie   niet aan als mogelijke oorzaak. De melders kunnen zich
 niet voorstellen dat deze installatie dergelijke heftige   trillingen in het gebouw kan veroorzaken

7. Noem het natuurkundig verschijnsel dat hiervoor toch een verklaring kan zijn.

In het rapport staat verder dat de medewerkers hun bureaus soms heftig op en neer voelden trillen. Tijdens het onderzoek zijn daarom de infrasone eigenfrequenties van de bureaus bepaald. 

Een mogelijke methode om deze eigenfrequenties te bepalen is een bureau tussen een luidspreker en een microfoon te plaatsen en de luidspreker steeds een toon met een vaste (infrasone) frequentie te laten uitzenden. Zie schematisch in de figuur hieronder.

Infrasone trillingen (4/5)

Het signaal dat de microfoon opvangt, wordt vastgelegd in een (u,t)-diagram. In figuur 5 staan vier (u,t)-diagrammen. De gestippelde lijn geeft in elke grafiek de trilling van de microfoon weer als er geen bureau tussen de

luidspreker en de microfoon staat. De doorgetrokken streep geeft een mogelijke meetuitkomst als er wel een bureau tussen de luidspreker en de microfoon staat.

8. Welk diagram geeft het juiste meetresultaat weer als de infrasone frequentie van de luidspreker overeenkomt met de eigenfrequentie van het bureau?

A diagram I

B diagram II

C diagram III

D diagram IV

Infrasone trillingen (5/5)

In het rapport staat verder:

 Toevalligerwijs valt de frequentie van het trillen van de   glaswasinstallatie samen met de eigenfrequentie van de   bureaus (4 Hz).

De glaswasinstallatie bestaat uit een bak die aan staalkabels hangt, waarin de glazenwassers kunnen staan. De totale massa van bak en glazenwassers is 350 kg. De lange staalkabels kunnen worden beschouwd als een veer. De veerconstante van de kabels samen is 2,2·10⁵ N·m⁻¹. De massa van de kabels wordt verwaarloosd.

9. Toon met een berekening aan dat de eigenfrequentie van de glaswasinstallatie met glazenwassers gelijk is aan die van de bureaus.

Antwoord vraag 5

5.-

- Het gaat hier om de grondtoon van een staande golf met aan beide kanten een dicht uiteinde. Dus geldt de formule:

Hierbij is n gelijk aan n = 1, want het gaat hier om de grondtoon.

Dan krijgen we dus:

De golflengte λ is dan uit te rekenen met 

Omdat het hier gaat om geluid wat zich voortplant met de geluidssnelheid bij een temperatuur van 20 C oftewel 293 K.

Die snelheid is v = 0,343·10³ m/s.

Alles invullen geeft dan:

 (Deze frequentie ligt onder de frequentie van hoorbaar geluid.)

ℓ=n​2​​1​​λ

ℓ=​2​​1​​λ

λ=2⋅ℓ=2⋅11,0=22,0 m

f=​λ​​v​​=​22,0​​0,343⋅10​3​​​​=15,6 Hz

Antwoord vraag 6 t/m 9

6. Uit de figuur blijkt dat een deel van de verdiepingen weinig tot geen klachten kende en een deel juist heel veel. Dit patroon past het best bij een staande golf, waar een deel niet in trilling is en een deel voortdurend in trilling is. 

De bodem van het gebouw kan je beschouwen als een dicht uiteinde en de bovenkant van het gebouw als een open uiteinde. Dus het antwoord is een staande golf.

7. Resonantie kan ervoor zorgen dat de trillingsenergie blijft toenemen zolang de trillingsbron aanwezig blijft. De trilling bovenin het gebouw kan hierdoor in de loop van de tijd sterker worden dan de oorspronkelijke trilling van de glaswasinstallatie.

8. Als er sprake is van resonantie is de eigenfrequentie van het bureau gelijk aan de frequentie van de geluidsbron. Bij diagrammen I, II en III zijn de frequenties van de gestippelde en de doorgetrokken lijn niet gelijk aan elkaar. Alleen bij diagram IV zijn de twee frequenties gelijk aan elkaar. Juiste antwoord is dus antwoord D.

9. Voor een massa-veersysteem geldt voor de trillingstijd T en invullen van m = 350 kg en C = 2,2·105 N/m geeft:

Voor de frequentie vinden we dan:

Afgerond is dit inderdaad een frequentie van 4,0 Hz.

f=​T​​1​​=​0,2506​​1​​=3,9902... Hz

T=2π√​​C​​m​​​​​=2π√​​2,2⋅10​5​​​​350​​​​​=0,2506 s

Concertharp (1/3)

Een concertharp is een snaarinstrument. 

Zie figuur rechts. Na aanslaan van 

een snaar ontstaan er golven in de 

snaar en in de lucht.

10. Geef in de tabel op de uitwerkbijlage 

voor elk van deze golven met een kruisje 

aan of deze voornamelijk transversaal of 

voornamelijk longitudinaal zijn.

Een snaar wordt aangeslagen. De lengte van deze snaar is 37,9 cm. De snaar produceert een staande golf met een grondtoon van 440 Hz.

11. Bereken de golfsnelheid in de snaar.

Bijzonder aan een concertharp is het grote aantal 

snaren. Zie figuur links. Iedere snaar kan trillen met een grondtoon en (een veelvoud aan) boventonen.

Hiernaast is een snaar getekend. Neem deze snaar

over in je schrift, met een lengte van 6,0 cm.

12. Geef met letters langs de snaar het patroon van 

knopen (K) en buiken (B) aan als deze snaar trilt in 

de tweede boventoon.

Concertharp (2/3)

Als bij een concertharp een

snaar wordt aangeslagen

ontstaan staande golven. 

In de figuur hiernaast is 

een aangeslagen snaar 

getekend in de uiterste

stand.

13. Welk patroon toont de 

stand van de snaar een 

kwart trillingstijd later?

A patroon A

B patroon B

C patroon C

D patroon D

Een concertharp 

heeft pedalen. 

Door het intrappen 

van een pedaal 

verdraait een wieltje

en worden er twee 

pinnen tegen de 

snaar gedrukt.

De golfsnelheid in 

de snaar wordt als 

constant beschouwd.

14. Leg uit of de grondtoon door het intrappen van het pedaal lager of hoger gaat klinken.

Concertharp (3/3)

Er wordt een andere snaar aangeslagen. Van de trilling is een oscillogram gemaakt. Zie figuur hieronder. De tijd is ingesteld op 2,0 ms per hokje.

15. Voer de volgende opdrachten uit:

 - Bepaal de frequentie van de grondtoon van deze trilling. Geef je antwoord in twee significante cijfers.

 - Leg met behulp van het oscillogram uit of het geluid van deze snaar ook boventonen bevat.

Antwoord vraag 10 t/m 12

10. 

11. De golfsnelheid is te berekenen met de volgende formule:

Het is verleidelijk om voor de golflengte λ = 37,9 cm op te schrijven. Maar zoals in de tekst wordt genoemd, is deze lengte gerelateerd aan de grondtoon, dus λ = 37,9 cm is niet correct. En de grondtoon is een halve golflengte, oftewel:

Hieruit volgt dat voor de golflengte 

λ = 2·37,9 = 75,8 cm = 75,8·10^-2 m. 

Invullen van de formule geeft dan 

een golfsnelheid van:

12. Zie figuur rechts.

v=λ⋅f

​2​​1​​⋅λ=37,9⋅10​−2​​

v=λ⋅f=75,8⋅10​−2​​⋅440=3,3⋅10​2​​ m/s

Antwoord vraag 13 & 14

13. Het gaat hier om een staande golf, dus daarom is A al meteen uitgesloten.

Dan moet het antwoord uit redenering bepaald worden. In de figuur is de snaar dus al in de uiterste stand aangeslagen en zal dus weer omklappen naar het tegenovergestelde na een halve trillingstijd. Dat tegenovergestelde is te zien in B. Daarom is B dus ook niet correct.

Een kwart trillingstijd komt overeen met een toestand van de snaar precies tussenin de aangeslagen toestand én de snaar van B. Dat is precies de toestand dat de snaar volledig recht staat, en dat is in D het geval. Dus D is het juiste antwoord

14. Over de lengte van de snaar kunnen tonen ontstaan wanneer die aangeslagen worden. Als die lengte korter wordt, door het intrappen van het pedaal, wordt ook de golflengte λ van die tonen korter.

Zoals in de tekst wordt weergegeven, de golfsnelheid mag als constant worden beschouwd.

Hierbij is dezelfde formule als eerder van toepassing, namelijk:

Een kortere snaar geeft kortere golflengtes, (1) dus wanneer de golflengte λ korter (kleiner) wordt, wordt de frequentie f groter. Dus de frequentie f wordt hoger.

f=​λ​​v​​

Antwoord vraag 15

15. 

- Bij een diagram als deze moet de frequentie worden bepaald door zoveel mogelijk trillingen in de bepaling mee te nemen. In dit geval krijgen we 4 trillingen over 9¼ hokjes. Dat kunnen we dan correct berekenen door:

Om daaruit de frequentie te berekenen met:

- Op het scherm is geen harmonische trilling zichtbaar. Deze snaar brengt dus naast de grondtoon ook boventonen voort. 

4⋅T=9,25⋅2,0⋅10​−3​​=0,0185 s

T=​4​​0,0185​​=4,625⋅10​−3​​ s

f=​T​​1​​=​4,625⋅10​−3​​​​1​​=2,2⋅10​2​​ Hz