VWO Oefentoets Hoofdstuk Cirkelbeweging

Hoofdstuk Cirkelbeweging

In deze oefentoets worden in 3 hoofdopgaven 8 vragen gesteld.

Let op A.L.L.E.S.:

Antwoord, Leesbaar, Logisch, Eenheid, Significantie

1 / 15

Slide 1: Slide

NatuurkundeMiddelbare schoolhavo, vwoLeerjaar 4

This lesson contains 15 slides, with text slides.

Lesson duration is: 45 min

Items in this lesson

Hoofdstuk Cirkelbeweging

In deze oefentoets worden in 3 hoofdopgaven 8 vragen gesteld.

Let op A.L.L.E.S.:

Antwoord, Leesbaar, Logisch, Eenheid, Significantie

Slide 1 - Slide

Elysium

In de film ‘Elysium’ uit 2013 is een enorm, figuur 1

ringvormig ruimtestation te zien waarvan de rand

bewoond wordt. Zie figuur 1.

In deze opgave worden

twee waarnemingen uit de

film op natuurkundige

juistheid gecontroleerd.

Het ruimtestation ‘Elysium’

draait in een cirkelbaan

rond de aarde.

Als de hoogte van Elysium boven het aardoppervlak bekend is, is het mogelijk om de baansnelheid van Elysium rond de

aarde uit te rekenen.

1. Hoe kun je die baansnelheid uitrekenen? (R-1p)

A door de gravitatiekracht gelijk te stellen aan de
middelpuntzoekende kracht.

B door de gravitatiekracht gelijk te stellen aan de
zwaartekracht.

C door de kinetische energie gelijk te stellen aan de
zwaarte-energie.

D door de som van de krachten gelijk te stellen aan nul.

^{Figuur 1}

Slide 2 - Slide

Elysium

In de film lijkt het erop dat Elysium zich voortdurend boven hetzelfde punt van de aarde bevindt. In dat geval zou Elysium zich in de geostationaire baan moeten bevinden.

Voor de cirkelvormige baan van een object om een planeet geldt:

Hierin is:

r = de straal van de cirkelbaan;

T = de omlooptijd;

G = de gravitatieconstante;

M = de massa van de planeet.

De geostationaire baan bevindt zich op een hoogte van

35,861·10³ km boven het aardoppervlak.

2. Toon aan dat die baan geostationair is. (T2-4p)

\frac{​ r ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ T ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ G M ​ ​}{​ 4 π ^{​ 2 ​ ​} ​}

Slide 3 - Slide

Elysium

In een baan om de aarde ervaar je geen normaalkracht; je bent gewichtloos.

Elysium draait als een wiel

met constante baansnelheid

om zijn as S. Zie figuur 1.

Een bewoner in de ring

ervaart hierdoor wel een

normaalkracht waardoor het

lijkt alsof hij op het

aardoppervlak staat. Deze

normaalkracht werkt als

middelpuntzoekende kracht.

3. In welk plaatje I, II, III, IV of V de kracht of de
krachten op de bewoner als gevolg van het draaien van
de ring juist is of zijn weergegeven. (I-1p)

^{Figuur 1}

Slide 4 - Slide

Elysium

In de film ervaart een bewoner van de ring van Elysium dezelfde normaalkracht als hij op het aardoppervlak zou ervaren. Om dat effect te bereiken zou de rand van Elysium met een baansnelheid van 5,8∙10² m/s om de as S moeten draaien.

In de film is te zien dat Elysium om zijn eigen as draait. In 3,2 s draait het station 1/120ste van de gehele omtrek. Na één omwenteling heeft Elysium de volledige omtrek afgelegd. De straal van Elysium is 32 km.

4. Toon met een berekening aan of uit deze waarneming blijkt dat de rand van Elysium met de benodigde 5,8∙10² m/s. (T2-3p)

Slide 5 - Slide

Antwoord vraag 1 & 2

1. A. door de gravitatiekracht gelijk te stellen aan de middelpuntzoekende kracht.

Zoals al vaker in de les aangegeven, kan je de snelheid uitrekenen door die twee krachten aan elkaar gelijk te stellen. Dan kan je de massa m en de straal r wegstrepen en hou je de snelheid v over.

2. De omlooptijd van een geostationaire satelliet is gelijk aan de tijd van de draaiing van de aarde, 24 uur. Dan kan je de straal r uitrekenen door de formule om te schrijven. Als de r overeenkomt met de straal van de aarde, dan hebben we inderdaad te maken met een geostationaire satelliet.

En dit komt overeen met de straal van de aarde.

\frac{​ r ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ T ^{​ 2 ​ ​} ​} = \frac{​ G M ​ ​}{​ 4 π ^{​ 2 ​ ​} ​} \to 4 π^{​ 2 ​ ​} r^{​ 3 ​ ​} = G M T^{​ 2 ​ ​}

\to r = ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ \frac{​ G M T ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 4 π ^{​ 2 ​ ​} ​} ​ ​ ​

r = ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ \frac{​ G M T ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 4 π ^{​ 2 ​ ​} ​} ​ ​ ​ = ​ 3 ​ ​ \sqrt ​ \frac{​ 6 , 6 7 \cdot 1 0 ^{​ - 11 ​ ​} \cdot 5 , 9 7 2 \cdot 1 0 ^{​ 24 ​ ​} ( 2 4 \cdot 3 6 0 0 ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ 4 π ^{​ 2 ​ ​} ​} ​ ​ ​

r = 4, 223 . . . \cdot 1 0^{​ 7 ​ ​} m

\to r^{​ A a r d e ​ ​} = r - h

\to r^{​ A a r d e ​ ​} = 4, 223 . . \cdot 1 0^{​ 7 ​ ​} - 35861 \cdot 1 0^{​ 3 ​ ​} = 6371 \cdot 1 0^{​ 3 ​ ​} m

Slide 6 - Slide

Antwoord vraag 3

3. Plaatje II

Plaatje I heeft geen enkele kracht aanwezig, dus die kan het per definitie niet zijn.

Plaatje III geeft een kracht aan die de zwaartekracht zou kunnen voorstellen. Maar in een ruimtestation is geen zwaartekracht aanwezig zoals dat hier wordt weergegeven.

Plaatje IV valt ook af al is het alleen al om de reden zoals bij plaatje III aangegeven.

Plaatje V is ook niet van toepassing omdat er dan ook nog een kracht op de persoon zou werken, die loodrecht op de straal staat. Dan kan niemand meer in het ruimtestation staan.

Waarom wel plaatje II?

De persoon beweegt in een cirkelvormige baan door de draaing van het ruimtestation. Dit betekent dat de resulterende kracht op de bewoner niet 0 is maar dat er een middelpuntzoekende kracht als (de rol aanneemt van de) resulterende kracht werkt.

Deze wordt geleverd door de normaalkracht die de wand van het ruimtestation op de persoon uitoefent. Dit is de enige kracht die er op de persoon werkt en dit is dus plaatje II.

Slide 7 - Slide

Antwoord vraag 4

4. Toon met een berekening aan of uit deze waarneming blijkt dat de rand van Elysium met de benodigde 5,8∙10² m/s.

In 3,2 s wordt dus 1/120ste van de omtrek van het ruimtestation doorlopen. Als je de afstand die in die 3,2 s wordt afgelegd eerst uitrekent, en die dan deelt door de tijd, kan je de snelheid uitrekenen.

De totale omtrek van het ruimtestation is uit te rekenen met:

1/120ste deel van deze afstand is dan:

Dan is de snelheid uit te rekenen door:

Deze snelheid wijkt wel flink af van 5,8·10² m/s. Dus uit deze waarneming blijkt dus dat de snelheid niet overeenkomt.

s^{​ t o t a a l ​ ​} = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 32 \cdot 1 0^{​ 3 ​ ​} = 2, 01 . . . \cdot 1 0^{​ 5 ​ ​} m

s = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 1 2 0 ​} \cdot 2, 01 . . . \cdot 1 0^{​ 5 ​ ​} = 1, 675 . . . \cdot 1 0^{​ 3 ​ ​} m

v = \frac{​ s ​ ​}{​ t ​} = \frac{​ 1 , 6 7 5 . . . \cdot 1 0 ^{​ 3 ​ ​} ​ ​}{​ 3 , 2 ​} = 5, 23 . . . \cdot 1 0^{​ 2 ​ ​} m \cdot s^{​ - 1 ​ ​}

Slide 8 - Slide

Zwart gat

Een zwart gat is een object waarvan de zwaartekracht zo

groot is dat zelfs licht er niet meer aan kan ontsnappen: de

ontsnappingssnelheid is groter dan de lichtsnelheid.

Onlangs is het wetenschappers gelukt om uit een enorme

hoeveelheid afzonderlijke opnamen een beeld van een zwart

gat te construeren.

Op 10 april 2019

werd de eerste foto
ooit van een zwart
gat gepubliceerd.

Zie figuur 2.

Om te kunnen ontsnappen aan de gravitatiekracht van een zwaar hemellichaam moet de snelheid groter zijn dan de ontsnappingssnelheid van dat hemellichaam. Deze is te berekenen met de volgende formule:

hierin is:

v = de ontsnappingssnelheid in m·s⁻¹

G = de gravitatieconstante in N·m²·kg⁻²

M = de massa van het hemellichaam in kg

r = de afstand tot aan het middelpunt in m

5. Leid deze formule af met behulp van formules uit BINAS. (T2-3p)

^{Figuur 2}

v = \sqrt ​ \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ r ​} ​ ​ ​

Slide 9 - Slide

Zwart gat

Bij een zwart gat geldt dat op een bepaalde afstand van het middelpunt de benodigde ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid. Deze afstand wordt de schwartzschildstraal r_s genoemd. Alles wat dichterbij dan r_s komt zal nooit meer aan het zwarte gat kunnen ontsnappen.

6. Bereken de schwartzschildstraal r_s van een zwart gat met

een massa die 20 keer zo groot is als die van de zon.

(T2-3p)

Slide 10 - Slide

Antwoord vraag 5

5.Je hebt hier twee situaties: een beginsituatie waarbij een object met een snelheid wilt ontsnappen aan het gravitatieveld van het hemellichaam met totale energie

E_tot = E_k + E_g.

De eindsituatie is wanneer het object volledig uit het gravitatieveld van het hemellichaam is ontsnapt en daar de totale energie E_tot = 0 J is.

E^{​ t o t, b e g i n ​ ​} = E^{​ t o t, e i n d ​ ​}

E^{​ k i n ​ ​} + E^{​ g ​ ​} = 0

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​} - \frac{​ G M m ​ ​}{​ r ​} = 0

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​} - \frac{​ G M m ​ ​}{​ r ​} = 0

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ G M m ​ ​}{​ r ​}

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} m v^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ G M m ​ ​}{​ r ​}

2 \cdot \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} v^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ 2 \cdot G M ​ ​}{​ r ​}

v^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ r ​}

\to v = \sqrt ​ \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ r ​} ​ ​ ​

Slide 11 - Slide

Antwoord vraag 6

6. In deze vraag is de ontsnappingssnelheid v gelijk aan de lichtsnelheid c.

Omdat v gelijk is aan c (zie BINAS T7), vullen we die ook hier in. De massa van de zon is te vinden in BINAS T32C. Vergeet die niet met 20 te vermenigvuldigen voor de massa van het zwarte gat.

(Stel dat je niet weet waar je de massa van de zon kan vinden, kan je altijd het Register gebruiken, wat achterin de BINAS staat. Daar wordt ook naar T32C verwezen).

v = \sqrt ​ \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ r ​} ​ ​ ​

\to v^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ r ​}

\to r = \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ v ^{​ 2 ​ ​} ​}

r = \frac{​ 2 \cdot 6 , 6 7 \cdot 1 0 ^{​ - 11 ​ ​} \cdot 2 0 \cdot 1 , 9 8 8 4 \cdot 1 0 ^{​ 30 ​ ​} ​ ​}{​ ( 2 , 9 9 7 9 2 4 5 8 \cdot 1 0 ^{​ 8 ​ ​} ) ^{​ 2 ​ ​} ​}

r = \frac{​ 2 G M ​ ​}{​ v ^{​ 2 ​ ​} ​}

r = 59, 0 \cdot 1 0^{​ 3 ​ ​} m

Slide 12 - Slide

New Horizons

Pluto is een dwergplaneet in ons zonnestelsel. Om Pluto te onderzoeken werd in januari 2006 de ruimtesonde New Horizons (NH) gelanceerd.

In figuur 3 is het

traject van de

ruimtesonde NH

langs banen van

planeten in het

zonnestelsel

weergegeven.

Eén jaar na de lancering kruiste NH de baan van Jupiter. De afstand tussen NH en Jupiter was op dat moment heel klein.

Door de aantrekkingskracht van Jupiter boog NH af richting Pluto. Jupiter heeft een omlooptijd van 12 jaar en beweegt in de richting van de pijl. De baan van Jupiter mag als cirkelvormig beschouwd worden. Op de baan zijn 12 posities van Jupiter aangegeven. Zie figuur 3.

7. Geef aan op welke positie Jupiter zich bevond op het
moment dat NH vanaf de aarde gelanceerd werd (T1-1p).

^{Figuur 3}

Slide 13 - Slide

New Horizons

In juli 2015 was NH in de buurt van Pluto aangekomen. NH had toen een snelheid van 1,2∙10⁴ m/s. De snelheid van Pluto wordt in deze opgave verwaarloosd.

De ontwerpers hebben berekend welke snelheid nodig was om NH (m = 465 kg) in een baan met een straal van

12,5∙10⁶ m om Pluto te laten cirkelen.

8. Bereken, met behulp van een afleiding van twee formules
uit BINAS, de snelheid die nodig is om NH in een baan
om Pluto te laten cirkelen (T2-4p).

Slide 14 - Slide

Antwoord vraag 7 & 8

7. Positie 1.

In de baan van Jupiter beweegt Jupiter van bijvoorbeeld punt 2 naar 1, naar 12, naar 11, naar 10... etc. Elk punt in de baan stelt een jaar voor.

Wanneer New Horizons Jupiter passeert, passeert het op positie 12. De vraag is, waar was Jupiter in zijn baan toen New Horizons vanaf aarde werd gelanceerd?

In de tekst staat dat New Horizons een jaar eerder werd gelanceerd. Dat was dus een jaar vóór positie 12. Terugredenerend is dat dus positie 1.

8. Hierbij moeten we de middelpuntzoekende kracht gelijk stellen aan de gravitatiekracht.

F^{​ m p z ​ ​} = F^{​ g ​ ​}

\frac{​ m v ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = \frac{​ G M m ​ ​}{​ r ^{​ 2 ​ ​} ​}

\frac{​ m v ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ r ​} = \frac{​ G M m ​ ​}{​ r ^{​ 2 ​ ​} ​}

v^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ G M ​ ​}{​ r ​}

v = \sqrt ​ \frac{​ G M ​ ​}{​ r ​} ​ ​ ​ = \sqrt ​ \frac{​ 6 , 6 7 \cdot 1 0 ^{​ - 11 ​ ​} \cdot 0 , 0 1 3 1 \cdot 1 0 ^{​ 24 ​ ​} ​ ​}{​ 1 , 1 5 \cdot 1 0 ^{​ 6 ​ ​} + 1 2 , 5 \cdot 1 0 ^{​ 6 ​ ​} ​} ​ ​ ​

v = 2, 5 \cdot 1 0^{​ 2 ​ ​} m \cdot s^{​ - 1 ​ ​}

Slide 15 - Slide

VWO Oefentoets Hoofdstuk Cirkelbeweging

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

More lessons like this

H10.3 gravitatiekracht

les 15

H5.4 Toepassingen van de gravitatiekracht

H13.4 Cirkelbewegingen

Herhaling H5

les 16 versie 2

Cirkelbeweging - Middelpuntzoekende kracht

Cirkelbeweging - Middelpuntzoekende kracht