H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

H3.4 vergelijkingen in de meetkunde

theorie A: rekenregels voor wortels
theorie B: Rekenen met wortels
theorie C: Vergelijkingen met wortels
theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken

zonder sin, cos, tan

Ik ken de verhoudingen van de zijden in de 2 standaard driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) en kan deze toepassen

1 / 29

Slide 1: Tekstslide

WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 4

In deze les zitten 29 slides, met interactieve quiz en tekstslides.

Lesduur is: 15 min

Onderdelen in deze les

H3.4 vergelijkingen in de meetkunde

theorie A: rekenregels voor wortels
theorie B: Rekenen met wortels
theorie C: Vergelijkingen met wortels
theorie D: Bijzondere rechthoekige driehoeken

zonder sin, cos, tan

Ik ken de verhoudingen van de zijden in de 2 standaard driehoeken (45-45-90 en 30-60-90) en kan deze toepassen

Slide 1 - Tekstslide

Wortels op rekenmachine

\sqrt ​ 81 ​ ​ ​

Slide 2 - Tekstslide

Wortels

Slide 3 - Tekstslide

Rekenen met wortels

Slide 4 - Tekstslide

Wortels en kwadrateren

kwadrateren

wortel trekken

Slide 5 - Tekstslide

Rekenen met wortels

Slide 6 - Tekstslide

Rekenen met wortels

Afspraak: Je brengt altijd een zo groot mogelijke factor voor de wortel en je laat geen wortels in de breuken van een noemer staan

\frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 4 \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​} = \frac{​ 4 ​ ​}{​ 5 ​} \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

\sqrt ​ 72 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 \cdot 8 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 8 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 8 ​ ​ ​

Slide 7 - Tekstslide

Vergelijkingen met wortels

Slide 8 - Tekstslide

Herleid:

2 \sqrt ​ 24 ​ ​ ​ \cdot - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

2 \cdot \sqrt ​ 6 \cdot 4 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - \frac{​ 8 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 6 ​}

4 \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

2 \frac{​ 2 ​ ​}{​ 3 ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

Slide 9 - Tekstslide

Herleid:

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \sqrt ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ a^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 ​} \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot a

a \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} a \cdot \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 10 - Tekstslide

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als hele getal hebben:

x 3

2 Nu uit noemer (deler) halen:

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ - 10 = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​

\frac{​ x \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ ( 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ + 3 0 ) ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ = 3 \sqrt ​ 15 ​ ​ ​ + 10

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = \frac{​ 9 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \frac{​ \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} \cdot \frac{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

\sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 5 ​}

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + \frac{​ 3 0 ​ ​}{​ 5 ​} \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x = 9 \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + 6 \cdot \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

Slide 11 - Tekstslide

Los algebraïsch op:

1. Ik wil alleen x links als hele getal hebben:

2 Nu uit noemer (deler) halen: gaat niet omdat re verschillende instaan.

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

(\sqrt ​ 3 ​ ​ ​)^{​ [?] ​ ​} \sqrt ​ 6 ​ ​ ​

x \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ + 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = 2 x \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

x \cdot \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 x \cdot \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

x (\sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​) = 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

x = \frac{​ - 4 \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 6 ​ ​ ​ - 2 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ ​}

Slide 12 - Tekstslide

Bijzondere rechthoekige driehoeken

De zijden van een gelijkbenige

rechthoekige driehoek verhouden

zich als 1:1:

De zijden van een driehoek met

hoeken van

verhouden zich als 1:2:

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

°

30 ° e n 60 °

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 13 - Tekstslide

Bijzondere rechthoekinge driehoeken 3.4 theorie D

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 14 - Tekstslide

Snavelfiguur en zandloperfiguur

Slide 15 - Tekstslide

De sinusregel

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

Met 3 "stukjes info" kun je nu bijna

altijd alles in een driehoek berekenen

Let op: bij stompe hoeken

sin (180 ° - α) = sin (α)

Slide 16 - Tekstslide

De cosinusregel

a^{​ 2 ​ ​} = b^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos (α)

b^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + c^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos (β)

c^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 2 ​ ​} + b^{​ 2 ​ ​} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos (γ)

Als je 3 zijdes hebt kun je de hoeken uitrekenen

Als je twee zijdes met de ingesloten hoek hebt, kun je de 3e zijde berekenen

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Berekeningen met bijzondere driehoeken

1 : 1 : \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

1 : 2 : \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 19 - Tekstslide

Bijzondere rechthoekige driehoeken

Slide 20 - Tekstslide

Voorbeeldsom verschillende goniometrie theorieën

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

1. gelijkbenig ? Nee

2. rechthoekige ? Nee

3. Sinusregel? setje + andere zijde of hoek bekend? Ja

omdat hoek C = (setje)

+ een andere hoek

4. Cosinusregel? twee zijden met ingesloten hoek of alle zijden bekent? Nee

105 °

Slide 21 - Tekstslide

Bereken exact de oppervlakte van ABC.

4. Sinusregel

1. Hoeken benoemen

2. Zijden benoemen: a, b en c

3. Hoogtelijn AC berekenen

c = 10 en

4. Nu kun je hoogtelijn C op AB uitrekenen met CAS: cos 30 = c/7,3

cos 30 x 7, 3 = 6,34

5. Daarna opp = 1/2 x hoogtelijn x c = 1/2 x 6,34 x 10 = 31,55

α, β e n γ

α

β

γ

b = 7, 3

a

c

105 °

γ = 105 °

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( α ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( β ) ​} = \frac{​ c ​ ​}{​ sin ( γ ) ​}

\frac{​ a ​ ​}{​ sin ( 3 0 ) ​} = \frac{​ b ​ ​}{​ sin ( 4 5 ) ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​}

= b = \frac{​ 1 0 \cdot sin ( 4 5 ) ​ ​}{​ sin ( 1 0 5 ) ​} = 7, 32

Slide 22 - Tekstslide

Gelijkbenige driehoek

verhouding : 1: 1:

....... : ...... : 8 =

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

8

\frac{​ 8 ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ ​} = 5, 6568 = 5, 7

Slide 23 - Tekstslide

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 24 - Tekstslide

Bereken KL

1. Bijzonder rechthoek? Ja 30, 90 en 60 graden: 1 : 2 : of zie hieronder

NL = MN = 5

30 °

45 °

N

10

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

M N = \frac{​ K M ​ ​}{​ 2 ​} = \frac{​ 1 0 ​ ​}{​ 2 ​} = 5

5

K M^{​ 2 ​ ​} - M N^{​ 2 ​ ​} = K N^{​ 2 ​ ​}

K N^{​ 2 ​ ​} = 10^{​ 2 ​ ​} - 5^{​ 2 ​ ​} = 100 - 25 = 75

10

K N = \sqrt ​ 75 ​ ​ ​ = 8, 66

SCHETS

M L = \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} + \sqrt ​ 5^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ 50 ​ ​ ​ ​ ​ ​ \approx 7

Slide 25 - Tekstslide

Rechthoekige driehoek

verhouding : 1: 2:

....... : ...... : =

AC = BC : 2

\sqrt ​ 3 ​ ​ ​

10

30 °

6 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

A B = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot A C = \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ \cdot 3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ = 9

Slide 26 - Tekstslide

timer

10:00

Slide 27 - Open vraag

Slide 28 - Tekstslide

a. AP = x en druk PW uit in x

b. Hoe kom je aan AB =

c. Bereken zijde AP

We weten:

a. regelmatige achthoek : alle zijden zijn gelijk!

b. gelijkbenige rechthoekige

driehoek dus PW = PQ = QB etc.

1 (WA) : 1 (SP) : (PW)

PWA:

AB = AP + PQ + QR

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

P Q = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot A P = \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ \cdot x = x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​ + x = 2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

6 = x (2 + \sqrt ​ 2 ​ ​ ​)

2 x + x \sqrt ​ 2 ​ ​ ​

Slide 29 - Tekstslide

H3.4 Vergelijkingen in de meetkunde

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Tekstslide

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Tekstslide

Slide 27 - Open vraag

Slide 28 - Tekstslide

Slide 29 - Tekstslide

Meer lessen zoals deze

H3.3CD - Vergelijkingen in de meetkunde

sinus, cosinus en tangens

sinus, cosinus en tangens

Eigenschappen van vlakke figuren

3.3 Vergelijkingen met wortels

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden

Samenvatting H3 Hoeken en afstanden