WIB 4V - H5 Machten, exponenten en logaritmen - LHE

H5 - Machten, exponenten en logaritmen

1 / 69

Slide 1: Tekstslide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 4

In deze les zitten 69 slides, met tekstslides.

Lesduur is: 80 min

Onderdelen in deze les

H5 - Machten, exponenten en logaritmen

Slide 1 - Tekstslide

H5 - Voorkennis - Herleiden van machten

Regels voor het herleiden

1. Vermenigvuldigen van machten :

2. Delen van machten :

3. Machten van machten :

4. Machten van producten :

a^{​ 5 ​ ​} \cdot a^{​ 7 ​ ​}

\frac{​ b ^{​ 6 ​ ​} ​ ​}{​ b ^{​ 2 ​ ​} ​}

(c^{​ 5 ​ ​})^{​ 4 ​ ​}

(d e)^{​ 3 ​ ​}

Slide 2 - Tekstslide

H5 - Voorkennis - Herleiden van machten

Regels voor het herleiden

Zie ook blz. 9 in het boek

1. Vermenigvuldigen van machten :

2. Delen van machten :

3. Machten van machten :

4. Machten van producten :

a^{​ p ​ ​} \cdot a^{​ q ​ ​} = a^{​ p + q ​ ​}

\frac{​ a ^{​ p ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ q ​ ​} ​} = a^{​ p - q ​ ​}

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = a^{​ p q ​ ​}

(a b)^{​ p ​ ​} = a^{​ p ​ ​} b^{​ p ​ ​}

Slide 3 - Tekstslide

§5.1A - Machten met negatieve exponenten

Schrijf zonder negatieve exponent:

x^{​ - 3 ​ ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ - 3 ​ ​}

4 x^{​ - 3 ​ ​}

Slide 4 - Tekstslide

§5.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

Voorkennis H5 1 t/m 6

§5.1A 1 t/m 3

Slide 5 - Tekstslide

§5.1B - Machten met gebroken exponenten

Schrijf als een macht van x

\sqrt ​ x ​ ​ ​

\frac{​ 4 ​ ​}{​ ​ 5 ​ ​ \sqrt ​ x ​ ​ ​ ​}

\frac{​ x ​ ​}{​ 3 \sqrt ​ x ^{​ 5 ​ ​} ​ ​ ​ ​}

Slide 6 - Tekstslide

§5.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.1B 5 t/m 12

Slide 7 - Tekstslide

§5.1C - Vergelijkingen met gebroken exponenten

Los exact op:

]

Voor het wegwerken van gebroken exponenten, gebruik je de balansmethode.

Je verheft het linker- en rechterlid tot dezelfde macht.

Slide 8 - Tekstslide

§5.1C - Vergelijkingen met gebroken exponenten

Los exact op:

Let tenslotte op dat je wortels soms nog moet omschrijven naar een macht van x.

Slide 9 - Tekstslide

§5.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.1C 13 t/m 16

Verder werken mag.

Slide 10 - Tekstslide

§5.1D - Variabelen vrijmaken bij y = ax^p

De formule is een voorbeeld van een formule met een gebroken exponent.

Bij deze formule moet je x kunnen "vrijmaken".

Dus schrijven als

x = ...................

y = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 2 ​ ​} \sqrt ​ x ​ ​ ​

Slide 11 - Tekstslide

§5.1D - Variabelen vrijmaken bij y = ax^p

Dus schrijven als x = ...................

Stappen:

1. Isoleer de macht van x (balansmethode)

2. Verhef beide kanten met dezelfde macht om x vrij te maken (balansmethode)

3. Rond zo nodig af op twee decimalen.

y = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 2 ​ ​} \sqrt ​ x ​ ​ ​

Slide 12 - Tekstslide

§5.1 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.1D 17 t/m 22

Slide 13 - Tekstslide

§5.2 - Machtsfuncties en wortelfuncties

Slide 14 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Slide 15 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Grafieken van functies als vormen een

parabool als n = even

Een parabool is lijnsymmetrisch. Je kunt een

spiegel leggen op de y-as. De y-as is dan de symmetrieas.

y = a x^{​ n ​ ​}

Slide 16 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Functies als met n = oneven zien

eruit als dit:

Deze grafiek heeft geen symmetrieas,

maar is wel puntsymmetrisch met de

oorsprong.

y = a x^{​ n ​ ​}

Slide 17 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Je kunt de grafiek van de standaardfunctie y = x²

verschuiven. Zo'n verschuiving noem je een

translatie.

Door

Slide 18 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Door een translatie toe te passen op y = x2

ontstaat de oranje grafiek. Dit noem je

een beeldgrafiek.

Deze grafiek ontstaat door een translatie van

4 naar links en 2 omlaag.

Notatie: translatie (-4, -2)

Slide 19 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Ten slotte kun je ook nog een vermenigvuldiging

toepassen op een grafiek.

Hier vermenigvuldig je de functie met een

constante ten opzichte van de x-as.

Slide 20 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Bij een horizontale translatie p: Vervang x voor x - p

Bij een verticale translatie q: Tel q bij de functie op

Bij een vermenigvuldiging

ten opzichte van x-as a: Vermenigvuldig functie met a

Slide 21 - Tekstslide

§5.2A - De grafiek van een machtsfunctie

Bij een horizontale translatie p: Vervang x voor x - p

Bij een verticale translatie q: Tel q bij de functie op

Bij een vermenigvuldiging

ten opzichte van x-as a: Vermenigvuldig functie met a

Op de functie: voer je achtereenvolgens de volgende transformaties uit:

1. Eerste translatie (2, 4)

2. Daarna verm. x-as, -3

Stel de formule op van de beeldgrafiek.

y = 3 x^{​ 3 ​ ​} - 2

Slide 22 - Tekstslide

§5.2 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.2A 25 t/m 29

§5.2B 30 t/m 33

Slide 23 - Tekstslide

§5.2B - Domein en bereik van wortelfuncties

Domein en bereik.

Wat is het domein van een functie?

Wat is het bereik van een functie?

Slide 24 - Tekstslide

§5.2B - Domein en bereik van wortelfuncties

Domein: alle geldige invoerwaarden.

(Alles wat ik "in de functie kan stoppen")

Bereik: alle geldige functiewaarden /

uitkomsten (Alles wat "eruit kan komen'')

Slide 25 - Tekstslide

§5.2B - Domein en bereik van wortelfuncties

De grafiek van is de standaardgrafiek van wortelfuncties.

Wat is het:

Domein?
Bereik?
Randpunt?

y = \sqrt ​ x ​ ​ ​

Slide 26 - Tekstslide

§5.2B - Domein en bereik van wortelfuncties

Ook op wortelfuncties zijn transformaties toe te passen,

zoals translatie of vermenigvuldiging met de x-as.

Hier gebruik je dezelfde methode als bij machtfuncties. Let

hierbij ook op dat je domein en bereik kan veranderen.

Slide 27 - Tekstslide

§5.2B - Domein en bereik van wortelfuncties

Op de functie worden achtereenvolgens de

volgende transformaties uitgevoerd:

1. Translatie (-3, 5)

2. Verm. x-as, 2

Stel de formule op van de beeldgrafiek en geef het domein

en bereik.

y = \sqrt ​ x ​ ​ ​

Slide 28 - Tekstslide

§5.2 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.2A 25 t/m 29

§5.2B 30 t/m 33

Slide 29 - Tekstslide

§5.2C - Algebraïsch oplossen van ongelijkheden met wortels

Houd bij het oplossen van ongelijkheden rekening met het domein van wortels. Bij algebraïsch moet je de GR gebruiken om te schetsen.

"Los algebraïsch op: "

\sqrt ​ 2 x - 2 ​ ​ ​ + 1 + x < 6

Slide 30 - Tekstslide

§5.2 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.2C 34 t/m 41

§5.2D 42 t/m 44

Slide 31 - Tekstslide

§5.2D - Variabelen vrijmaken bij wortelfuncties

Bij de formule kun je x "vrijmaken".

Dit wordt gebruikt bij het bepalen van inversen van functies.

Het doel is hier om x uit te drukken in y. Dus schrijf als:

x = .........

y = - 4 \sqrt ​ 2 x + 4 ​ ​ ​ + 5

Slide 32 - Tekstslide

§5.2 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.2C 34 t/m 41

§5.2D 42 t/m 44

Slide 33 - Tekstslide

§5.3A - De standaardfunctie f(x) = g^x

De functie is een voorbeeld van een exponentiële functie.

Hierbij is g (2) het grondtal en zit de variabele (x) in de exponent.

Wij bespreken alleen functies met g > 0 en g ≠ 1.

f (x) = 2^{​ x ​ ​}

Slide 34 - Tekstslide

§5.3A - De standaardfunctie f(x) = g^x

Hiernaast zie je een plot van

Wat kunnen we zeggen over:

- Het domein van f ?

- Het bereik van f ?

- Heeft f asymptoten?

f (x) = 2^{​ x ​ ​}

Slide 35 - Tekstslide

§5.3A - De standaardfunctie f(x) = g^x

Op exponentiële functie kun je ook transformaties uitvoeren:

horizontale translatie

verticale translatie

vermenigvuldiging met x-as.

Nu komt daar bij: vermenigvuldiging met de y-as.

Slide 36 - Tekstslide

§5.3A - Vermenigvuldiging t.o.v. y-as

Stel, wij willen een functie met factor 2

t.o.v. de y-as vermenigvuldigen.

Hoe zit dit eruit en wat wordt

het functievoorschrift?

Slide 37 - Tekstslide

§5.3A - Vermenigvuldiging t.o.v. y-as

Voor een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met een

factor b, wordt x vervangen door

\frac{​ 1 ​ ​}{​ b ​} \cdot x

Slide 38 - Tekstslide

§5.3A - Vermenigvuldiging t.o.v. y-as

Voor een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met een

factor b, wordt x vervangen door

Stel: op de functie voeren wij een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 3 uit.

\frac{​ 1 ​ ​}{​ b ​} \cdot x

g (x) = 3^{​ 2 x - 2 ​ ​}

Slide 39 - Tekstslide

§5.3 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.3A 46 t/m 52

Slide 40 - Tekstslide

§5.3B - Herleiden tot de vorm

Bovenstaande vorm is een manier om exponentiële functies korter te schrijven.

Om bijvoorbeeld naar deze vorm te brengen, moet je goed gebruik maken van de machtregels:

y = b \cdot g^{​ x ​ ​}

y = 2000 \cdot 2^{​ 4 x - 6 ​ ​}

a^{​ p ​ ​} \cdot a^{​ q ​ ​} = . . .

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = . . .

\frac{​ a ^{​ p ​ ​} ​ ​}{​ a ^{​ q ​ ​} ​} = . . .

Slide 41 - Tekstslide

§5.3 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.3B 53 t/m 57

Slide 42 - Tekstslide

§5.3C - Exponentiële vergelijkingen oplossen

Voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen, zorg je ervoor dat het linkerlid en rechterlid geschreven worden met hetzelfde grondtal g

geeft

voorbeeld 1: voorbeeld 2:

g^{​ A ​ ​} = g^{​ B ​ ​}

A = B

2^{​ 2 x + 1 ​ ​} - 2 = 30

3 \cdot 3^{​ x - 5 ​ ​} = 9^{​ x ​ ​} \cdot \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​}

Slide 43 - Tekstslide

§5.3 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.3C 58 t/m 62

§5.3D 63 t/m 66

Slide 44 - Tekstslide

§5.3D - Herleiden tot de vorm

Soms moet je de vergelijking eerst herleiden in een aantal stappen.

Je kunt de vergelijking pas oplossen als het in de vorm staat!

Los exact op:

g^{​ A ​ ​} = g^{​ B ​ ​}

g^{​ A ​ ​} = g^{​ B ​ ​}

3^{​ x + 2 ​ ​} - 3^{​ x ​ ​} = 72

Slide 45 - Tekstslide

§5.3 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.3C 58 t/m 62

§5.3D 63 t/m 66

Slide 46 - Tekstslide

§5.4 - Logaritmen

Slide 47 - Tekstslide

§5.4 - Logaritmen

2^{​ . . . ​ ​} = 8

2^{​ . . . ​ ​} = 32

2^{​ . . . ​ ​} = 256

2^{​ . . . ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}

Slide 48 - Tekstslide

§5.4 - Logaritmen

En nu?

2^{​ . . . ​ ​} = 12

Slide 49 - Tekstslide

§5.4 - Logaritmen

Omdat en weten wij dat x tussen 3 en 4 moet liggen.

2^{​ x ​ ​} = 12

2^{​ 3 ​ ​} = 8

2^{​ 4 ​ ​} = 16

Slide 50 - Tekstslide

§5.4 - Logaritmen

Voor het exact oplossen van deze vergelijking, gebruiken wij de

logaritme.

2^{​ x ​ ​} = 12

Slide 51 - Tekstslide

§5.4A - Logaritmen

Welke macht van 2 moet ik nemen om 12 te krijgen?

-> numworks

2^{​ x ​ ​} = 12

x =^{​ 2 ​ ​} lo g (12)

Slide 52 - Tekstslide

§5.4A - Logaritmen

"Wat is de logaritme nu precies?"

De logaritme kun je zien als de

inverse van de exponentiële functie.

Slide 53 - Tekstslide

§5.4A - Logaritmen

Waarvoor je gebruik je de logaritme?

De logaritme gebruik je om een exponent te berekenen.

Net als dat je bijv. al de wortel kunt gebruiken om een grondtal te berekenen. (wortel is de inverse van een macht)

Slide 54 - Tekstslide

§5.4A - Logaritmen

Enkele voorbeelden van de logaritme:

geeft

3^{​ x ​ ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 9 ​}

x =^{​ 3 ​ ​} l o g (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 9 ​})

5^{​ x ​ ​} = \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

x =^{​ 5 ​ ​} l o g (\sqrt ​ 5 ​ ​ ​)

Slide 55 - Tekstslide

§5.4A - Logaritmen

Voor het berekenen van logaritmen geldt de algemene regel:

De logaritme en het grondtal 'heffen elkaar op' zodat je de exponent overhoudt.

^{​ g ​ ​} l o g (g^{​ a ​ ​}) = a

Slide 56 - Tekstslide

§5.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.4A 68 t/m 70

§5.4B 71 t/m 74

Slide 57 - Tekstslide

§5.4B - Logaritmische vergelijkingen

is een voorbeeld van een logaritmische vergelijking.

Maak hierbij gebruik van de algemene regel uit 5.4A:

^{​ 2 ​ ​} l o g (x) = 3

^{​ g ​ ​} l o g (g^{​ a ​ ​}) = a

Slide 58 - Tekstslide

§5.4B - Logaritmische vergelijkingen

geeft x = 2³, want

^{​ 2 ​ ​} l o g (x) = 3

^{​ 2 ​ ​} l o g (2^{​ 3 ​ ​}) = 3

Slide 59 - Tekstslide

§5.4B - Logaritmische vergelijkingen

Nog een voorbeeld:

Los exact op:

4 - 3 \cdot^{​ 3 ​ ​} lo g (x + 1) = - 5

Slide 60 - Tekstslide

§5.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.4A 68 t/m 70

§5.4B 71 t/m 74

Slide 61 - Tekstslide

§5.4C - Vergelijkingen in de vorm

Los exact op:

Werk het grondtal 2 links weg met de balansmethode.
Neem van beide leden van de vergelijking de logaritme

g^{​ x ​ ​} = a

2^{​ x + 3 ​ ​} = 12

Slide 62 - Tekstslide

§5.4C - Vergelijkingen in de vorm

Los exact op:

g^{​ x ​ ​} = a

5^{​ x + 1 ​ ​} = 120 + 5^{​ x ​ ​}

Slide 63 - Tekstslide

§5.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.4C 75 t/m 80

Slide 64 - Tekstslide

§5.4D - De grafiek van een logaritme

Op het bord: de functie

Wat kunnen wij vertellen over het verloop van de grafiek?

- Domein?

- Bereik?

- Asymptoten?

f (x) =^{​ 2 ​ ​} l o g (x)

Slide 65 - Tekstslide

§5.4D - De grafiek van een logaritme

is een standaardfunctie

Voor een aantal grondtallen is de logaritme niet gedefinieerd.

f (x) =^{​ g ​ ​} l o g (x)

Slide 66 - Tekstslide

§5.4D - De grafiek van een logaritme

is een standaardfunctie

De logaritme is gedefinieerd voor

f (x) =^{​ g ​ ​} l o g (x)

g > 0 \land g \neq 1

Slide 67 - Tekstslide

§5.4D - De grafiek van een logaritme

Domein vinden:

Standaardfunctie heeft een verticale asymptoot voor x = 0

Het domein van de standaardfunctie is

De logaritme is dus alleen gedefinieerd als er een positief getal binnen de logaritme staat.

Geef het domein voor:

f (x) =^{​ g ​ ​} l o g (x)

[0, \to ⟩

g (x) =^{​ 2 ​ ​} l o g (2 x - 3)

Slide 68 - Tekstslide

§5.4 - Zelfwerkzaamheid

Maken + nakijken:

§5.4D 81 t/m 84

Volgende week 2 (!) lessen om je toets voor te bereiden!

Bereid vragen voor! Ik zit hier 2 × 60 minuten voor jou
Oefenen: check huiswerk, D-toets, Gemengde opgaven, oefentoets (komt)

Slide 69 - Tekstslide

WIB 4V - H5 Machten, exponenten en logaritmen - LHE

Onderdelen in deze les

Slide 1 - Tekstslide

Slide 2 - Tekstslide

Slide 3 - Tekstslide

Slide 4 - Tekstslide

Slide 5 - Tekstslide

Slide 6 - Tekstslide

Slide 7 - Tekstslide

Slide 8 - Tekstslide

Slide 9 - Tekstslide

Slide 10 - Tekstslide

Slide 11 - Tekstslide

Slide 12 - Tekstslide

Slide 13 - Tekstslide

Slide 14 - Tekstslide

Slide 15 - Tekstslide

Slide 16 - Tekstslide

Slide 17 - Tekstslide

Slide 18 - Tekstslide

Slide 19 - Tekstslide

Slide 20 - Tekstslide

Slide 21 - Tekstslide

Slide 22 - Tekstslide

Slide 23 - Tekstslide

Slide 24 - Tekstslide

Slide 25 - Tekstslide

Slide 26 - Tekstslide

Slide 27 - Tekstslide

Slide 28 - Tekstslide

Slide 29 - Tekstslide

Slide 30 - Tekstslide

Slide 31 - Tekstslide

Slide 32 - Tekstslide

Slide 33 - Tekstslide

Slide 34 - Tekstslide

Slide 35 - Tekstslide

Slide 36 - Tekstslide

Slide 37 - Tekstslide

Slide 38 - Tekstslide

Slide 39 - Tekstslide

Slide 40 - Tekstslide

Slide 41 - Tekstslide

Slide 42 - Tekstslide

Slide 43 - Tekstslide

Slide 44 - Tekstslide

Slide 45 - Tekstslide

Slide 46 - Tekstslide

Slide 47 - Tekstslide

Slide 48 - Tekstslide

Slide 49 - Tekstslide

Slide 50 - Tekstslide

Slide 51 - Tekstslide

Slide 52 - Tekstslide

Slide 53 - Tekstslide

Slide 54 - Tekstslide

Slide 55 - Tekstslide

Slide 56 - Tekstslide

Slide 57 - Tekstslide

Slide 58 - Tekstslide

Slide 59 - Tekstslide

Slide 60 - Tekstslide

Slide 61 - Tekstslide

Slide 62 - Tekstslide

Slide 63 - Tekstslide

Slide 64 - Tekstslide

Slide 65 - Tekstslide

Slide 66 - Tekstslide

Slide 67 - Tekstslide

Slide 68 - Tekstslide

Slide 69 - Tekstslide

Meer lessen zoals deze

wi 4V H5 2AB

wi 4V H5 2CD

Machten, exponenten en logaritmen Les 4

wi 4V H5 3A

Machten, exponenten en logaritmen Les 2

Machten, exponenten en logaritmen Les 3

Machten, exponenten en logaritmen Les 5

Machten, exponenten en logaritmen Les 1