H11: Hypothesetoetsen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Hypothesetoetsen

Waar gaat dit hoofdstuk over

Het gebruiken van normale en binomiale kansen om iets te zeggen over een voorspelling of verwachting

Wat ga je leren vandaag?

Je kunt de normaalverdeling en binomiale kansverdeling combineren.

Bijvoorbeeld

Een machine vult pakken hagelslag waarvan het gewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 260 gram en een standaardafwijking van 8 gram. Bereken de kans dat in een steekproef van 25 pakken er minstens 4 minder dan 250 gram wegen. 

Zelf aan de slag

Alle routes maken vraag 2 en 3

De som van (n) normaal verdeelde toevalsvariabelen

Wat ga je leren vandaag?

Je kunt het gemiddelde en de standaardafwijking berekenen van meerdere toevalsvariabelen.

Wat denk je?

Maartje, Nora en Bo lopen over de markt langs een groentekraam. De groenteboer verkoopt appels met een gemiddeld gewicht van 64 gram en een standaardafwijking van 3 gram en peren met een gemiddeld gewicht van 72 gram en een standaardafwijking van 2,4 gram. 

Maartje, Nora en Bo kopen alle drie een appel en een peer. Wat is het gemiddelde gewicht aan fruit per persoon denk je? Wat zou de standaardafwijking nu zijn?

Afspraak

μ​s​​=μ​x​​+μ​y​​

σ​s​​=√​(σ​x​​)​2​​+(σ​y​​)​2​​​​​

Uitbreiding

Maartje gaat de week erna terug naar de groenteboer. Behalve een appel (gemiddeld 64 gram, standaard afwijking 3 gram) en een peer (gemiddeld 72 gram, standaardafwijking 2,4 gram), koopt ze deze week ook een banaan met een gemiddeld gewicht van 48 gram en een standaardafwijking van 4,6 gram. 

Wat wordt voor deze samenstelling het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking?

Zelf aan de slag

Alle routes maken vraag 6, 7, 9, 10

Steekproefgemiddelde en steekproef van lengte n

Wat ga je leren vandaag?

Je kunt de wortel-n wet gebruiken bij een steekproef van meerdere items.

Je kunt de wortel-n wet gebruiken bij een meting uit een steekproef.

Even ophalen

Een groenteboer verkoopt appels met een gemiddelde van 64 gram en een standaardafwijking van 3 gram. Een tas van 5 appels geeft:

μ=5⋅64=320

σ=√​3​2​​+3​2​​+3​2​​+3​2​​+3​2​​​​​=√​5⋅3​2​​​​​=√​5⋅​​​√​3​​​​2​​=√​5​​​⋅3

Algemeen

Bij het combineren van n items uit een normaal verdeelde verzameling geldt:

μ​s​​=μ​x​​⋅n

σ​s​​=σ​x​​⋅√​n​​​

Wat is het verschil tussen deze 2 vragen:

Een groenteboer verkoopt appels met een gemiddelde van 64 gram en een standaardafwijking van 3 gram. Wat is de kans dat een tas van 5 appels meer dan 330 gram weegt?

Een groenteboer verkoopt appels met een gemiddelde van 64 gram en een standaardafwijking van 3 gram. Roos pakt een appel uit een tas van 5. Wat is de kans dat deze appel minder dan 60 gram weegt?

De wortel-n wet

Voor een steekproef: 

Voor een item uit een 

steekproef: 

μ​s​​=μ​x​​⋅n

σ​s​​=σ​x​​⋅√​n​​​

μ​s​​=μ​x​​

σ​s​​=​√​n​​​​​σ​x​​​​

Een voorbeeldvraag

Bij Leonidas kun je bakjes bonbons samenstellen. Een bonbon weegt gemiddeld 37 gram met een standaardafwijking van 5 gram. 

a) Wat is de kans dat een doosje van 10 bonbons minder dan 350 gram weegt?

b) Wat is de kans dat een bonbon uit zo'n doosje meer dan 40 gram weegt?

Zelf aan de slag

Basis: 13, 14, 19, 20, 21 

Midden: 15, 16, 20, 21, 22

Uitdagend: 16, 17, 21, 22, 23

Beslissingsvoorschrift

Wat ga je leren vandaag?

 Je weet wat een beslissingsvoorschrift is.

Je weet wat een vals positief of negatief is en hoe je de kans daarop berekent.

Beslissingsvoorschrift

Bij vwo 5 wordt een rekentoets afgenomen. Leerlingen die hier slecht op scoren, krijgen extra rekenles. Er kunnen zich dan 4 situaties voordoen:

Beslissingsvoorschrift: bij welke score krijgt een leerling extra rekenles?

	Goed in rekenen	Niet goed in rekenen
Hoge score	ok	vals negatief
Lage score	vals positief	ok

Bijvoorbeeld

In de fabriek van Lipton worden flesjes ijsthee gevuld door een vulmachine. De vulmachine is afgesteld op een gemiddelde van 400 mL en heeft een standaardafwijking van 4 mL. De ervaring leert dat de machine na verloop van tijd niet goed meer vult, dus Lipton neemt regelmatig een steekproef van 25 flessen. Het beslissingsvoorschrift is dat er wordt bijgesteld als het gemiddelde onder de 398 of boven de 402 ligt. Wat is de kans dat de machine onterecht wordt bijgesteld?

Zelf aan de slag

Iedereen maakt 26, 27

Nulhypothese en significantieniveau

Wat ga je leren vandaag?

Je weet wat een nulhypothese en een alternatieve hypothese is.

Je weet wat een significantieniveau is en waar het voor gebruikt wordt.

H0 / H1 en significatieniveau

Terug naar de flessen van Lipton met een gemiddelde van 400 mL en een standaardafwijking van 4 mL en een steekproef van 25 flessen. 

Nulhypothese en alternatieve hypothese:

Significantieniveau: 

Wat wordt het beslissingsvoorschrift bij een significantieniveau van 10%

Zelf aan de slag

Iedereen maakt 28, 29

Overschrijdingskans

Wat ga je leren vandaag?

Wat een overschrijdingskans is

Hoe je een overschrijdingskans gebruikt om een beslissing te nemen

Overschrijdingskans

In een bedrijf is de totale tijd in uren die per dag wordt overgewerkt normaal verdeeld met een gemiddelde van 9,3 uur en een standaardafwijking van 2.1 uur. Sinds kort is een systeem van flexibele werktijden ingevoerd. In een periode van 40 werkdagen bleek de gemiddelde overwerktijd 8,6 uur per dag te zijn. Onderzoek of bij een significantieniveau van 1% geconcludeerd kan worden dat het nieuwe systeem invloed heeft op de overwerktijd.

Zelf aan de slag

Iedereen maakt 33, 34, 35

Een- en tweezijdig toetsen

Wat ga je leren vandaag?

Je weet wat het verschil is tussen een- en tweezijdig toetsen.

Je weet hoe je een beslissing moet nemen bij een eenzijdige danwel tweezijdige toets

Je weet wat een enkelvoudige nulhypothese is

Eenzijdig toetsen

De afhandelingstijd in minuten van de bestellingen bij de Zara is normaal verdeeld met een gemiddelde van 12 en een standaardafwijking van 3. De directie van de Zara beweert dat door een interne reorganisatie de gemiddelde afhandelingstijd is teruggedrongen.

Formuleer een nulhypothese en alternatieve hypothese. 

Bij welk gemiddelde is er, bij een steekproef van 25 bestellingen en een significantieniveau van 5%, aanleiding om aan te nemen dat de afhandelingstijd inderdaad is afgenomen?

Enkelvoudige nulhypothese

Een kabelfabrikant beweert dat zijn remkabels voor toerfietsen gemiddeld een trekkracht van minstens 800 newton kunnen weerstaan. De redactie van een fietstijdschrift vindt dit erg optimistisch en neemt een steekproef.

Welke nulhypothese gebruiken ze?

Zelf aan de slag

Je hebt 2 lessen de tijd voor: 

Iedereen maakt 40 t/m 44, 46, 49, 50 

Hypothesetoetsen met binomiale kansen

Wat ga je leren vandaag?

Je kunt overschrijdingskansen berekenen bij eenzijdige binomiale toetsen

Bijvoorbeeld

Coca cola beweert in een reclame dat 40% van de mensen Coca cola de lekkerste frisdrank vindt. Pepsi vindt dit sterk overdreven en vecht de uitspraak aan. De reclamecommissie neemt een steekproef van 100 mensen en een significantieniveau van 5%. 

Stel dat 28 mensen aangeven dat ze Coca cola inderdaad de lekkerste frisdrank vinden. Moet Coca cola hun advertentie dan herzien?

Zelf aan de slag

Basis: 54, 55, 56

Midden: 56, 57, 58

Uitdagend: 58, 59, 60

    

Grenzen bij binomiale kansen

Wat ga je leren vandaag?

Je kunt grenzen berekenen bij binomiale toetsen.

Frisdrank

Coca cola beweert in een reclame dat 40% van de Nederlanders hun frisdrank de lekkerste frisdrank ooit vindt. Een concurrent vecht dit aan bij de Reclame Code Commissie. Hij denkt dat dit percentage lager ligt. De RCC neemt een steekproef van 100 personen en een significantieniveau van 5%. 

a) Stel het beslissingsvoorschrift op vanaf welke waarde Coca Cola hun reclame zal moeten herzien.

b) Bij welke grenzen zou Coca Cola hun reclame moeten herzien als de aanvechter had gedacht dat het werkelijke percentage hoger zou liggen?

Zelf aan de slag

Iedereen maakt 62, 63

    

Tweezijdig binomiaal hypothesetoetsen

Wat ga je leren vandaag?

Je kunt overschrijdingskansen berekenen bij tweezijdige binomiale toetsen. 

Frisdrank deel 2

Coca Cola brengt een nieuwe smaak op de markt waarvan ze denken dat 37% van de mensen dit de lekkerste smaak gaan vinden die ze ooit gemaakt hebben. Om het fiasco met hun eerdere reclame te voorkomen, nemen ze nu zelf een steekproef van 80 flessen om hun statement te onderzoeken. 

Stel het beslissingsvoorschrift op vanaf welke waarden Coca Cola hun percentage moet aanpassen. Ga uit van een significantieniveau van 5%. 

Zelf aan de slag

Basis: 65, 66, 68

Midden: 66, 68, 69

Uitdagend: 68, 69, 70

Klaar :-)

    

Exit-vraag:

Wat heb je nog nodig om volgende week met een goed gevoel aan het wiskunde PTA te beginnen?