Havo 4, H4 en H5

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Havo 4

Hoofdstuk 4 en 5

Havo 4, H4, les 1

Programma

• Studieplanner & PTA
• Uitleg telproblemen, 4.1: vermenigvuldigingsregel en somregel, met en zonder herhaling
• Aan het werk

Huiswerk: Opgave 1, 2 en 4 t/m 9 van 4.1

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop 

Telefoon in telefoontas!

Dit hoofdstuk leer je antwoord te geven op vragen als:

1. hoeveel verschillende pincodes bestaan er?

2. hoeveel verschillende top-3 lijsten kan je samenstellen uit 100 nummers?

3. op hoeveel verschillende manieren kan je drie broeken met 6 shirtjes combineren?

4. op hoeveel verschillende manieren kan je in 4E 2 klassen-vertegenwoordigers kiezen?

5. op hoeveel verschillende manieren is van twee klassen-vertegenwoordigers één klassen vertegenwoordiger één meisje en één jongen?

Ik gooi vier dobbelstenen. Op hoeveel manier kan ik in totaal 4 gooien?

1. 4
2. 0
3. 1
4. 8

Ik gooi met 2 gewone dobbelstenen. Op hoeveel manieren kan ik 7 gooien?

1. 5
2. 7
3. 6
4. 8

Vijf teams spelen een hele competitie.
Dus ze spelen een uit en een thuiswedstrijd. Hoeveel wedstrijden worden er gespeeld?

1. 25
2. 10
3. 8
4. 20

Je laat de schijven hiernaast één keer draaien en telt de uitkomsten op. In de situatie hiernaast is de som 10. Op hoeveel manieren krijg je dat de som 8 is?

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Lesdoelen:

- Ik kan telproblemen overzichtelijk weergeven

- Ik kan telproblemen oplossen 

- Ik kan de somregel en vermenigvuldigingsregel toepassen

- Ik kan het verschil in tellen met herhaling

en tellen zonder herhaling uitleggen

   

4.1A:   en/of regel

• Vermenigvuldigingsregel: Wanneer in je een telprobleem en (kunt) zeggen gebruik je x.
• Somregel: Wanneer in je een telprobleem of (kunt) zeggen gebruik je +.

a) geen machtsboom, want er is steeds een keuze minder.
Geen faculteitsboom, omdat het niet tot 1 doorgaat.

b) iedere functie zijn eigen kolom, 3 dus.

c) 13, dan 12, tot slot 11

d) 13 x 12 x 11 = 1716 samenstellingen

Vermenigvuldigingsregel

De vermenigvuldigingsregel gebruik je bij gecombineerde handelingen 

dus bijvoorbeeld een menu in een restaurant,

Je neemt een voorgerecht én een hoofdgerecht én een nagerecht

Als er 4 voorgerechten, 5 hoofdgerechten en 2 nagerechten zijn, zijn er 4 x 5 x 2 = 40 opties

Somregel

De somregel pas je toe als het één of het ander van toepassing is

Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er als je 3 keer 4 of 3 keer 6 gooit met een dobbelsteen

De vermenigvuldigingsregel

De somregel

4.1B:   tellen met en zonder herhaling

• Zonder herhaling: het aantal mogelijkheden neemt steeds met 1 af
• Met herhaling: het aantal mogelijkheden blijft gelijk

a) geen machtsboom, want er is steeds een keuze minder.
Geen faculteitsboom, omdat het niet tot 1 doorgaat.

b) iedere functie zijn eigen kolom, 3 dus.

c) 13, dan 12, tot slot 11

d) 13 x 12 x 11 = 1716 samenstellingen

Tellen zonder herhaling

Als er een groepje van 8 personen is waarbij iemand gekozen wordt als voorzitter, iemand als secretaris en iemand als penningmeester. 

De mogelijke combinaties: 8x7x6 = 336

Dus er zijn 336 combinaties mogelijk

Tellen met herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

de vijf klinkers (aeiou) worden niet gebruikt

(bv: 12 - wr - tq) 

alle mogelijke combinaties zijn

10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19 448 100

dus er zijn 19 448 100 combinaties mogelijk

Zou je hier zeggen: je mag geen dubbele cijfers en letters, dan zouden er 10 x 9 x 21 x 20 x 19 x 18 = ... combinaties zijn

Als er in een telprobleem EN staat dan gebruik je de .........

1. vermenigvuldigingsregel
2. somregel

Als er in een telprobleem OF staat dan gebruik je de .........

1. vermenigvuldigingsregel
2. somregel

Ik krijg bij de pizzeria de volgende keuzes
1) groot of klein
2) tomatensaus, witte saus of geen saus
3) ham, rosbief of carpaccio
Hoeveel verschillende pizza's zijn er ?

1. 8
2. 18
3. 16
4. 12

Een groep leerlingen organiseert een feest. Ze kunnen kiezen uit 4 data, 3 locaties, 3 verschillende thema's en 2 dj's.
Op hoeveel mogelijke manieren kunnen zij het feest organiseren?

1. 12
2. 72
3. 24
4. 36

Linda heeft in haar kast 4 spijkerbroeken, 5 rokjes en 11 shirtjes liggen.
Hoeveel combinaties kan Linda maken als ze een shirtje en een broek combineert of een shirtje en een rokje?

1. 220
2. 20
3. 99
4. 2420

Op een boekenplank staan 8 Duitse, 11 Engelse en 5 Franse boeken.
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor Caroline als ze twee boeken leest: eerst een Duits boek en daarna een Engels of een Frans boek?

Op een boekenplank staan 8 Duitse, 11 Engelse en 5 Franse boeken.
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor Caroline als ze twee verschillende Duitse boeken gaat lezen?

Aan het werk

Maken opgave 1, 2 en 4 t/m 9

Programma

• Studieplanner & PTA
• Uitleg telproblemen, 4.1: vermenigvuldigingsregel en somregel, met en zonder herhaling

Huiswerk: Opgave 1, 2 en 4 t/m 9 van 4.1

Havo 4, H4, les 2

Programma

• Voorbeeldopgave met/zonder herhaling
• Opgave 8 bespreken
• Eventueel: meer huiswerkopgaven bespreken
• Aan het werk: huiswerk gisteren afmaken + maken 10 t/m 17

Huiswerk: 10, 11, 12, 14 t/m 17

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

- Ik kan telproblemen overzichtelijk weergeven

- Ik kan telproblemen oplossen 

- Ik kan de somregel en vermenigvuldigingsregel toepassen

- Ik kan het verschil in tellen met herhaling

en tellen zonder herhaling uitleggen

   

voorbeeld

website, achtergrond, 3 banen -> rood, geel en blauw

Hoeveel mogelijke achtergronden voor de website zijn er als:

a. alle banen een verschillende kleur hebben

b. twee aan elkaar grenzende banen niet dezelfde kleur mogen hebben?

Aan het werk

Huiswerk vandaag (t/m 9 afmaken)

Maken opgave 10, 11, 12 en 14 t/m 17

Programma

• Voorbeeldopgave met/zonder herhaling
• Opgave 8 bespreken
• Eventueel: meer huiswerkopgaven bespreken
• Aan het werk: huiswerk gisteren afmaken + maken 10 t/m 17

Huiswerk: 10, 11, 12, 14 t/m 17

voorbeeld

website, achtergrond, 3 banen -> rood, geel en blauw

Hoeveel mogelijke achtergronden voor de website zijn er als:

a. alle banen een verschillende kleur hebben

b. twee aan elkaar grenzende banen niet dezelfde kleur mogen hebben?

Havo 4, H4, les 3

Programma

• Uitleg 4.2ABC: permutaties en combinaties
• Aan het werk

Huiswerk: 19 t/m 27

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

- Ik kan uitleggen wat een permutatie, een faculteit en een combinatie is

- Ik kan in de vraag herkennen of het gaat om een permutatie of een combinatie

- Ik kan permutaties en combinaties berekenen. 

   

Permutaties

Een permutatie is een rangschikking zonder herhaling. 

Dus bijvoorbeeld 3 leerlingen van 8 worden uitgekozen.
1 voor muziek, 1 voor drank en 1 voor hapjes. 

Het aantal permutaties van 3 uit 8 is 8x7x6

Als alle leerlingen een taak krijgen zijn er 8 uit 8 permutaties, dat noemen we 8 faculteit en schrijven we als 8!

dat is dus 8x7x6x5x4x3x2x1

Op je GR

Druk op [ALHPA]

Daarna op [WINDOW]

Voor een Permutatie gebruik je nPr

Voor een faculteit gebruik je !

Permutaties voorbeeld 2

Op hoeveel manieren kun je uit 10 boeken een top 3 samenstellen? 

De volgorde is van belang bij een top 3, 

dus 10 x 9 x 8 of dus op je rekenmachine 10nPr3

En op hoeveel manieren kun je 10 boeken rangschikken? 

Volgorde is van belang, 

dus 10 x 9 x 8 x 7 x6 x 5 x 4 x3 x2 x 1 of dus op je rekenmachine: 10!

Combinaties

Als de volgorde niet van belang is, spreken we van een combinatie.

Uit 5 (ABCDE) leerlingen worden er 3 gekozen voor een schoonmaakploeg. 

Dan is 5x4x3 niet goed, omdat bv ABC hetzelfde is als BCA en ACB en...

 

compleet willekeurig

Combinaties

Het aantal combinaties van 3 uit 5  noteren we als: 

Dat spreek je uit als 5 boven 3

Op de GR: 5nCr3=10

(​3​5​​)

(​3​5​​)=​3⋅2⋅1​​5⋅4⋅3​​=​3!​​5⋅4⋅3​​=​6​​60​​=10

Op je GR

Druk op [ALHPA]

Daarna op [WINDOW]

Voor een Combinatie gebruik je nCr

Voorbeeld 

In een klas van 25 leerlingen worden 5 kaartjes verloot. 

Op hoeveel verschillende manieren kan dat? 

Het is een combinatie omdat je een kaartje maar 1x kan vergeven en het maakt niet uit of je kaartje 1, 2, 3, 4 of 5 krijgt. 

Dus de volgorde is niet van belang. Dus combinaties!!

Je rekent nu dus uit 25nCr5

We spreken dit uit als 25 boven 5 en noteren het als   

(​5​25​​)

In een afspeellijst staan 12 nummers. Je wilt een top 5 samenstellen uit deze 12 nummers. Op hoeveel manieren kan dat?

Voorbeeld top 5 maken 

In je afspeellijst staan twaalf nummers. Je wilt een top 5 samenstellen. Op hoeveel manieren kan dat? 

Het is een permutatie omdat je geen nummers kan herhalen en je wilt een rangschikking (=top5) maken. 

Je wilt dus het aantal permutaties weten van 5 uit 12. 

Dus 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95040

of via je GR doe je 12nPr5 = 95040

Een fotograaf heeft 14 foto's gemaakt. In een brochure van 10 pagina's wordt op elke pagina 1 foto afgedrukt. Op hoeveel manieren kunnen de foto's geplaats worden.

1. 8 717 291 200
2. 3 632 428 800
3. 140
4. 289 254 655 000

Antwoord

keuze uit  14 foto's 

 10 pagina's (op elke pagina 1 foto)  

Op hoeveel manieren kunnen de foto's geplaats worden?

 Dus 10 uit 14

14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 14 npr 10 = 3632428800 (B)

Permutaties

Combinaties

Uit een klas worden 6 leerlingen gekozen om een team te vormen.

Bij een verloting zijn 3 prijzen te winnen. Een tablet, GR en een taart.

In een klas worden 5 bioscoop bonnen verloot.

Een vereniging kiest uit haar leden een voorzitter, een secretaris en een penningmeester.  

Op een school zijn 12 lokalen. 3 lokalen krijgen een nieuw digibord. Op hoeveel manieren kunnen deze lokalen gekozen worden?

1. 1728
2. 1320
3. 220
4. 531441

Antwoord

Op een school zijn 12 lokalen. 3 lokalen krijgen een nieuw digibord. Op hoeveel manieren kunnen deze lokalen gekozen worden? 

3 uit 12 en volgorde is niet van belang. Dus 12 boven 3.

= 220

(​3​12​​)

Aan het werk

Programma

• Uitleg 4.2ABC: permutaties en combinaties
• Aan het werk

Huiswerk: 19 t/m 27

Maken opgave 19 t/m 27

Havo 4, H4, les 4

Programma

• Terugblik + uitleg permutaties en combinaties combineren en toepassen met optelregel en vermenigvuldigingsregel
• Aan het werk: 28, 29, 31 t/m 35, 37, 38

Huiswerk:  28, 29, 31 t/m 35, 37, 38

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Terugblik

• Optelregel: als er in de vraag of gebruikt wordt (voorbeeld: Je kiest uit 4 verschillende boeken 2 boeken om te lezen óf je kiest 1 boek om te lezen. Op hoeveel manieren kan dit? 2 boeken kiezen kan op 4 x 3 = 12 manieren. 1 boek kiezen kan op 4 manieren. Dus 12 + 4 = 16 manieren in totaal
• Vermenigvuldigingsregel: Als er in de vraag en gebruikt wordt
• Combinatie: de volgorde is niet van belang voor het eindresultaat (voorbeeld: ik kies 3 leerlingen uit de klas van 30 en die krijgen een 10 op de volgende toets) --> 30nCr3
• Permutatie: de volgorde is wel van belang voor het eindresultaat (voorbeeld: ik kies 3 leerlingen uit de klas en de eerste krijgt een 10, de tweede een 9 en de derde een 8) --> 30nPr3

Voor een studie melden zich 200 studenten aan. Iedereen krijgt een studentnummer van 1 t/m 200. Hoeveel mogelijkheden?

1. Permutaties
2. Combinaties

Van de 30 laptops komen de beste 3 op de website van CoolBlue. Hoeveel mogelijkheden?

1. Permutaties
2. Combinaties

Je wilt een top 5 maken van de nummers uit je afspeellijst. Hoeveel mogelijkheden?

1. Permutaties
2. Combinaties

De beste 2 leerlingen van de school worden doorgestuurd naar de landelijke finale. Hoeveel mogelijkheden?

1. Permutaties
2. Combinaties

Uit de klas worden 5 leerlingen gekozen om de kantine op te ruimen. Hoeveel mogelijkheden?

1. Permutaties
2. Combinaties

Van de 30 laptops komen nummer 1, 2 en 3 op de website van CoolBlue. Hoeveel mogelijkheden?

1. Permutaties
2. Combinaties

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met 2 jongens? 

Volgorde is niet van belang dus combinatie,

Je kiest jongens én meisjes, dus vermenigvuldigingsregel

(​2​6​​)⋅(​4​9​​)=15⋅126=1890

Op de GR 6nCr2 x 9nCr4

Er zijn dus 1 890 mogelijke combinaties

2 van de 6 jongens

4 van de 9 meisjes

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 5 meisjes? 

Dan heb je dus 6 meisjes of 5 meisjes en 1 jongen

of = optelregel, en = vermenigvuldigingsregel

(​6​9​​)+(​5​9​​)⋅(​1​6​​)=84+126⋅6=840

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

Dus er zijn 840 mogelijke combinaties

Vermenigvuldigingsregel

EN = vermenigvuldigen

Een klas bestaat uit 12 jongens en 17 meisjes er wordt een comité van 5 leerlingen gevormd.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met drie jongens?

3 jongens EN 2 meisjes

12nCr3 x 17nCr2

Optelregel

OF = Optellen

Een klas bestaat uit 12 jongens en 17 meisjes er wordt een comité van vijf leerlingen gevormd.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 4 jongens?

4 jongens EN 1 meisje OF 5 jongens

12nCr4 x 17nCr1 + 12nCr5

Linda heeft in haar kast 4 spijkerbroeken, 5 rokjes en 11 shirtjes liggen.
Linda gaat op vakantie en wil 2 spijkerbroeken en 5 shirtjes meenemen of 1 spijkerbroek, 2 rokjes en 5 shirtjes. Op hoeveel manieren kan dit?

1. 220
2. 20
3. 99
4. 2420

Linda heeft in haar kast 4 spijkerbroeken, 5 rokjes en 11 shirtjes liggen.
Linda gaat op vakantie en wil 2 spijkerbroeken en 5 shirtjes meenemen of 1 spijkerbroek, 2 rokjes en 5 shirtjes. Op hoeveel manieren kan dit?

Linda heeft in haar kast 4 spijkerbroeken, 5 rokjes en 11 shirtjes liggen.

Linda gaat op vakantie en wil 2 spijkerbroeken en 5 shirtjes meenemen of 1 spijkerbroek, 2 rokjes en 5 shirtjes. Op hoeveel manieren kan dit? 

• 2 spijkerbroeken en 5 shirtjes: 4nCr2 x 11nCr5 = 2772
• 1 spijkerbroek, 2 rokjes en 5 shirtjes: 4nCr1 x 5nCr2 x 11nCr5 = 18480
• situatie A of situatie B =  2772 + 18480 = 21252 mogelijkheden

Aan het werk

Maken opgave: 

28, 29, 31 t/m 35, 37, 38

Programma

• Terugblik + uitleg permutaties en combinaties combineren en toepassen met optelregel en vermenigvuldigingsregel
• Aan het werk: 28, 29, 31 t/m 35, 37, 38

Huiswerk:  28, 29, 31 t/m 35, 37, 38

Havo 4, H4, les 5

Programma

• Uitleg: A of B telproblemen
• Aan het werk: maken t/m 45
• Eventueel: opgave 41 t/m 45 samen doen 
• Proefwerk H6 bespreken

Huiswerk:  28, 29, 31 t/m 35, 37, 38, 39, 41 t/m 45

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

- Ik kan combinaties en permutaties herkennen

- Ik kan de optelregel en vermenigvuldigingsregel gebruiken bij permutaties en combinaties

- Ik kan een A/B-telprobleem herkennen en oplossen

   

opgave a: 

Situatie A (kop) of situatie B (munt)

Dus een A of B telprobleem (er zijn maar 2 situaties mogelijk)

Combinatie, want de volgorde maakt niet uit voor het eindresultaat (alle 8 de muntjes die ik kies, krijgen hetzelfde, namelijk kop)

(​8​10​​)=45

(​2​10​​)=45

opgave b:

Situatie A (kop) of situatie B (munt)

Dus een A of B telprobleem (er zijn maar 2 situaties mogelijk)

Combinatie, want de volgorde maakt niet uit voor het eindresultaat (alle 5 de muntjes die ik kies, krijgen hetzelfde, namelijk kop)

(​5​10​​)=252

opgave c: 

Situatie A (kop) of situatie B (munt)

Dus een A of B telprobleem (er zijn maar 2 situaties mogelijk)

Dus voor elke keer gooien zijn er 2 mogelijkheden, en Willem gooit in totaal 10 keer, dus 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x 2 x 2 =

2​10​​=1024

Aan het werk

Programma

• Uitleg: A of B telproblemen
• Aan het werk: maken t/m 45

• Eventueel: opgaven 41 t/m 44 samen
• Proefwerk H6 bespreken

Huiswerk:  28, 29, 31 t/m 35, 37, 38, 39, 41 t/m 45

Aan het werk: 

28, 29, 31 t/m 35, 37, 38, 39, 41 t/m 45

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, op 2 ervan moet een A komen op 4 een B

dus bv: ABBABB

Hoeveel mogelijkheden zijn er?  

Er zijn 6x5 mogelijkheden om de A te plaatsen , maar omdat het een combinatie is, (de volgorde maakt niet uit) moet je dat nog delen door 2! 

(​2​6​​)=15

Op de GR 6nCr2 of 6nCr4

Dus er zijn 15 combinaties mogelijk

Omdat het ook 4 B's van de 6 plekken zijn is dat hetzelfde als:

(​4​6​​)=15

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6 B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

Dit kan ook makkelijker: 

op de eerste plek staat een A of een B, 2 mogelijkheden dus. 

Dat is bij 6 plekken zo dus 

2​6​​=64

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

(​0​6​​)⋅(​1​6​​)⋅(​2​6​​)⋅(​3​6​​)⋅(​4​6​​)⋅(​5​6​​)⋅(​6​6​​)=64

Op de GR 6nCr0+6nCr1+6nCr2+6nCr3+6nCr4+6nCr5+6nCr6

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Havo 4, H4, les 7

Programma

• Huiswerkopdrachten maken / samen bespreken

Huiswerk:  46, 47, 49, 50, 51 en 55 t/m 63

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek

Telefoon in telefoontas!

Havo 4

Hoofdstuk 5

Havo 4, H4, les 8

Programma

• Uitleg 5.1
• Aan het werk

Huiswerk: Opgave 1 en 3 t/m 9

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen in lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

• Ik kan uitleggen wat een open en gesloten interval is
• Ik kan uitleggen wat [ ] (gesloten haakjes) en < > (open haakjes) inhouden
• Ik kan bij een getallenlijn zelf het interval noteren 
• Ik kan uitleggen wat de verschillende soorten van stijgen en dalen zijn
• Ik kan de verschillende soorten van stijgen en dalen herkennen in een grafiek
• Ik kan bepalen welke soort stijging of daling hoort op een bepaald interval van de grafiek

Intervallen

open interval:                      

gesloten interval:  

<1,5>

[1,5;6]

<←,5>

alle getallen tussen 1 en 5

1 en 5 doen níet mee

alle getallen kleiner dan 5
5 doet níet mee

alle getallen tussen 1,5 en 6
1,5 en 6 doen wel mee

[1,5;→>

alle getallen groter dan 1,5
1,5 doet wel mee

Intervallen 

<←,−5>

<−2,3]

[7,→>

Soorten stijgen en dalen

constante stijging

afnemende stijging

toenemende stijging

constante daling

afnemende daling

toenemende daling

Sleep de tekst naar de bijbehorende grafiek

toenemende 

stijging

toenemende 

daling

afnemende 

stijging

afnemende daling

constante 

stijging

constante daling

Stijgen, dalen en intervallen

Stijgen en dalen geven we aan met 

intervallen. 

         betekent: 1 doet niet mee

         betekent: 1 doet mee

         betekent: alles onder

⟨1

[1

⟨←

Antwoorden

Stijgend:                   en

Dalend:                en 

⟨←,1⟩

⟨3,5⟩

⟨1,3⟩

⟨5,→⟩

Soorten stijgen en dalen

Maak opdracht 10

Je hebt 10 minuten

Antwoorden

a) Constante stijging

     Afnemende stijging

     Toenemende daling

     Afnemende daling

     Toenemende stijging                 of 

b)                , hier neemt de snelheid af.

⟨4,7⟩

[0,3⟩

⟨3,4⟩

⟨4,5⟩

⟨5,7⟩

⟨7,→⟩

⟨7,10⟩

Welke intervalnotatie hoort bij het volgende interval

1. [-1,4]
2. [-1,4>
3. <-1,4]
4. <-1,4>

Welke intervalnotatie hoort bij het interval op deze getallenlijn?

1. [-7,-2]
2. <-7,-2]
3. <←,-2]
4. [7,-2>

Welke intervalnotatie hoort bij het interval op deze getallenlijn?

1. [-1,4]
2. <-1,4]
3. [-1,4>
4. <-1,4>

Welke intervalnotatie hoort bij het interval op deze getallenlijn?

1. [-3,2]
2. <-3,→]
3. [-3,→>
4. [-3,2>

Het interval op <1,2> is:

1. Toenemend dalend
2. Toenemend stijgend
3. Afnemend stijgend
4. Afnemend dalend

Op het interval <2, 6>
loopt de grafiek van

1. afnemend dalend naar toenemend stijgend
2. toenemend dalen naar toenemend stijgend
3. afnemend stijgend naar toenemend stijgend
4. toenemend stijgend naar afnemend stijgend

Op welk interval
is de grafiek afnemend dalend?

1. < 1, 3 >
2. < 2, 3 >
3. < 5, 7 >
4. < 1, 2 >

Op welk interval
is de grafiek toenemend stijgend ?

1. < -1, 1 >
2. < 3, 4 >
3. < 3, 5 >
4. < 4, 5 >

Bij een gesloten interval...

1. ...doen de grenzen wel mee en gebruik je <...>
2. ...doen de grenzen wel mee en gebruik je [...]
3. ...doen de grenzen niet mee en gebruik je <...>
4. ...doen de grenzen niet mee en gebruik je […]

Het interval <0, 9] is hetzelfde als

1. 0 ≤ x ≤ 9
2. 0 ≤ x <9
3. 0 <x ≤ 9
4. 0 < x < 9

interval <7, 10>
betekent?

1. tussen 7 en 10 inclusief 7
2. tussen 7 en 10 exclusief 7 en 10
3. tussen 7 en 10 exclusief 10
4. tussen 7 en 10 inclusief 7 en 10

Bij een open interval...

1. ...doen de grenzen wel mee en gebruik je <...>
2. ...doen de grenzen wel mee en gebruik je [...]
3. ...doen de grenzen niet mee en gebruik je <...>
4. ...doen de grenzen niet mee en gebruik je […]

Aan het werk

Programma

• Uitleg 5.1
• Aan het werk

Huiswerk: Opgave 1 en 3 t/m 9

Maken opgave 1 en 3 t/m 9

Lesdoelen:

• Ik kan uitleggen wat een open en gesloten interval is
• Ik kan uitleggen wat [ ] (gesloten haakjes) en < > (open haakjes) inhouden
• Ik kan bij een getallenlijn zelf het interval noteren 
• Ik kan uitleggen wat de verschillende soorten van stijgen en dalen zijn
• Ik kan de verschillende soorten van stijgen en dalen herkennen in een grafiek
• Ik kan bepalen welke soort stijging of daling hoort op een bepaald interval van de grafiek
• Huiswerk: opgave 1 en 3 t/m 9

Havo 4, H4, les 9

Programma

• Uitleg minimum en maximum
• Uitleg van grafiek naar toenamediagram

Huiswerk: Opgave 10 t/m 24

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen in lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

• Ik kan uitleggen wat minimum, maximum en randpunten zijn
• Ik kan een toenamediagram tekenen bij een grafiek
• Huiswerk: opgave 10, 11, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23

Maxima en minima: begrippen

Top: elk punt waarop een grafiek overgaat 

van stijgen in dalen of andersom. 

Maximum: elk punt waarop een grafiek 

overgaat van stijgen naar dalen

Minimum: elk punt waarop een grafiek 

overgaat van dalen naar stijgen.

Randpunten: grenzen van het interval (P en Q) 

zijn ook minimum of maximum, in dit geval minimum

randpunten

maxima

het absoluut minimum

het absoluut maximum

minima

A en F zijn:

B, D en Fzijn:

A,C en E zijn:

D is:

C is:

Welke manier van stijgen/dalen hoort op interval ⟨5, 7⟩

A. Afnemende daling

B. Afnemende stijging

C. Toenemende daling

D. Toenemende stijging

Welke manier van stijgen/dalen hoort op interval ⟨10, 15⟩

1. Afnemende daling
2. Afnemende stijging
3. Toenemende daling
4. Toenemende stijging

Hoeveel minima zie je in de grafiek?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hoeveel minima zie je in de grafiek?

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Hoeveel minima zie je in de grafiek?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Teken het toenamediagram op 

[0; 3,5] met stapgrootte  Δx = 0,5.

Teken het toenamediagram op 

[0; 3,5] met stapgrootte Δx = 0,5.

Eerst toenames noteren.

Teken het toenamediagram op 

[0; 3,5] met stapgrootte Δx = 0,5.

Teken het toenamediagram met behulp van de gegevens.

Teken het toenamediagram op 

[0; 3,5] met stapgrootte Δx = 0,5.

Aan het werk

• Huiswerk: opgave 10, 11, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23
  

Havo 4, H4, les 10

Programma

• Terugblik: toenamediagram
• Uitleg nieuwe theorie: van toenamediagram naar grafiek
• Oefenvragen
• Aan het werk: 26 t/m 32
• Quizizz hoofdstuk 5: 9887 6469

Huiswerk: Opgave 26 t/m 32

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen in lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Teken het toenamediagram op 

[0; 3,5] met stapgrootte Δx = 0,5.

Terugblik: Het maken van een toenamediagram

Lesdoelen:

• Ik kan bij een toenamediagram zelf de grafiek tekenen
• Huiswerk: opgave 28, 29, 30, 31, 32 + quizizz

toenamediagram -> grafiek (globaal = schetsen & herkennen)

• Wanneer heb je een stijgende grafiek?
• Wanneer daalt de grafiek?
• Wanneer is er een top?
• Een top herken je in het toenamediagram als je overgaat van stijging naar daling (maximum) of andersom (minimum)

Van Toenamediagram naar Grafiek tekenen

Teken bij dit toenamediagram de grafiek met t=0 op 1 januari en op 1 april zijn er 850 konijnen

Van Toenamediagram naar Grafiek tekenen

Teken bij dit toenamediagram de grafiek met t=0 op 1 januari en op 1 april zijn er 850 konijnen

Vul 1 april (t=3, want t=0 is januari, dus t = 1 is februari, etc.) in (850) en ga vanaf daar verder rekenen en terugrekenen met behulp van het toenamediagram

In een toenamediagram zie je altijd de rechtergrens van een interval, dus als er bij t = 3 een toename is van 100, dan is dit de toename op het interval [2, 3]. Dus de toename van maart tot april. 

Van Toenamediagram naar Grafiek tekenen

Teken bij dit toenamediagram de grafiek met t=0 op 1 januari en op 1 april zijn er 850 konijnen

7.2 van toenamediagram naar grafiek

Film:  toename diagram

• Je weet wat een interval is.
• Je weet hoe je van een toenamediagram maakt van de stijgende en dalende grafiek kunt maken

Op de grafiek van y
ligt het punt (2,7).
Wat is de y - coördinaat van x=4

1. 10
2. 9
3. 7,5
4. 6,5

Op de grafiek van y
ligt het punt (3; 6,5).
Wat is de y - coördinaat van x=2

1. 4
2. 6
3. 7
4. 9

Kijk naar het toenamediagram
hiernaast.
Leg in eigen woorden uit wat
het staafje bij x=4 betekent

Aan de slag!

Hoe?

• Fluisterend overleg

Hulp?

• Steek je hand op

Tijd?

• Tot 15 minuten voor de bel

Klaar?

• Opdrachten nakijken.
• Beginnen aan HW volgende les

Wat?

• Maken 28 t/m 32

Aan de slag!

Hoe?

• Zelfstandig en in stilte

Hulp?

• Volgende les

Tijd?

• Tot einde les, quizizz moet af

Klaar?

• Opdrachten nakijken.
• Beginnen aan HW volgende les

Wat?

• Maken quizizz 98876469

Lesdoelen:

• Ik kan bij een toenamediagram zelf de grafiek tekenen
• Huiswerk: opgave 28, 29, 30, 31, 32 + quizizz

Havo 4, H5, les 11

Programma

• Terugblik: toenamediagram
• Uitleg nieuwe theorie
• Aan het werk: 33-38
• Quizizz hoofdstuk 4 en 5

Huiswerk: Opgave 33, 34, 36, 37, 38

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek, laptop (inloggen in lessonup)

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

• Ik kan de grafische rekenmachine gebruiken om bij een formule een toenamediagram te tekenen
• Huiswerk: 33, 34, 36, 37, 38

De globale grafiek past bij dit toenamediagram

1. Waar
2. Niet waar

De globale grafiek past bij dit toenamediagram

1. Waar
2. niet waar

Lesdoelen:

• Ik kan de grafische rekenmachine gebruiken om bij een formule een toenamediagram te tekenen
• Huiswerk: 33, 34, 36, 37, 38

Formules en toenamediagrammen

Om een toenamediagram te maken bij een gegeven formule, voer je de formule in op je grafische rekenmachine en maak je een tabel met de juiste stapgrootte.

Aan de slag!

Hoe?

• Fluisterend overleg

Hulp?

• Hand opsteken

Tijd?

• Tot einde les

Klaar?

• Opdrachten nakijken.
• Beginnen aan HW volgende les

Wat?

• Maken opgaven planner 
• Maken quizizz vorige les: 9887 6469
• Quizizz H4 en H5: 9774 6135
• Quizizz heel H5: 9866 3284

Havo 4, H5, les 12

Programma

• Terugblik: toenamediagram bij formule met GRM
• Uitleg nieuwe theorie: differentiequotiënt
• Aan het werk: 39 - 47

Huiswerk: Opgave 39, 41, 42, 43, 45, 46, 47

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

• Ik kan de gemiddelde verandering van een grafiek op een bepaald interval berekenen
• Ik kan uitleggen wat het differentiequotiënt is en deze berekenen
• Huiswerk: 39, 41, 42, 43, 45, 46, 47

Terugblik: formule -> toenamediagram

1. voer de formule in op de GR ( y1=...)
2. maak een tabel met de juiste stapgrootte (2nd tableset (boven window))
3. Bekijk de tabel (2nd table (boven graph)) en neem deze over 
4. bereken bij die tabel de toenamen
5. teken het toenamediagram
   

Toenamediagram bij formule

Teken het toenamediagram bij de formule N = 0,7t³ -6t² + 8 met Δt = 2 op interval [0, 8]

Formule naar toenamediagram

• Pak GR en voer formule in
• Plot de tabel met de juiste stapgrootte
• Neem de tabel over in je schrift
• Voeg een kolom met de veranderingen toe
• Teken het toenamediagram

Voorbeeld

Gemiddelde verandering / differentiequotiënt

Bereken de gemiddelde verandering                          Bereken de gemiddelde

tussen A en B                                                                           verandering op het interval

                                                                                                        [15, 25] van de formule

N=20−​b+5​​100​​

Gemiddelde verandering / differentiequotiënt

Bereken de gemiddelde verandering                          Bereken de gemiddelde

tussen A en B                                                                           verandering op het interval

                                                                                                        [15, 25] van de formule

N=20−​b+5​​100​​

Differentiequotiënt

            

              gemiddelde verandering van N per t

​Δt​​ΔN​​=

              bij grafiek

             differentiequotiënt

​Δx​​Δy​​=

gemiddelde verandering van y tussen A en B

dus de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal van de lijn tussen A en B

Differentiequotiënt in een grafiek

Het differentiequotiënt op het interval [1,3]:

​Δx​​Δy​​=​3−1​​1000−200​​=​2​​800​​=400

Bereken het differentiequotiënt 

op [-1, 3]

Bereken het differentiequotiënt op [2,5]

1. 3
2. -3
3. ​3​​1​​
4. −​3​​1​​

Aan de slag!

Hoe?

• Fluisterend overleg

Hulp?

• Hand opsteken

Tijd?

• Tot einde les

Klaar?

• Opdrachten nakijken.
• Beginnen aan HW volgende les

Wat?

• Maken opgaven planner: Opgave 39, 41, 42, 43, 45, 46, 47
• Maken deel 1 H5: 9887 6469
• Quizizz H4 en H5: 9975 2049
• Quizizz heel H5: 9866 3284

Lesdoelen:

• Ik kan de gemiddelde verandering van een grafiek op een bepaald interval berekenen
• Ik kan uitleggen wat het differentiequotiënt is en deze berekenen
• Huiswerk: 39, 41, 42, 43, 45, 46, 47

Havo 4, H5, les 13

Programma

• Terugblik: differentiequotiënt
• Uitleg nieuwe theorie: differentiequotiënt bij formule
• Herhaling H4 en H5
• Aan het werk: 48 - 54 maken
• Zelf oefenen en leren voor de toets (morgen hele les, laatste les)

Huiswerk: 48, 49, 51, 52, 54

Wat heb je nodig? Pen, schrift, rekenmachine, boek

Telefoon in telefoontas!

Lesdoelen:

• Ik kan de differentiequotiënt berekenen bij een formule
• Huiswerk: 48, 49, 51, 52, 54

Het differentiequotiënt van y op interval [2,5] is hetzelfde als de gemiddelde verandering van y op [2,5].

1. waar
2. niet waar

Het differentiequotiënt van y op [1,6] is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van lijn AB.

1. waar
2. niet waar

Het differentiequotiënt van y op [1,6] is gelijk aan de helling van lijn AB.

1. waar
2. niet waar

Het differentiequotiënt van y op [1,6] is:

1. 3
2. 5
3. 0,6
4. 1,67

Het differentiequotiënt van y op [1,5] is:

1. 0,5
2. 1
3. 2
4. 5

Het differentiequotiënt van y op [2,6] is:

1. 0
2. 1
3. 3
4. 6

Lesdoelen:

• Ik kan de differentiequotiënt berekenen bij een formule
• Huiswerk: 48, 49, 51, 52, 54

differentiequotiënt

Bij b = 5 hoort N = 10

Bij b = 15 hoort N = 15

Bereken het differentiequotiënt van N op [5,15].

Bereken N als b = 5

Bereken N als b = 15

Bij b = 5 hoort N = 10
Bij b = 15 hoort N = 15
Bereken het differentiequotiënt van N op [5,15].

Aan de slag!

Hoe?

• Fluisterend overleg

Hulp?

• Hand opsteken

Tijd?

• Tot einde les

Klaar?

• Opdrachten nakijken.
• Beginnen aan HW volgende les

Wat?

• Maken opgaven planner: Opgave 48, 49, 51, 52, 54
• Maken deel 1 H5: 9887 6469
• Quizizz H4 en H5: 9975 2049
• Quizizz heel H5: 9866 3284

Lesdoelen:

• Ik kan de differentiequotiënt berekenen bij een formule
• Huiswerk: 48, 49, 51, 52, 54

Hoofdstuk 4 en 5 herhaling

Paragraaf 4.1

- Ik kan telproblemen structureren

- Ik ken de vermenigvuldigingsregel en somregel en kan deze toepassen

- Ik kan tellen met en zonder herhaling en weet het verschil in berekening 

Telproblemen schematiseren 

boomdiagram

wegendiagram

systematisch noteren

rooster

Vermenigvuldigingsregel

De vermenigvuldigingsregel gebruik je bij gecombineerde handelingen 

dus bijvoorbeeld een menu in een restaurant,

Je neemt een voorgerecht én een hoofdgerecht én een nagerecht

Somregel

De somregel pas je toe als het één of het ander van toepassing is

Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er als je 3 keer 4 of 3 keer 6 gooit met een dobbelsteen

Tellen zonder herhaling

Als er een groepje van 8 personen is waarbij iemand gekozen wordt als voorzitter, iemand als secretaris en iemand als penningmeester. 

De mogelijke combinaties: 8x7x6 = 336

Dus er zijn 336 combinaties mogelijk

Tellen met herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

de vijf klinkers (aeiou) worden niet gebruikt

(bv: 12 - wr - tq) 

alle mogelijke combinaties zijn

10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19 448 100

dus er zijn 19 448 100 combinaties mogelijk

Tellen met en zonder herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

de vijf klinkers worden niet gebruikt. Als letters en cijfers maar 1 keer gebruikt mogen worden zijn de mogelijke combinaties:

10 x 9 x 21 x 20 x 19 x 18 =12 927 600

dus er zijn 12 927 600 combinaties mogelijk

Paragraaf 4.2

- Ik weet wat permutaties en combinaties zijn

- Ik weet wanneer ik een permutatie of combinatie gebruik

- Ik ken de notatie voor permutaties en combinaties

Permutaties

Een permutatie is een rangschikking zonder herhaling (Of: voor het eindresultaat maakt de volgorde van kiezen WEL uit)

Dus bijvoorbeeld 3 leerlingen van 8 worden uitgekozen.
1 voor muziek, 1 voor drank en 1 voor hapjes. 

Het aantal permutaties van 3 uit 8 is 8x7x6

Als alle leerlingen een taak krijgen zijn er 8 uit 8 permutaties, dat noemen we 8 faculteit en schrijven we als 8!

dat is dus 8x7x6x5x4x3x2x1

Permutaties

Het aantal permutaties van 3 uit 8 reken je als volgt uit:

op TI: ALPHA - WINDOW  en dan NPR

8nPr3 = 336 (dit is hetzelfde als 8 x 7 x 6)

Het aantal permutaties van 8 uit 8 (8! dus) dus reken je uit als volgt: op TI: APLHA - WINDOW en dan !

8! = 40320 (dit is hetzelfde als 8 x 7 x 6 x 5 x4 x3 x 2 x 1)

Op de toets schrijf je niet 8 nPr 3, maar 8 x 7 x 6

Stel je hebt een 40 nPr 22, dan schrijf je 40 x 39 x 38 ... x 20 x 19 = 

Combinaties

Als de volgorde niet van belang is, spreken we van een combinatie.

Uit 5 (ABCDE) leerlingen worden er 3 gekozen voor een schoonmaakploeg. 

Dan is 5x4x3 niet goed, omdat bv ABC hetzelfde is als BCA en ACB en...

Daarom berekenen we een combinatie van 3 uit 5 als 

 = 5 nCr 3 = 10

Gebruik op de toets de bovennotatie met haakjes bij een combinatie! NPR en NCR zijn functies van de rekenmachine, dit is geen berekening die je opschrijft op de toets.

 

compleet willekeurig

(​3​5​​)

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met 2 jongens? 

Volgorde is niet van belang dus combinatie: 

(​2​6​​)⋅(​4​9​​)=15⋅126=1890

Op de GR 6nCr2 x 9nCr4

Er zijn dus 1 890 mogelijke combinaties

2 van de 6 jongens

4 van de 9 meisjes

Notatie op de toets is zoals hier

jongens én meisjes, dus vermenigvuldigingsregel

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 5 meisjes? 

Dan heb je dus 6 meisjes of 5 meisjes en 1 jongen

(​6​9​​)+(​5​9​​)⋅(​1​6​​)=84+126⋅6=840

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

Dus er zijn 840 mogelijke combinaties

Paragraaf 4.3

- Ik weet wat een AB-probleem is en hoe ik dit bereken op de rekenmachine

- Ik kan een scoreverloop (van een wedstrijd) als telprobleem benaderen en zo het aantal mogelijkheden berekenen

- Ik kan telproblemen zelf structureren

- Ik kan een soort puzzel beschouwen als een telprobleem en zo het aantal mogelijkheden berekenen

Aantal rijtjes A's en B's (AB probleem)

Je hebt 6 plekken, op 2 ervan moet een A komen op 4 een B

dus bv: ABBABB

Hoeveel mogelijkheden zijn er?  

Er zijn 6x5 mogelijkheden om de A te plaatsen , maar omdat het een combinatie is, (de volgorde maakt niet uit) moet je dat nog delen door 2! 

(​2​6​​)=15

Op de GR 6nCr2 of 6nCr4

Dus er zijn 15 combinaties mogelijk

AB-probleem: er zijn niet meer dan 2 verschillende mogelijkheden

Omdat het ook 4 B's van de 6 plekken zijn is dat hetzelfde als:

(​4​6​​)=15

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

(​0​6​​)⋅(​1​6​​)⋅(​2​6​​)⋅(​3​6​​)⋅(​4​6​​)⋅(​5​6​​)⋅(​6​6​​)=64

Op de GR 6nCr0+6nCr1+6nCr2+6nCr3+6nCr4+6nCr5+6nCr6

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Routes in een rooster

Hoeveel mogelijkheden zijn er om van A naar C te komen zonder omwegen? 

Om van A naar C te komen moet je 13 stappen zetten. 5 ervan moeten omhoog de volgorde maakt niet uit dus: 

(​5​13​​)

(​8​13​​)

Je kan ook van de 13 stappen 8 stappen naar rechts zetten dan krijg je 

Er zijn dus 1287 mogelijkheden

=1287

Scoreverlopen

Een scoreverloop beschouw je hetzelfde als een route in een rooster

 

Op hoeveel manieren kan een wedstrijd tussen twee teams eindigen in de stand 10 - 7? 

(​10​17​​)

(​7​17​​)

Je kan ook van de 17 doelpunten totaal 7 voor team B berekenen

Er zijn dus 19448 mogelijkheden

=19448

17 doelpunten in totaal (10 + 7) en dan is het een AB probleem, want team A of team B scoort, dan kies je als onderste getal voor de doelpunten van één team

Paragraaf 5.1

- Ik kan een interval noteren bij een getallenlijn

- Ik weet het verschil tussen een open en gesloten interval

- Ik kan bij een interval zelf een getallenlijn tekenen

- Ik ken de 6 verschillende soorten van stijgen en dalen en kan dit in een grafiek herkennen

- Ik weet wat maxima, minima, het absolute minimum en maximum en randpunten zijn

- Ik kan uitleggen wanneer een randpunt ook een minimum of maximum is en wanneer niet

Weet je nog... grafieken en de GR

Formule invoeren in de GR en geschikt venster kiezen.

De grafiek staat op je scherm.

Grafiek plotten en daarna schetsen op papier. Het gaat om de vorm van de grafiek.

Er staan letters bij de assen.

Tabel maken op de GR en maak daarmee een nauwkeurige tekening op papier. Bij het assenstelsel staan getallen en letters.

Plotten

Schetsen

Tekenen

Weet je nog... notatie bij gebruik van de GR

1. formules opschijven: 
   voer in Y₁=....Y₂=...
2. bewerkingen opschrijven:  
   graph, calc, intersect geeft:  x = ..... y = ......
3. antwoord geven op de vraag:
   dus tussen 48 en 65 tassen heeft hij winst

Intervallen

open interval:                      

gesloten interval:  

<1,5>

[1,5;6]

<←,5>

alle getallen tussen 1 en 5

1 en 5 doen níet mee

alle getallen kleiner dan 5
5 doet níet mee

alle getallen tussen 1,5 en 6
1,5 en 6 doen wel mee

[1,5;→>

alle getallen groter dan 1,5
1,5 doet wel mee

Intervallen 

<←,−5>

<−2,3]

[7,→>

Soorten stijgen en dalen

constante stijging

afnemende stijging

toenemende stijging

constante daling

afnemende daling

toenemende daling

Sleep de tekst naar de bijbehorende grafiek

toenemende 

stijging

toenemende 

daling

afnemende 

stijging

afnemende daling

constante 

stijging

constante daling

Minimum en maximum

Toppen: de hoogste en laagste punten van de grafiek.

Toppen en soms randpunten zijn maxima en minima

Hoogste punt is absoluut maximum, laagste punt is absoluut minimum 

absolute minimum is 7

absolute maximum is 25

Op het interval [0,72] zijn de randpunten hier ook een maximum (links) en een minimum (rechts), als we niet perse op dit interval kijken, zou het linker randpunt geen maximum zijn, omdat gezien het verloop van de grafiek je hier nog meer stijging verwacht.

Paragraaf 5.2

- Ik kan een toenamediagram interpreteren (ik kan bedenken hoe de grafiek er ongeveer uitziet, ik kan bedenken wat voor situatie er bij een bepaald toenamediagram zou kunnen passen)

- Ik kan zelf een grafiek bij een toenamediagram tekenen (verschil met schetsen!)

- Ik kan zelf een toenamediagram bij een formule tekenen (GRM)

- Ik kan zelf een toenamediagram bij een grafiek tekenen

Toename

tussen t=0 en t=2 is de toename 10

tussen t=6 en t=8 is de afname 7

[6,8]

ΔN=10

[0,2]

ΔN=−7

Toename diagram

De verticale lijnstukjes staan bij de rechtergrens van de interval

Bij afname staat de lijn onder de horizontale as 

Grafieken

Van grafiek naar toenamediagram
tabel maken met toe- en afnames per interval, lijnen in assenstelsel 

Van toenamediagram naar grafiek

tabel maken met t en N (of wat er op de assen staat) , begin vanuit de waarde die je weet, en ga vanaf daar doortellen dmv toenamediagram, punten in assenstelsel zetten

Iedere grafiek door de punten is goed

GRM: toenamediagram

Van formule naar toenamediagram
formule in Y1 zetten, zorg dat table set goed staat, "table" overnemen, zelf toe- en afnames erbij schrijven, dus 3 kolommen maken

Notatie bij gebruik van de GR

1. formules opschijven: 
   voer in Y₁=....Y₂=...
2. bewerkingen opschrijven:  
   menu graph, draw, G-Solve, intsect geeft:  x = ..... y = ......
3. antwoord geven op de vraag:
   dus tussen 48 en 65 tassen heeft hij winst

Paragraaf 5.3

- Ik kan uitleggen wat een differentiequotiënt is

- Ik kan een differentiequotiënt bij een grafiek berekenen

- Ik kan een differentiequotiënt bij een formule berekenen

Differentiequotiënt

            

              gemiddelde verandering van N per t

​Δt​​ΔN​​=

              bij grafiek

             differentiequotiënt

​Δx​​Δy​​=

gemiddelde verandering van y tussen A en B

dus de rico van de lijn tussen A en B

Differentiequotiënt in een grafiek

Het differentiequotiënt op het interval [1,3]:

​Δx​​Δy​​=​3−1​​1000−200​​=​2​​800​​=400

Differentiequotiënt bij een formule

differentiequotiënt op [15,25]:

dus de differentiequotiënt is ongeveer 0,17 dieren

N=20−​b+5​​100​​

b=15→N=15

b=25→N=16,666...

​Δb​​ΔN​​=​25−15​​16,666...−15​​=0,166...

Aan de slag: laatste lessen

Hoe?

• Fluisterend overleg

Hulp?

• Hand opsteken

Tijd?

• Tot einde les

Klaar?

• Opdrachten nakijken.
• Beginnen aan HW volgende les

Wat?

• Maken opgaven planner: (48 - 54 af)
• (Quizizz deel 1 H5: 9887 6469)
• Quizizz H4 en H5: 9975 2049
• (Quizizz heel H5: 9866 3284)
• Lessonup met herhaling en oefenvragen per hoofdstuk (zie teams)
• Lessonup alles (zie teams)
• Diagnostische toets H4 en H5 maken

Oefenvragen H5

Het interval [0, 5] betekent

1. 0<x<5
2. 0≤x≤5
3. 0<x≤5
4. geen idee

x>-3 is in intervalnotatie

1. <-3, → >
2. [-3, → >
3. <←, -3>
4. geen idee

Op het interval <2, 6>
loopt de grafiek van

1. afnemend dalend naar toenemend stijgend
2. toenemend dalen naar toenemend stijgend
3. afnemend stijgend naar toenemend stijgend
4. toenemend stijgend naar afnemend stijgend

De grafiek heeft
bij B een ...

1. minimum van 1
2. minimum van 30
3. maximum van 1
4. maximum van 30

De grafiek gaat over van dalend naar stijgend, je hebt dan een ...

1. nulpunt
2. maximum
3. minimum
4. geen idee

Als ik een toenamediagram moet tekenen, dan ...

1. moet ik altijd een tabel maken
2. eerst tabel
3. TABEL!!!
4. A, B en C alle drie goed

Wat is de betekenis
van het
staafje bij t=2?

1. toename van 2 graden
2. toename van 3 graden
3. toename van 3 graden van t=0 naar t=2
4. geen idee

Bij t=4 is het 25 graden,
hoeveel graden is het bij t=8?

Geef een beschrijving van
een mogelijke grafiek

1. stijgend
2. dalend
3. afnemend stijgend
4. afnemend dalend

Op het interval [2, 3]
heeft de grafiek een ...

1. minimum
2. maximum
3. nulpunt
4. geen idee

Wat wordt hiermee bedoeld?

1. het differentiequotiënt
2. rc van de lijn door A en B
3. de gemiddelde verandering
4. alle drie antwoorden zijn goed

Het differentiequotiënt
op [1, 6] is

1. 0.6
2. 5/3
3. 0.5
4. geen idee

oefentoets H4 HANDIG TELLEN

Bij deze oefentoets geef je alleen de antwoorden. Gebruik bij het berekenen van de antwoorden naast je GR ook papier en pen. Werk de antwoorden dus uit in je schrift! Op de echte toets moet je altijd laten zien hoe je aan je antwoord komt, dus dan is een antwoord zonder berekening of toelichting fout!!

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

1. Op hoeveel manieren kunnen deze 14 boeken gerangschikt staan? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.

14 boeken kun je op 14! manieren rangschikken

Er zijn 14 plaatsen beschikbaar en de volgorde is belangrijk!

14!=8,7⋅10​10​​

Eerste boek --> keuze uit 14 plaatsen

Tweede boek --> keuze uit 13 plaatsen

Etc.

Totaal aantal mogelijkheden:

14 x 13 x 12 x ................x 3 x 2 x 1 = 14! 

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

2. Als Sabine 7 boeken van Yvonne wil lenen, hoeveel mogelijkheden zijn er dan?

7 boeken uit een totaal van 14 zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet), dus het is een combinatie (groepje uit aantal):

14 boven 7  --> 14 nCr 7 = 3432

Er zijn 3432 mogelijkheden om 7 boeken uit een totaal van 14 boeken te halen. 

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

3. Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine één Engels boek, één Frans boek en één Duits boek van Yvonne leent?

      6            x            3             x           5   = 90

Engels            en

1 uit 6 dus 6C1

 Frans             en

1 uit 3 dus 3C1

Duits 

1 uit 5 dus 5C1

<--  keuze uit

Dit komt ook overeen met het wegendiagram  of verschillende kledingcombinaties of de keuzes voor verschillende gerechten per gang in menu's. Per handeling heb je een aantal mogelijkheden.

Van elke taal één boek:

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

4. Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine twee Engelse boeken leent?

2 boeken uit een totaal van 6 Engelse boeken zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet):

6 boven 2  --> 6 nCr 2 = 15

Er zijn dus 15 mogelijkheden.

Gerrit gooit 12 keer met een muntstuk. 

5. Hoeveel mogelijkheden zijn er om 8 keer munt te gooien?

Er ontstaat dan een rijtje met 8 keer munt en 4 keer kop. Zo'n rijtje zou er bijvoorbeeld zo uit kunnen zien: KMMMKKMMMKMM

Er zijn in totaal 12 boven 8 dus 12 nCr 8 = 495 rijtjes mogelijk.

Gerrit gooit 12 keer met een muntstuk. 

6. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

Per worp zijn er steeds twee mogelijkheden: K of M

In totaal: 

2 x 2 x 2 x 2 x....x 2=

2​12​​=4096

Er zijn in totaal 4096 mogelijke series van Kop of Munt bij 12x gooien.

Worp 1

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

7. Meerdere keren mag worden gebruikt en het getal met een even cijfer moet beginnen?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 cijfers

eerste cijfer moet even zijn (3 mogelijkheden), de andere cijfers mogen alles zijn (dus 6 mogelijkheden, want met herhaling!)

Vier plaatsen, eerste cijfer moet even zijn:

even

3       x          6        x       6        x       6         =      648

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

8. Hoogstens één keer mag worden gebruikt en het getal groter dan 5400 moet zijn?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

Geen herhaling  en groter dan 5400

Eerste cijfer een 6 of hoger --> 3 mogelijkheden (6, 7, 8)

Tweede, derde en vierde cijfer mogen alles zijn (maar geen herhaling dus steeds -1 mogelijkheid) geeft:

Eerste cijfer een 5  --> één mogelijkheid

Tweede cijfer een 4, 6, 7 of 8  --> vier mogelijkheden (3 mag niet --> te laag  en 5 mag niet --> geen herhaling)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn, maar geen herhaling dus er vallen respectievelijk twee en drie van de zes mogelijkheden af

Totaal aantal mogelijkheden: 180 + 48 = 228

3      x      5       x      4         x    3     =   180

1      x      4       x      4         x    3     =   48

Geen herhaling en groter dan 5400:

Als het eerste cijfer een 6 of hoger is (6, 7 of 8) dan mogen het tweede, derde en vierde cijfer alles zijn dus

 

3 (een 6, 7 of 8) x 5 (geen herhaling 6 - 1 = 5) x 4 (geen herhaling) x 3 (geen herhaling ) geeft 3 x 5 x 4 x 3 = 180

Een 5 als eerste cijfer kan ook, maar dan moet het tweede cijfer een 4 of hoger zijn! Het derde en vierde cijfer mogen weer alles zijn, behalve de cijfers die al geweest zijn:

1 (alleen een 5) x 4 (4, 6, 7, 8 want 5 mag niet --> geen herhaling) x 4 (geen herhaling dus 6 - 2 mogelijkheden ) x 3 (geen herhaling) geeft 1 x 4 x 4 x 3 = 48

In totaal dus 180 + 48 = 228 mogelijkheden

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

9. Meer dan één keer mag worden gebruikt en het getal kleiner dan 6600 moet zijn?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

Geen herhaling  en kleiner dan 6600

Eerste cijfer een 5 of lager --> drie mogelijkheden

Tweede, derde en vierde cijfer mogen alles zijn dus

Eerste cijfer een 6  --> één mogelijkheid

Tweede cijfer een 5, 4 of 3  --> drie mogelijkheden (6 mag niet --> het cijfer 0 zit er niet bij!)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn want het tweede cijfer is hoogstens een 5

Totaal aantal mogelijkheden: 648 + 108 = 756

3      x      6       x      6         x    6     =   648

1      x      3       x      6         x    6     =   108

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

10. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met precies drie meisjes?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met precies 3 meisjes en dus 2 jongens:

Aantal mogelijkheden meisjes '11 boven 3' --> 11 nCr 3 = 165

Aantal mogelijkheden jongens '10 boven 2'--> 10 nCr 2 = 45

Totaal aantal mogelijkheden: 11 nCr 3 x 10 nCr 2 = 7425

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

11. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met hoogstens twee meisjes?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met hoogstens 2 meisjes dus met 

0 meisjes of 1 meisje of 2 meisjes --> per situatie mogelijkheden uitrekenen en optellen (somregel): 

Aantal mogelijkheden met 0 meisjes (dus alleen jongens): 10 nCr 5 = 252

Aantal mogelijkheden met 1 meisje en 4 jongens:  11 nCr 1 x 10 nCr 4  = 2310

Aantal mogelijkheden met 2 meisjes en 3 jongens: 11 nCr 2 x 10 nCr 3 = 6600

Totaal aantal mogelijkheden: 252 + 2310 + 6600 = 9162

Er zijn 9162 mogelijke schoonmaakploegen met hoogstens 2 meisjes.

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

12. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met meer dan drie jongens?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met meer dan 3 jongens dus met 4 jongens of met 5 jongens:

Aantal mogelijkheden met 4 jongens en 1 meisje:  10 nCr 4 x 11 nCr 1 = 2310

Aantal mogelijkheden met 5 jongens (en geen meisjes) : 10 nCr 5 x 11 nCr 0 = 252

Totaal aantal mogelijkheden: 2310 + 252 = 2562

Er zijn 2562 mogelijke schoonmaakploegen met meer dan 3 jongens

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

13. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk bij een wedstrijd waarbij de eindstand 7-5 is (en er dus 12 keer is gescoord)?

12 keer gescoord

7x door ploeg A en 5x door ploeg B

Rijtje met 7A's en 5 B's

of

Roosterdiagram van 7 bij 5

Aantal scoreverlopen: 12 nCr 5 = 792

Ploeg B

Ploeg A

0-0

7-5

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

14. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk bij een wedstrijd waar de  ruststand 7-8 is en de eindstand 14-15 is?

Ruststand 7 - 8, eindstand 14 - 15

Dit moet je als twee helften van een wedstrijd zien waar in de eerste helft 15x wordt gescoord, waarbij ploeg A 7 keer scoort en ploeg B 8 keer scoort. Dit levert een rijtje op van 15 A's en B's of een roosterdiagram van 7 bij 8 met A horizontaal en B verticaal.

Totaal aantal mogelijkheden wordt dan 15 boven 7 --> 15C7 = 6435

De tweede helft scoren de teams in totaal nog 14x (elk 7x) en (daarbij hoort dus

7 - 7 als score) waardoor de stand van 7 - 8 naar 14 - 15 gaat.

Bij een score van 7 - 7 horen 14 boven 7 --> 14C7 = 3432 scoreverlopen.

In de eerste helft 6435 mogelijkheden en in de tweede helft 3432 scoreverlopen

In totaal dus 6435 x 3432 = 22084920 scoreverlopen!

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

15. Hoeveel scoreverlopen zijn er in totaal mogelijk bij een wedstrijd waarbij in totaal acht keer wordt gescoord?

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=2​8​​=256

Bij een wedstrijd waar 8x wordt gescoord en geen eindstand wordt gegeven, kunnen alle eindstanden van 0-8 tot 8-0 en alles wat daar tussenin zit (1-7, 5-3 etc. ) mogelijk zijn. 

Je moet dit nu als volgt zien:

Voor het eerste doelpunt zijn twee mogelijkheden nl. ploeg A scoort of ploeg B scoort. 

Bij het tweede doelpunt zijn weer twee mogelijkheden nl. A scoort of B scoort.

Etc.

Totaal aantal mogelijkheden: 

EINDE