WI 2V - H3 - LHE

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 2

WI 2V - H3 - LHE

H3 - Lineaire formules en vergelijkingen

H3 - Lineaire formules en vergelijkingen

De broers John en Karel gaan naar school.

John gaat met de auto. Elke minuut legt hij

450 meter af.

Karel gaat met de fiets. Elke minuut legt hij 300 meter af.

Hij heeft een voorsprong van 6 kilometer. 

Na hoeveel minuten komen ze elkaar tegen?

§3.1 - Lineaire formules

§3.1A - De grafiek van een lineaire formule

De formule                                is een voorbeeld van een lineaire formule.

Lineair betekent 'rechtlijnig', en betekent dat de grafiek van deze formule een rechte lijn is.

y=1​2​​1​​x−3

§3.1A - De grafiek van een lineaire formule

Ik wil de formule van                                    tekenen in een assenstelsel

Hiervoor moet ik een aantal 

punten op de lijn weten.

Hoeveel punten moet ik

dan hebben?

y=1​2​​1​​x−3

§3.1A - De grafiek van een lineaire formule

Wij moeten dus 2 punten vinden

die op de lijn liggen.

Hiervoor maken wij een tabel:

y=1​2​​1​​x−3

x
y

§3.1A - De grafiek van een lineaire formule

Wij moeten dus 2 punten vinden

die op de lijn liggen.

Hiervoor maken wij een tabel:

y=1​2​​1​​x−3

x
y

§3.1A - De grafiek van een lineaire formule

Daarnaast wil ik onderzoeken of het punt

A(18 , 26) op deze lijn ligt.

Dat kun je doen door het punt in te vullen

in de formule.

y=1​2​​1​​x−3

Zelfwerkzaamheid

Maak:

3.1 A

Voorkennis overslaan!

§3.1B - De formule y = ax + b

Zie de onderstaande twee formules:

Dit zijn twee voorbeelden van lineaire formules

y=2x+1

y=−3x−5

§3.1B - De formule y = ax + b

Zie de onderstaande twee formules:

Dit zijn twee voorbeelden van lineaire formules

Elke lineaire formule heeft altijd de vorm 

y=2x+1

y=−3x−5

y=ax+b

§3.1B - De formule y = ax + b

Wat is de waarde van a ?                                            Wat is de waarde van a ?

Wat is de waarde van b ?                                            Wat is de waarde van b ?

y=3x−1

y=−2x+5

§3.1B - De formule y = ax + b

Wat is de waarde van a ?                                            Wat is de waarde van a ?

Wat is de waarde van b ?                                            Wat is de waarde van b ?

a = 3                                                                                     a = -2                        b = -1                                                                                  b = 5

y=3x−1

y=−2x+5

§3.1B - De formule y = ax + b

Het getal a

Nu gaan wij ons richten op de eerste formule:

Om uit te leggen wat het getal a in een formule betekent, maken wij een tabel bij deze formule. Wij nemen x tussen -2 en 4

 

y=3x−1

§3.1B - De formule y = ax + b

Het getal a

Wij doen even snel hetzelfde voor de andere formule:

y=−2x+5

§3.1B - De formule y = ax + b

Het getal a

De waarde van a bepaalt dus hoe snel een grafiek stijgt of daalt.

Je noemt a de richtingscoëfficiënt van de lijn (of rc).

§3.1B - De formule y = ax + b

Het getal a

De waarde van a bepaalt dus hoe snel een grafiek stijgt of daalt

Je noemt a de richtingscoëfficiënt van de lijn (of rc)

Belangrijk! Wanneer twee lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben, zijn ze evenwijdig.

§3.1B - De formule y = ax + b

Het getal b

In deze formule is b gelijk aan -1

Wat zegt deze -1 over de grafiek?

Laten wij deze grafiek nog eens bekijken

y=3x−1

§3.1B - De formule y = ax + b

Het getal b

In deze formule is b gelijk aan -1

b is gelijk aan het snijpunt met de y-as

een lijn snijdt de y-as in het punt ( 0, b)

y=3x−1

Zelfwerkzaamheid

Maak:

3.1 A

3.1 B

 Herhaling §3.1 - De formule y = ax + b

Zie onderstaande formule:

vorige les: elke lineaire formule staat in de vorm 

Hoe groot is a? Wat geeft a aan?

Hoe groot is b? Wat geeft b aan?

y=​3​​2​​x−6

y=ax+b

§3.2A - De formule van een lijn opstellen

In §3.2 leer je hoe je zelf een formule opstelt van een grafiek.

Dit is erg belangrijk en moet je goed kunnen.

Je werkt volgens de volgende stappen:

1. Zoek het snijpunt van de grafiek met de y-as. Hieruit volgt b

2. a berekenen met de formule: 

3. Formule opstellen in de vorm 

​verplaatsing naar rechts​​verplaatsing omhoog​​

y=ax+b

§3.2A - De formule van een lijn opstellen

1. Zoek het snijpunt van de grafiek met de y-as. Hieruit volgt b

2. a berekenen met de formule: 

3. Formule opstellen in de vorm 

​verplaatsing naar rechts​​verplaatsing omhoog​​

y=ax+b

Zelfwerkzaamheid

Maak:

3.2 A

§3.2B - Formules van evenwijdige lijnen

Ik laat je twee lijnen zien die evenwijdig zijn.

Wat valt op aan de formules van deze lijnen?

§3.2B - Formules van evenwijdige lijnen

evenwijdige lijnen: 

Twee lijnen die evenwijdig zijn, hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.

omgekeerd: twee lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt, zijn evenwijdig.

§3.2B - Formules van evenwijdige lijnen

Notatie:

Als twee lijnen evenwijdig zijn, noteren we dit als volgt:          //

voorbeeld:

Lijn l loopt evenwijdig met lijn k.  Dan schrijf je:          l  //  k

én geldt:

rc​l​​=rc​k​​

§3.2B - Formules van evenwijdige lijnen

voorbeeldopgave:

Ik heb de lijn k: 

Ik heb ook de lijn l      Lijn l  loopt evenwijdig met lijn k

Punt A(3,1) ligt op lijn l.  

Stel de formule op van lijn l.

y=2x+3

Zelfwerkzaamheid

Maak:

3.2 A

3.2 B

§3.2C-Formules met andere letters dan y en x 

Zelfwerkzaamheid

Maak:

3.2 A

3.2 B

3.2 C

§3.3 - Balansmethode

§3.3A - De oplossing van een vergelijking 

Jared neemt een abonnement op Disney+

De aansluitkosten zijn éénmalig €5,-

Het abonnement kost €11,- per maand

§3.3A - De oplossing van een vergelijking 

Jared neemt een abonnement op Disney+

De aansluitkosten zijn éénmalig €5,-

Het abonnement kost €11,- per maand

de Kosten in euro kun je uitdrukken in de volgende formule:

Hierin staat m voor het aantal maanden dat Jared lid is geweest.

K=11m+5

§3.3A - De oplossing van een vergelijking 

1. Jared is 15 maanden lid geweest. Hoeveel heeft het abonnement gekost?

2. Jared heeft in totaal €82,- betaald. Hoeveel maanden is Jared lid geweest?

K=11m+5

§3.3A - De oplossing van een vergelijking 

• Is een voorbeeld van een vergelijking
• In een vergelijking noem je m een variabele  (de letter)
• Het getal dat je moet invullen voor de variabele, noem je de oplossing van een vergelijking

82=11m+5

Zelfwerkzaamheid

Maak:

3.3A

OPGAVE 45 OVERSLAAN

§3.3BC - De balansmethode

Hieronder staan drie vergelijkingen

Wat zijn de oplossingen van deze vergelijkingen:

3+x=8

5x=20

2x+1=5

−2x+7=3

§3.3BC - De balansmethode

Voor het oplossen van vergelijkingen, gebruik je bij wiskunde de BALANSMETHODE

x+3=7

§3.3BC - De balansmethode

Nog twee voorbeelden:

x−2=−6

6=x+3

§3.3BC - De balansmethode

Wat als er nu ook een getal vóór de x staat?

2x+1=5

§3.3BC - De balansmethode

Nog een

3x−7=14

§3.3BC - De balansmethode

De laatste (voor nu)

19=−4x+3

Zelfwerkzaamheid

Maak eerst opgave 45 van 3.3A

Op het toetsblaadje

WERK UIT VOLGENS

BALANSMETHODE. 

Werk daarna verder aan:

3.3B

3.3C

§3.4A - Vergelijkingen oplossen

§3.4A - Vergelijkingen oplossen

Zie het onderstaande:

Wat bedoelen we met: 

1. De vergelijking?

2. De variabele?

3. De oplossing?

2a+5=19

§3.4A - Vergelijkingen oplossen

Het bovenstaande noemen wij een vergelijking. 

In de vergelijking staat een variabele (namelijk a). 

Het getal dat op de plaats van a hoort (a = 7) , noem je de oplossing.

2a+5=19

§3.4A - Vergelijkingen oplossen

In paragraaf 4 worden de vergelijkingen moeilijker. Je komt tegen:

• Vergelijkingen met variabelen aan beide kanten
• Vergelijkingen met haakjes
• Vergelijkingen met breuken

§3.4A - Het linker- en rechterlid van een vergelijking

Een vergelijking heeft twee "kanten" van het = teken

Hierbij noem je            het "linkerlid" van de vergelijking.

En               noem je het "rechterlid" van de vergelijking.

7a+5=2a−10

7a+5

2a−10

§3.4A - Het linker- en rechterlid van een vergelijking

De variabele "a" komt zowel in het linkerlid als het rechterlid voor.

Strategie voor het oplossen:

1. Zorg ervoor (met balansmethode) dat de variabele alleen in het linkerlid overblijft.

2. Gebruik daarna de stappen die je in paragraaf 3 leerde.

7a+5=2a−10

§3.4A - Het linker- en rechterlid van een vergelijking

Nog één klassikaal:

−3p−3= −7p+13

Zelfwerkzaamheid

Maak de opgaven uit de studiewijzer:

• 3.4A

§3.4B Vergelijkingen met haakjes oplossen

Herhaling: haakjes wegwerken. Hoe ging dat ook alweer?

2(3x+5)

−4(2−x)

§3.4B Vergelijkingen met haakjes oplossen

Stappen:

1. Haakjes? Werk ze eerst weg (nieuw).

2. Zorg ervoor dat de variabele overblijft in het linkerlid.

3. Los de vergelijking op.

2(x+3)=−3(x−7)

Zelfwerkzaamheid

Maak de opgaven uit de studiewijzer:

• 3.4B

§3.4C Vergelijkingen met breuken oplossen

Soms staat er in een vergelijking een breuk voor de variabele:

Hiervoor moet je eerst de breuk wegwerken. Dit doe je door elke term te vermenigvuldigen met de noemer

​5​​2​​x=6

§3.4C Vergelijkingen met breuken oplossen

Haakje én een breuk? Werk eerst het haakje weg.

​3​​1​​(2x+4)=8−x

Zelfwerkzaamheid

Maak de opgaven uit de studiewijzer:

• 3.4C

§3.5A Vergelijkingen toepassen

Los het volgende raadsel op:

Joop en Piet verzamelen stenen in de tuin. 

Bij elkaar hebben ze 60 stenen verzameld. 

Piet heeft 8 stenen meer verzameld dan Joop. 

Hoeveel stenen heeft Piet verzameld?

§3.5A Vergelijkingen toepassen

Los het volgende raadsel op:

Ik heb drie getallen in mijn hoofd.

Deze drie getallen volgen elkaar precies op (dus bijvoorbeeld 3, 4 en 5)

Wanneer je deze getallen bij elkaar optelt, kom je op het getal 132.

Welke drie getallen zijn dit? 

§3.5A Vergelijkingen toepassen

Een chocolade shake is €6,- goedkoper dan een hamburger.

Een patatje kost €3,-

4 chocolade shakes, 5 hamburgers en 3 patatjes kosten bij elkaar €70,50

Los dit raadsel op:

Hoeveel kost één chocolade milkshake? Gebruik een wiskundige vergelijking. Noem de prijs van een milkshake:  x

§3.5A Vergelijkingen toepassen

Een chocolade milkshake is €6,- goedkoper dan een hamburger.

Een patatje kost €3,-

4 chocolade milkshakes, 5 hamburgers en 3 patatjes kosten bij elkaar €70,50

Hoeveel kost één chocolade milkshake? Gebruik een wiskundige vergelijking.

Noem de prijs van een chocolade milkshake:    x

De prijs van een hamburger is dan (x+6)

De vergelijking wordt:

4x + 6(x+6) + 9 = 70,50

De oplossing:   x = 3,50              Dus een chocolade milkshake kost €3,50

Zelfwerkzaamheid

Maak de opgaven uit de studiewijzer:

• 3.5A

Herhaling balansmethode

Hoe werkte het ook alweer

6x+2=−22

​2​​1​​(​3​​1​​x+3)−​4​​1​​=2x−7

Oefentoets in groepjes

1. Vorm een drietal en bedenk een team naam

2. Pak een envelop met daarin de opgaven en blaadjes 

3. Werk de opgaven uit op de blaadjes. Laat tussendoor nakijken door de docent. Je hoeft de opgaven niet op volgorde te maken.

4. Je krijgt punten voor elke goede vraag. De team met de hoogste score, wint. 

Toetsvoorbereiding H3

Wat kan ik doen?

- Controleer je huiswerk van afgelopen tijd. Heb je de opgaven gemaakt en nagekeken?

- Bestudeer de samenvatting op bladzijde 134.

- Maak de D-toets op bladzijde 136.

- Maak de gemengde opgaven op bladzijde 132.