Kwantummechanica - Het atoommodel

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5,6

Kwantummechanica

Het atoommodel

Hoofdstuk Kwantummechanica

Kwantummechanica - Het atoommodel

Kwantummechanica - Deeltjesverschijnselen

Kwantummechanica - Golfverschijnselen

Kwantummechanica - Deeltje in een doos

Kwantummechanica - Onzekerheid

Kwantummechanica - Tunneling

Leerdoelen

Aan het eind van de les kun je...

... 

Net als in het geval van het deeltje in een doos, kan ook het elektron in een waterstofatoom gezien worden als een staande golf.

Net als bij het deeltje in een doos, kan ook hier

het elektron in waterstof in de grondtoestand 

of één van de aangeslagen toestanden 

bevinden.

In elke toestand bevindt het elektron zich in 

een andere schil om de kern.

Het atoommodel van Bohr

In elke schil heeft het elektron een specifieke energie. In een opdracht onder aan deze paragraaf zullen we bewijzen dat de energieniveaus die bij deze toestanden horen gegeven worden door:

met E_n in eV en n het energieniveau.

Het atoommodel van Bohr

E​n​​=−​n​2​​​​13,60​​

Net als bij het deeltje in het doosje, kan een elektron in waterstof verspringen naar een hoger energieniveau door een foton op te nemen en kan het elektron verspringen naar een lager niveau door dit 

foton weer uit te zenden. Ook voor het

elektron in een waterstofatoom geldt dus:

Het atoommodel van Bohr

E​foton​​=ΔE

Zowel in de formule als in het diagram zien we dat het elektron in zijn grondtoestand (n = 1) een energie heeft van -13,6 eV. Met een foton van 13,6 eV, komt het elektron op schil n = ∞ terecht. Hier geldt -13,6 + 13,6 = 0 eV. 

Als men nog meer energie zou toevoegen, dan ontsnapt het elektron en als gevolg wordt het waterstof atoom geïoniseerd. We hebben hiermee dus gevonden dat de ionisatie- of uittree-energie van waterstof gelijk is aan 13,6 eV.

Bij een overgang van n = 3 naar n = 2, komt bijvoorbeeld een foton vrij met de volgende energie:

Het atoommodel van Bohr

E​foton​​=ΔE=​2​2​​​​−13,6​​−​9​2​​​​−13,6​​=4,9 eV

Op den duur valt het elektron helemaal terug naar zijn grondtoestand. Soms gebeurt dit in één stap en soms in meerdere stappen. Hieronder zien we bijvoorbeeld de verschillende manieren waarop een 

elektron in een waterstofatoom van de derde 

aangeslagen toestand (n=4) kan terugvallen naar de 

grondtoestand (n=1).

Grondstoestand

E​foton​​=ΔE

De fotonen die bij waterstof vrijkomen als elektronen van een willekeurige aangeslagen toestand naar de eerste aangeslagen toestand (n = 2) vallen, 

behoren tot de zogenaamde Balmerserie.

De eerste paar fotonen uit de Balmerserie 

vallen in het zichtbare spectrum. De 

golflengtes die bij deze fotonen horen komen
precies overeen met de spectraallijnen die 

horen bij waterstof. Niels Bohr was hiermee 

de eerste die de spectraallijnen kon verklaren.

Series

Antwoord:

q = e, het elementair ladingsquantum

In deze opdracht gaan we afleiden op welke afstanden de schillen zich bevinden in het waterstofatoom.

a. Voor het elektron in zijn baan om het proton in het waterstofatoom geldt:

Opdracht 3a van WS

F​elek​​=F​mpz​​

​r​2​​​​fq​1​​q​2​​​​=​r​​mv​2​​​​

→​r​​fq​1​​q​2​​​​=mv​2​​

→​r​​fe​2​​​​=mv​2​​

​r​​fe​2​​​​=mv​2​​

Antwoord:

Er past telkens een heel aantal golven in een schil. De omtrek van de schil is gelijk aan de

omtrek van een cirkel. Er geldt dus:

Als we dit combineren met                               , dan vinden we:

Als we dit omschrijven, dan vinden we:

b. Niels Bohr stelde het elektron in waterstof voor als een golf die rond het proton draaide (zie de onderstaande afbeelding).

Hij leidde hiermee af dat de snelheid van het elektron in de nde schil gelijk is aan:

Er geldt hier dat ℏ gelijk is aan                  .

Leid deze formule af.

Opdracht 3b van WS

2πr=nλ

v​n​​=​mr​​nℏ​​

ℏ=​2π​​h​​

λ=​p​​h​​=​mv​​h​​

(λ=)  ​mv​​h​​=​n​​2πr​​

hn=2πrmv

→v=​2πmr​​hn​​

→v=​2π​​h​​​mr​​n​​=​mr​​ℏn​​

Antwoord:

Van vraag a hebben we:

Als we dit combineren met                     , dan vinden we:

                                           voor n = 1:

c. Laat nu zien dat:

                                        

 waarin:

                                               

Opdracht 3c van WS

r​n​​=n​2​​r​1​2​​

r​1​​=​fme​2​​​​ℏ​2​​​​

​r​​fe​2​​​​=mv​2​​

v​n​​=​mr​​nℏ​​

​r​​fe​2​​​​=m(​mr​​nℏ​​)​2​​

→​r​​fe​2​​​​=​m​2​​r​2​​​​mn​2​​ℏ​2​​​​

→fe​2​​=​mr​​n​2​​ℏ​2​​​​

→r=​fme​2​​​​n​2​​ℏ​2​​​​

r​1​​=​fme​2​​​​ℏ​2​​​​

→fe​2​​mr=n​2​​ℏ​2​​

Antwoord:

Met                           vinden we:

Met                        vinden we dan:

d. We gaan nu naar de energie van het elektron in het waterstofatoom kijken. Er geldt:

                                        

De eerste term is de bekende kinetische energie van het elektron en de tweede term de elektrische energie van het elektron.

Laat hiermee zien dat:

                                               

Opdracht 3d van WS

E​tot​​=​2​​1​​mv​2​​−​r​​fe​2​​​​

E​n​​=−​n​2​​​​1​​(​2r​1​​​​fe​2​​​​)

E​tot​​=​2​​1​​mv​2​​−​r​​fe​2​​​​

​r​​fe​2​​​​=mv​2​​

E​tot​​=​2​​1​​​r​​fe​2​​​​−​r​​fe​2​​​​=−​2​​1​​​r​​fe​2​​​​

E​tot​​=−​2r​​fe​2​​​​

r​n​​=n​2​​r​1​2​​

E​n​​=−​n​2​​​​1​​(​2r​1​​​​fe​2​​​​)

E​tot​​=−​2n​2​​r​1​2​​​​fe​2​​​​

Antwoord:

Met r₁ als a₀ voor de Bohrradius (BINAS T7)

In elektronvolt (eV)

e. Reken de constante tussen haakjes uit en laat hiermee zien dat deze formule geschreven kan worden als de formule uit de paragraaf:

                                        

Met E_n in eV.

                                               

Opdracht 3e van WS

E​n​​=−​n​2​​​​13,60​​

E​n​​=−​n​2​​​​1​​(​2r​1​​​​fe​2​​​​)

→E​n​​=−​n​2​​​​1​​(​2⋅5,2917721092⋅10​−11​​​​8,98755⋅10​9​​⋅(1,6021⋅10​−19​​)​2​​​​)

→E​n​​=−​n​2​​​​2,1794⋅10​18​​​​

→E​n​​=−​n​2​​​​1​​(​1,6021⋅10​−19​​​​2,1794⋅10​18​​​​)

→E​n​​=−​n​2​​​​13,60​​

Maken opgaven 1 t/m 7 van WS

Opgaven

Opgaven

Opgave 1

Copernicus kwam als eerste met bewijs voor het heliocentrische model.

a. Wat is het heliocentrische model?

b. Welk bewijs vond hij? Gebruik in je antwoord in ieder geval het woord retrograde beweging.

Opgave 2

Galileo vond tevens een bewijs dat het geocentrische model verwierp. Welk bewijs vond hij en waarom verwierp dit het geocentrische model?

Opgave 3

Toen men nog geloofde dat de aarde niet om zijn eigen as draait, moest men aannemen dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten. Leg uit waarom men dit dacht.

Opgave 4

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

a. Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

b. Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- of maansverduistering plaatsvindt.

c. Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.

Opgaven

Opgave 1

Copernicus kwam als eerste met bewijs voor het heliocentrische model.

a. Wat is het heliocentrische model?

b. Welk bewijs vond hij? Gebruik in je antwoord in ieder geval het woord retrograde beweging.

Opgave 2

Galileo vond tevens een bewijs dat het geocentrische model verwierp. Welk bewijs vond hij en waarom verwierp dit het geocentrische model?

Opgave 3

Toen men nog geloofde dat de aarde niet om zijn eigen as draait, moest men aannemen dat de sterren elke 24 uur een rondje om de aarde maakten. Leg uit waarom men dit dacht.

Opgave 4

De maan draait in iets meer dan 27 dagen in een baan om de aarde.

a. Leg uit wanneer zons- en maansverduisteringen plaatsvinden tijdens deze beweging.

b. Leg uit waarom niet elke 27 dagen een zons- of maansverduistering plaatsvindt.

c. Leg uit of er in de middag een volle maan zichtbaar kan zijn.