Meetkunde met coördinaten

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Meetkunde met coördinaten

Strijdige, afhankelijke en onafhankelijke vergelijkingen

Wat gaan we doen vandaag?

1. Toetsen hoofdstuk 5 terug

2. Werkblad opdracht start hoofdstuk 7

3. Zelf aan de slag

Aan het einde van de les kun je uitleggen wat strijdige, afhankelijke en onafhankelijk vergelijkingen zijn.

Wat gaan we doen vandaag?

In deze opdracht ga je aan de slag met vergelijkingen van de vorm 

ax + by = c. In een eerder hoofdstuk heb je geleerd hoe je stelsels van dit soort vergelijkingen kunt oplossen.

Vraag 1: wat gebeurt er als je het stelsel 

{2x-3y=5

4x-6y=7

oplost?

Zelf aan de slag

Alle routes maken opdracht 3 en 4

Assenvergelijking van een lijn

Vandaag

1. Assenvergelijking

2. Zelf aan de slag

Aan het einde van de les weet je wat een assenvergelijking is en hoe je die opstelt

Assenvergelijking

                                 

                               heet een assenvergelijking. Bereken de snijpunten met de x-as en de y-as om te ontdekken waarom. 

​a​​x​​+​b​​y​​=1

Voorbeeldopgave

De lijn k snijdt de x-as in het punt (6,0) en de y-as in (0, q). 

a) Stel een formule op van lijn k in de vorm ax + by = c

b) Voor welke waarde van q is lijn k evenwijdig met de lijn 

l: y = 3x + 2?

Zelf aan de slag

Basisroute: 7, 8

Middenroute: 8, 9

Uitdagende route: 9, 10

Let op: dit zijn dus minder opgaven dan in de studiewijzer staat. De laatste opgave maken we morgen. 

Hoek tussen 2 lijnen

Vandaag

1. Hoek tussen 2 lijnen

2. Zelf aan de slag

Aan het einde van de les weet je hoe je de hoek tussen 2 lijnen moet berekenen

Teken de lijn              

Hoe zou je (zelf) de hoek berekenen tussen deze lijn en de x-as?

Valt je iets op als je jouw berekening vergelijkt met de formule voor de lijn?

y=​2​​1​​x−1

Vervolg

1. Bereken ook de hoek tussen de x-as en de lijn 

2. Hoe groot is nu de hoek tussen de 2 lijnen? 

y=−​4​​3​​x+1,5

Samenvattend

De hellingshoek van een lijn kan berekend worden met 

De hoek        tussen 2 lijnen         en 

tan(a)=rc

ϕ

β

α

Afstand tussen punt en lijn

Gegeven zijn de punten A(2, 4) en B(4, 6) 

1. Waar ligt het midden van de lijn AB?

2. Hoe zou je, anders dan opmeten, de afstand tussen punt A en punt B kunnen uitrekenen?

Vervolg

Bereken de afstand tussen het punt P (5,5) en de lijn

k: y = 2x - 4

Afstand punt P tot lijn l

Stap 1: stel een formule op van de loodrechte projectie k van het punt P op de lijn l.

Stap 2: bereken het snijpunt van de lijn l en de loodrechte projectie k.

Stap 3: Bepaal de afstand tussen het punt P en de loodrechte projectie P'.

Zelf aan de slag

Basisroute: 19, 24, 27

Middenroute: 20, 25, 28

Uitdagende route: 21, 26, 29

De afstandsformule

De afstandsformule

Laten we dit eens uitpluizen voor P(4, 6) en k: 3x + 4y = -5

Hoe vind ik alle punten op de x-as met afstand 3 tot de lijn 

3x + 4y = -5?

Zelf aan de slag

Basisroute: 32, 33, 34

Middenroute: 33, 34, 35

Uitdagende route: 34, 35, 36

Voor wie het leuk vindt: opdracht 30 (bewijs de afstandsformule)

Cirkelvergelijkingen

Wat hebben we tot nu toe gedaan?

1. Bepaald hoe stelsels vergelijkingen zich tot elkaar verhouden (evenwijdig, samenvallend of snijdend).

2. Hoeken tussen lijnen bepaald.

3. Afstand bepaald tussen 2 punten en tussen een punt en een lijn. 

Nu verder met cirkels

Hoe kunnen we, aan de hand van wat we weten over cirkels en over de afstand tussen 2 punten, de formule voor een cirkel opstellen?

Voor een willekeurig punt P op de cirkel geldt

Dat betekent dat

√​(x​P​​−x​M​​)​2​​+(y​P​​−y​M​​)​2​​​​​=r

(x​P​​−x​M​​)​2​​+(y​P​​−y​M​​)​2​​=r​2​​

Bijvoorbeeld

Gegeven is 

met daarop M1 en M2. 

Cirkels c1 en c2 hebben allebei een 

straal van 3 cm en raken de x-as. 

Stel een formule op van c1 en c2.

k:y=​2​​1​​x−2

Zelf aan de slag

Basisroute: 40, 41

Middenroute: 42, 43

Uitdagende route: 44, 45

Let op: dit is weer een 'gesplitste' les, dus in de studiewijzer staan meer opdrachten dan dit. Die doen we volgende les. 

Cirkelvergelijkingen deel 2

Gisteren hebben we dit gezien:

(x​P​​−x​M​​)​2​​+(y​P​​−y​M​​)​2​​=r​2​​

Maar wat nou als je de straal en het middelpunt wilt weten van

c:x​2​​+y​2​​+8x−3y+6=0

Zelf aan de slag

Basisroute: 52, (53)

Middenroute: 53, (54)

Uitdagende route: 54, (55)

Afstanden bij cirkels

Bereken de afstand tussen c1 en c2

Op lijn k: x + 4y = 16 ligt punt M

met Xm = 2 en punt N met Xn = 8. 

De cirkels met middelpunten M en 

N raken de X-as. 

Zelf aan de slag

Basisroute: 58, 59, 60 

Middenroute: 59, 60, 62 

Uitdagende route: 61, 62, 63

Inhaaldag 

Vandaag

Bijwerken opgaven / theorie tot nu toe 

Klaar en geen vragen meer? Lekker van de zon genieten :-)

Alle opdrachten zover

Basisroute: 3, 4, 7, 8, 13, 19, 24, 27, 32, 33, 34, 40, 41, 52, 58, 59, 60

Middenroute: 3, 4, 8, 9, 14, 20, 25, 28, 33, 34, 35, 42, 43, 53, 59, 60, 62

Uitdagende route: 3, 4, 9, 10, 15, 21, 26, 29, 34, 35, 36, 44, 45, 54, 61, 62, 63

Raaklijnen aan cirkels

Tijd om (bijna) alles samen te voegen

Gegeven is het punt A(2, 3) en de

cirkel 

Stel de formule op van de lijn k 

die de cirkel raakt in punt A. 

c:(x−3)​2​​+(y−1)​2​​=5

Zelf aan de slag

Basisroute: 67, (68)

Middenroute: 68, (69)

Uitdagende route: 69, (68)

Raaklijnen aan cirkels deel 2

Tot slot: raaklijnen aan cirkels

Gegeven is de cirkel 

en het punt A(9, 2). 

Stel de formule op van de lijnen die door A gaan en de cirkel raken. 

c:(x−2)​2​​+(y−3)​2​​=25

Zelf aan de slag

Basisroute: 71, 72

Middenroute: 73, 74

Uitdagende route: 75, 76

(Onvolledige) Samenvatting 

Aandachtspunten afstanden

Afstand punt tot punt: 

Afstand punt tot lijn:

 - Optie 1 voor y = ax+b: maak een loodrechte lijn op y en bereken de afstand tussen het punt en het snijpunt. 

- Optie 2 voor ax + by = c: 

Afstand punt tot cirkel: afstand van het punt tot het middelpunt, min de straal. 

d(A,B)=√​(x​a−​​x​b​​)​2​​+(y​a​​−y​b​​)​2​​​​​

d(P,k)=​√​a​2​​+b​2​​​​​​​∣ax​p​​+by​p​​−c∣​​

Aandachtspunten cirkels

Raaklijn aan een cirkel met een punt OP de cirkel: 

formule opstellen van de lijn door middelpunt en raakpunt, raaklijn daar loodrecht op. 

Raaklijn aan cirkel door een punt BUITEN de cirkel:

y = ax + b door dat punt, omschrijven naar ax + by = c en afstandsformule gebruiken.