Progresiones Geométricas

Progresión geométricas

Aquellas sucesiones que se obtienen al multiplicar un mismo valor a cada término anterior.

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Progresión geométricas

Aquellas sucesiones que se obtienen al multiplicar un mismo valor a cada término anterior.

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Progresión geométrica

A= {2,4,8,16,32,64,,...}

Va de 2 en dos, entonces si le multiplico 2 a un término obtengo el siguiente.

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Terminología:

Primer término =
Término "n" =
Razón entre términos = r
Cantidad de términos = n

a^{​ 1 ​ ​}

a^{​ n ​ ​}

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Regla de correspondencia:

A = {2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458}

a^{​ 1 ​ ​} = 2

a^{​ 2 ​ ​} = 2 \times 3

a^{​ 3 ​ ​} = 2 \times 3 \cdot 3

a^{​ 1 ​ ​} = 2

a^{​ 2 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \times r

a^{​ 3 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \times r^{​ 2 ​ ​}

a^{​ 4 ​ ​} = 2 \times 3 \cdot 3 \cdot 3

a^{​ 4 ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \times r^{​ 3 ​ ​}

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Regla de correspondencia:

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \times r^{​ n - 1 ​ ​}

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Ejemplo:

Determine el término 11 de la progresión geométrica:

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \times r^{​ n - 1 ​ ​}

a^{​ 1 ​ ​} = 3 n = 11 r = - 2

a^{​ 11 ​ ​} = 3 (- 2)^{​ 11 - 1 ​ ​} = 3 (- 2)^{​ 10 ​ ​} = 3 (1024)

a^{​ 11 ​ ​} = 3072

A = {3, - 6, 12, - 24, 48, . . .}

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Ejemplo:

Determine el término 5 de una progresión geométrica con valor inicial de y razón 4

a^{​ n ​ ​} = a^{​ 1 ​ ​} \times r^{​ n - 1 ​ ​}

a^{​ 1 ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 6 4 ​} n = 5 r = 4

a^{​ 5 ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 6 4 ​} (4)^{​ 5 - 1 ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 6 4 ​} 4^{​ 4 ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 6 4 ​} \cdot 256 = 4

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 6 4 ​}

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No siempre se tienen todos los términos desde un inicio,

o no siempre queremos el valor final.

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Ejemplo:

El último término de una progresión geométrica es 375, su primer término es 3 su razón es 5, ¿cuántos términos son?

375 = 3 \cdot 5^{​ n - 1 ​ ​}

\frac{​ 3 7 5 ​ ​}{​ 3 ​} = 5^{​ n - 1 ​ ​}

a^{​ n ​ ​} = 375

125 = 5^{​ n - 1 ​ ​}

5^{​ 3 ​ ​} = 5^{​ n - 1 ​ ​}

n - 1 = 3

n = 4

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Series Geométricas

La suma de términos de una progresión geométrica

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Serie Geométrica

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ a ^{​ 1 ​ ​} - r \cdot a ^{​ n ​ ​} ​ ​}{​ 1 - r ​}

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ a ^{​ 1 ​ ​} - a ^{​ 1 ​ ​} \cdot r ^{​ n ​ ​} ​ ​}{​ 1 - r ​}

Fórmulas si contamos con el valor inicial y el final.

Fórmula si no contamos con el valor final.

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Ejemplo:

Obtener la serie geométrica hasta el término 4 de la siguiente progresión

A = {2, 6, 18, 54, . . .}

a^{​ 1 ​ ​} = 2 n = 4 r = 3

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (n) = \frac{​ a ^{​ 1 ​ ​} - a ^{​ 1 ​ ​} r ^{​ n ​ ​} ​ ​}{​ 1 - r ​}

​ i = 1 ​ \sum ​ n ​ ​ f (4) = \frac{​ 2 - 2 \cdot 3 ^{​ 4 ​ ​} ​ ​}{​ 1 - 3 ​} = \frac{​ 2 - 1 6 2 ​ ​}{​ - 2 ​} = 80

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