Hoofdstuk 14: Meetkunde toepassen

Meetkunde toepassen

1 / 47

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 6

This lesson contains 47 slides, with text slides.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Meetkunde toepassen

Slide 1 - Slide

Waar gaat dit hoofdstuk over?

Zwaartepunten, middelloodlijnen en bissectrices

Raaklijnen en snijpunten met cirkels

Parametervoorstellingen en bewegingsvergelijkingen

Slide 2 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je het zwaartepunt vindt van een verzameling punten

Slide 3 - Slide

Klein beetje natuurkunde

Aan deze balk zitten 2 even grote (en zware) bollen. Waar zit het zwaartepunt van deze lijn?

Slide 4 - Slide

En bij deze situatie?

Slide 5 - Slide

Terug naar wiskunde

In de figuur hiernaast geldt dat

4*AZ = 3*BZ dus

a) Toon aan dat geldt dat

b) Licht toe dat en herleid tot

A Z = \frac{​ 3 ​ ​}{​ 7 ​} A B

B Z = \frac{​ 4 ​ ​}{​ 3 ​} A Z

​ z ​ ⃗ ​ ​ = ​ a ​ ⃗ ​ ​ + \frac{​ 3 ​ ​}{​ 7 ​} (​ b ​ ⃗ ​ ​ - ​ a ​ ⃗ ​ ​)

​ z ​ ⃗ ​ ​ = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 7 ​} (4 ​ a ​ ⃗ ​ ​ + 3 ​ b ​ ⃗ ​ ​)

Slide 6 - Slide

Algemeen

Slide 7 - Slide

Bijvoorbeeld

De figuur hiernaast is homogeen

(met gelijk verdeelde massa). Teken

de plaats van het zwaartepunt.

Slide 8 - Slide

Aan de slag

Hoofdstuk 14, paragraaf 1

Opdracht 4, 8, 9, (10)

10 maak je alleen als je er tijdens de les tijd voor hebt, het wordt geen huiswerk.

Slide 9 - Slide

Werken met middelloodlijnen en bissectrices

Slide 10 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je formules voor bissectrices en middelloodlijnen opstelt en gebruikt

Slide 11 - Slide

Voorkennis

Middelloodlijn: de verzameling punten met gelijke afstand tot 2 punten.

Bissectrice: de verzameling punten met gelijke afstand tot 2 lijnen.

Afstand en de lijn ax + by = c is

P (x^{​ p ​ ​}, y^{​ p ​ ​})

\frac{​ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ a x ^{​ p ​ ​} + b y ^{​ p ​ ​} - c ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ a ^{​ 2 ​ ​} + b ^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ ​}

Slide 12 - Slide

Hoe pas je dit toe?

Gegeven is driehoek ABC met

k de bissectrice van hoek C en

l de middelloodlijn van AC.

l en k snijden elkaar in S. Bereken

de coördinaten van S.

Slide 13 - Slide

Optie 2

ABC punten van een ruit.

Omdat in een ruit geldt dat de zijden even

lang zijn, zijn de diagonalen ook bissectrices,

dus geldt dat

Hoe kun je deze eigenschap gebruiken bij

een vierhoek die gevormt wordt door

en ?

​ r^{​ p ​ ​} ​ ⃗ ​ ​ = ​ A B ​ ⃗ ​ ​ + ​ A C ​ ⃗ ​ ​

​ L M ​ ⃗ ​ ​ = 13

​ L K ​ ⃗ ​ ​ = 5

Slide 14 - Slide

Aan de slag

14, 16, 17, 18

15 is prima extra oefening

20 als extra uitdaging

Slide 15 - Slide

Raaklijnproblemen bij cirkels

Slide 16 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je verschillende raaklijnproblemen met cirkels oplost

Slide 17 - Slide

Voorkennis

Vergelijking van een cirkel:

Raaklijn aan een cirkel: staat loodrecht op de straal

Afstand en de lijn ax + by = c is

P (x^{​ p ​ ​}, y^{​ p ​ ​})

\frac{​ ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ a x ^{​ p ​ ​} + b y ^{​ p ​ ​} - c ​ ∣ ​ ∣ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ a ^{​ 2 ​ ​} + b ^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ ​}

(x - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} = r^{​ 2 ​ ​}

Slide 18 - Slide

Bijvoorbeeld

Gegeven zijn de cirkels

De lijnen en zijn gemeenschappelijke

raaklijnen van en . Stel van beide lijnen

een formule op.

c^{​ 1 ​ ​} (x - 3)^{​ 2 ​ ​} + (y - 1)^{​ 2 ​ ​} = 5

c^{​ 2 ​ ​} (x - 6)^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} = 20

k^{​ 1 ​ ​}

k^{​ 2 ​ ​}

c^{​ 1 ​ ​}

c^{​ 2 ​ ​}

Slide 19 - Slide

Aan de slag

24, 26, 28

27 is prima extra oefening

29 als extra uitdaging

Slide 20 - Slide

Rakende cirkels

Slide 21 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je rekent aan situaties met rakende cirkels

Slide 22 - Slide

Bijvoorbeeld

Gegeven zijn de cirkels c, d en e.

De straal van c is 10, en de straal van d is 2,5.

c en d raken elkaar en raken allebei de y-as en

c raakt de x-as.

Het middelpunt van e ligt op de x-as en e

raakt cirkels c en d. Stel een formule op van

de formule voor e.

Slide 23 - Slide

Aan de slag

32, 33, 34, 35

Let op, bij 35b fout in de uitwerkingen: -4r - 8 moet zijn -4r + 8

Slide 24 - Slide

Ligging van een lijn t.o.v. een cirkel

Slide 25 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je bepaalt op een lijn een cirkel raakt of snijdt

Slide 26 - Slide

3 situaties, 2 oplossingen

Er zijn 2 manieren om te bepalen met welke situatie je te maken hebt. Kunt je er 1 (of 2) bedenken?

Slide 27 - Slide

Optie 1: met de discriminant

Gegeven is de lijn en de cirkel

2x - y = 3 geeft y = 2x - 3. Invullen in de formule van c geeft:

D > 0 dus er zijn 2 snijpunten

k : 2 x - y = 3

c : x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} - 4 x + 2 y - 20 = 0

x^{​ 2 ​ ​} + (2 x - 3)^{​ 2 ​ ​} - 4 x + 2 (2 x - 3) - 20 = 0

5 x^{​ 2 ​ ​} - 12 x - 17 = 0

D = 484

Slide 28 - Slide

Optie 2: met de afstandsformule

geeft

Middelpunt (2, -1) en straal 5

d(M, k) < de straal dus er zijn 2 snijpunten

c : x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} - 4 x + 2 y - 20 = 0

c : (x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y + 1)^{​ 2 ​ ​} = 25

d (M, k) = \frac{​ ∣ 2 \cdot 2 - 1 \cdot - 1 - 3 ∣ ​ ​}{​ \sqrt ​ 2 ^{​ 2 ​ ​} + ( - 1 ) ^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 2 ​ ​}{​ \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​} = \frac{​ 2 ​ ​}{​ 5 ​} \sqrt ​ 5 ​ ​ ​

Slide 29 - Slide

Aan de slag

40, 42, 43

Opdracht 39 voor extra oefening

Opdracht 44 als extra uitdaging

Slide 30 - Slide

Snijdende cirkels

Slide 31 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de snijpunten vindt van 2 elkaar snijdende cirkels

Slide 32 - Slide

Bijvoorbeeld

Gegeven zijn de cirkels

De cirkels snijden elkaar in 2 punten.

Wat zijn de coördinaten van deze

2 punten?

x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} = 10

x^{​ 2 ​ ​} + y^{​ 2 ​ ​} - 8 x - 4 y + 10 = 0

Slide 33 - Slide

Aan de slag

46, 47, 48, 49

Slide 34 - Slide

Parametervoorstelling van een cirkel

Slide 35 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je van een cirkelvergelijking een parametervoorstelling maakt (en waarom je dat zou willen)

Slide 36 - Slide

Wat weet je al

De parametervoorstelling van een cirkel wordt gegeven door

Daarnaast:

{​ x (t) = cos (t) ​ y (t) = sin (t) ​ ​

(sin (t))^{​ 2 ​ ​} + (cos (t))^{​ 2 ​ ​} = 1

Slide 37 - Slide

Gebruiken

Gegeven is de parametervoorstelling

Dat geeft:

x = - 2 + 3 cos (t) \land y = 4 + 3 sin (t)

x - 2 = 3 cos (t) \land y - 4 = 3 sin (t)

(x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y - 4)^{​ 2 ​ ​} = (3 cos (t))^{​ 2 ​ ​} + (3 sin (t))^{​ 2 ​ ​}

(x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y - 4)^{​ 2 ​ ​} = 9 (cos (t))^{​ 2 ​ ​} + 9 (sin (t))^{​ 2 ​ ​}

(x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y - 4)^{​ 2 ​ ​} = 9 ((cos (t))^{​ 2 ​ ​} + (sin (t))^{​ 2 ​ ​})

(x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y - 4)^{​ 2 ​ ​} = 9 ((cos (t))^{​ 2 ​ ​} + (sin (t))^{​ 2 ​ ​})

(x - 2)^{​ 2 ​ ​} + (y - 4)^{​ 2 ​ ​} = 9

Slide 38 - Slide

In het algemeen

Van een cirkel met vergelijking

de parametervoorstelling

(x - x^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} + (y - y^{​ M ​ ​})^{​ 2 ​ ​} = r^{​ 2 ​ ​}

x = x^{​ M ​ ​} + r cos (t) \land y = y^{​ M ​ ​} + r sin (t)

Slide 39 - Slide

Waarom (wanneer) wil je dit?

Slide 40 - Slide

Aan de slag

54, 55, 56

Opdracht 52 & 53 om de vaardigheid te oefenen (laat dan 56 achterwege)

Slide 41 - Slide

Plaats, snelheid en versnelling

Slide 42 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Ophalen van plaatsvector, snelheidsvector en versnellingsvector

Slide 43 - Slide

Parameterkrommen

Plaatsvector: Snelheidsvector:

De baansnelheid is de lengte van de snelheidsvector

De baanversnelling is de afgeleide van de baansnelheid

Hoek tussen vectoren:

​ r ​ ⃗ ​ ​ (t) = (​ x (t) ​ y (t) ​ ​)

​ v ​ ⃗ ​ ​ (t) = (​ x^{​' ​ ​} (t) ​ y^{​' ​ ​} (t) ​ ​)

cos (ϕ) = \frac{​ ​ a ​ ⃗ ​ ​ \cdot ​ b ​ ⃗ ​ ​ ​ ​}{​ ∣ ​ a ​ ⃗ ​ ​ ∣ \cdot ∣ ​ b ​ ⃗ ​ ​ ∣ ​}

Slide 44 - Slide

Bijvoorbeeld

Gegeven is de parametervoorstelling

Bereken de coördinaten van de punten waarop de raaklijn horizontaal is.

{​ x (t) = cos (2 t) + sin (t) ​ y (t) = sin (2 t) ​ ​

Slide 45 - Slide

Bonusvraag

Gegeven is dat

Toon aan dat

sin (t) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​}

cos (t) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} \sqrt ​ 15 ​ ​ ​

Slide 46 - Slide

Aan de slag

61, 62, 63, 64

Slide 47 - Slide

Hoofdstuk 14: Meetkunde toepassen

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

Slide 31 - Slide

Slide 32 - Slide

Slide 33 - Slide

Slide 34 - Slide

Slide 35 - Slide

Slide 36 - Slide

Slide 37 - Slide

Slide 38 - Slide

Slide 39 - Slide

Slide 40 - Slide

Slide 41 - Slide

Slide 42 - Slide

Slide 43 - Slide

Slide 44 - Slide

Slide 45 - Slide

Slide 46 - Slide

Slide 47 - Slide

More lessons like this

H14 WisB les 6

Geogebra, zelf digitaal aan het werk met cirkels

2.4

WI VWO 2 H2

Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7 vanaf cirkels

Wiskunde B presentatie

H2 herhaalles

Meetkundige berekeningen 5HAVO hfst 7