Pruebe que si un número al cuadrado es par, entonces dicho número es par.
n2∈Par→n∈Par
n∉Par→n2∉Par
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Ejemplo
Como queremos comprobar por un método indirecto:
n∉Par→n2∉Par
n=2k−1
n2=(2k−1)2=4k2−4k+1
n2=2(2k2−2k)+1
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Demostraciones indirectas por reducción al absurdo
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¿Qué son?
(¬Q∧(P→Q))→P
Parten de la negación condicional, lo que buscan es tratar de probar que la negación es posible.
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Ejemplo
La suma de dos enteros consecutivos es impar.
Vamos a buscar probar que la suma no es impar
a+b≠2k+1
b=a+1→a+b=a+(a+1)=2a+1
2a+1≠2k+1
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Ejemplo
La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.
Probemos que la raíz cuadrada es racional
√2=ba↔a,b∈Primos
√2⋅b=a→2b2=a2
Como a cuadrada es resultado de una multiplicación por dos, es par, y como ya comprobamos para que a cuadrada sea par, a debe de ser par.
Para que sea una fracción de números primos, es necesario que b sea impar.
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Ejemplo
Para que sea una fracción de números primos, es necesario que b sea impar.
a∈Par,b∈Impar
a=2k
2b2=a2→2b2=(2k)2
2b2=4k2→b2=2k2
De esta forma nosotros comprobamos que b cuadrada y por lo tanto b son pares.
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Ejemplo
La raíz cuadrada de dos, es un número irracional.
Probemos que la raíz cuadrada es racional
√2=ba↔a,b∈Primos
Hemos comprobado que tanto a y b deben de ser números pares, por lo que no son primos entre sí y llegamos a una contradicción en la definición de un número racional.
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Ejemplo
El conjunto de números primos tiene una cardinalidad infinita.
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