Negenpuntscirkel

Negenpuntscirkel
vwo bovenbouw



Femke, Saskia, Agnes en Isabelle
1 / 26
volgende
Slide 1: Tekstslide
WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 3

In deze les zitten 26 slides, met interactieve quizzen en tekstslides.

time-iconLesduur is: 30 min

Onderdelen in deze les

Negenpuntscirkel
vwo bovenbouw



Femke, Saskia, Agnes en Isabelle

Slide 1 - Tekstslide

Lesplanning
  • Lesdoel
  • Voorkennis (quiz)
  •  Bewijs uitwerken
  • Afsluiting

Slide 2 - Tekstslide

Lesdoel
  • Aan het einde van de les begrijpen de leerlingen het bewijs van de negenpuntscirkel.

Slide 3 - Tekstslide

Voorkennis

Slide 4 - Tekstslide

Wat is een hoogtelijn?
A
Lijn in driehoek die door één van de hoekpunten gaat en loodrecht staat op de aanliggende zijde.
B
Lijn in driehoek die door één van de hoekpunten gaat en de overstaande zijde in het midden snijdt.
C
Lijnstuk in driehoek die vanuit het midden loopt van een zijde naar het midden van een andere zijde.
D
Lijn in driehoek die door één van de hoekpunten gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde.

Slide 5 - Quizvraag

Een lijn in een driehoek die door één van de hoekpunten gaat en de overstaande zijde in het midden snijdt.
Over welke lijn gaat het hier?

Slide 6 - Open vraag

Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat loopt van het midden van de ene zijde naar het midden van een tweede zijde.
Goed
Fout

Slide 7 - Poll

gelijkvormige driehoeken

Slide 8 - Woordweb

Wat is geen eigenschap van een parallellogram
A
Een parallellogram heeft twee paar evenwijdige zijden
B
De overstaande hoeken zijn niet even groot
C
De overstaande zijden zijn even lang
D
De diagonalen delen elkaar middendoor

Slide 9 - Quizvraag

Wat is de omgekeerde stelling van Thales
A
Een driehoek ingeschreven in een cirkel, en waarvan één zijde een middellijn van de cirkel vormt, is een rechthoekige driehoek.
B
Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op een zijde ligt, dan is de hoek tegenover die zijde recht.

Slide 10 - Quizvraag

De stelling
Wanneer in een driehoek de drie middens van de drie zijden, de drie voetstukken van de drie hoogtelijnen en de drie middens van de bovenkanten van de drie hoogtelijnen worden getekend, dan liggen deze negen punten op een cirkel, die de negenpuntscirkel van Feuerbach wordt genoemd. 

Probeer bij deze stelling een schets te maken.

Slide 11 - Tekstslide

Geogebra

Slide 12 - Tekstslide

Het bewijs

Slide 13 - Tekstslide

Laat nu zelf zien dat:
CH//DMb
CH//EMa

Slide 14 - Tekstslide

Hieruit volgt dat vierhoek DEMaMb een paralellogram is, omdat de overstaande zijden evenwijdig zijn.

Slide 15 - Tekstslide

DMb//CH//EMa en CC' is de hoogtelijn vanuit ∠C.
∠AC'C=90°, dus ∠DEM_a=90°=∠EDMb.
Hieruit volgt dat vierhoek DEMa Mb een rechthoek is.
Laat zien met de omgekeerde stelling van Thales dat de punten D, E, Ma en Mb op de cirkel liggen.

Slide 16 - Tekstslide

EMb en DMa zijn de diagonalen van de rechthoek DEMa Mb.
∠DEMa ligt op koorde DMa
∠DEMa=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).
∠EDMb ligt op koorde EMb
∠EDMb=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).
Hiermee hebben we bewezen dat de punten: D, E, Ma en Mb op de cirkel liggen.

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Hieruit volgt dat vierhoek EFMb Mc een paralellogram is, omdat de overstaande zijden evenwijdig zijn.

Slide 19 - Tekstslide

FMb//AH//EMc en AA' is de hoogtelijn vanuit ∠A.
∠AC'C=90°, dus ∠Mc EF=90°=∠EMc Mb.
Hieruit volgt dat vierhoek EFMb Mc een rechthoek is.

Slide 20 - Tekstslide

EMb en DMa zijn de diagonalen van de rechthoek EFMb Mc.
∠Mc EF ligt op koorde FMc
∠Mc EF=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).
∠EMc Mb ligt op koorde EMb
∠EMc Mb=90° en ligt dus op de cirkel (omgekeerde stelling van Thales).
EMb is zowel een diagonaal van de rechthoek EFMb Mc als van de rechthoek DEMa Mb.
Hiermee hebben we bewezen dat ook de punten: E, F, Mb en Mc op de cirkel liggen.

Slide 21 - Tekstslide

Laat met behulp van de omgekeerde stelling van Thales zien dat B' op de cirkel ligt.

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Slide 25 - Tekstslide

Lesafsluiting: Aan het einde van de les begrijpen de leerlingen het bewijs van de negenpuntscirkel.
Is dit lesdoel behaald?
😒🙁😐🙂😃

Slide 26 - Poll