Goniometrie - De eenheidscirkel

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5

De eenheidscirkel

Eenheidscirkel en draaiingshoek (    )

sin (     ) =                    

y-as 

cos (     ) =                  

x-as

tan (     ) =                  

α

α

α

α

De eenheidscirkel

Om de definities van sin(α), cos(α) en tan(α) uit te breiden tot hoeken groter dan 1/2 π en hoeken kleiner dan 0, kun je de eenheidscirkel gebruiken. Dat is de cirkel rond de oorsprong met straal 1. de sinus en de cosinus van een hoek vind je als volgt. Leg het ene been van die hoek langs de positieve x-as. Het andere been snijdt de cirkel in een punt P. Hiernaast zie je dat voor een scherpe hoek α. De straal van de cirkel is 1. Daarom is OQ = cos(α) en QP = sin(α). Met andere woorden de coördinaten van P zijn ( cosα, sinα)

Kwadranten

De coördinaten verdelen het vlak in vier delen (kwadranten). Ze worden genummerd zoals in de figuur aangegeven.

Kwadranten 

leg je een hoek β van 2 radialen (114,6) in de eenheidscirkel, dan komt P in het tweede kwadrant. Je spreekt af dat net als bij scherpe hoeken geldt dat de coördinaten van P zijn (cos (β), sin(β)) Met de GR vind je cos(2) = -0,42 en sin(2) = 0,91. Je ziet dat van een hoek in het tweede kwadrant de cosinus negatief en de sinus positief is. 

Pythagoras

In de driehoek OPQ luidt de stelling van pythagoras: (sin(α))² +(cos(α))²=1.

Meestal wordt dit uitgeschreven als: sin²(α)+ cos²(α)=1.

Voorbeeld

Als je weet sin(α)= 0,6 en α in II, dan kun je cos(α) als volgt berekenen: Pythagoras zegt: cos²(α)=1 -sin²(α) = 1-0,36 = 0,64 

cos(α) = 0,8.

Omdat (α) in II ligt, voldoet alleen cos(α) = -0,8

Eenheidscirkel

graden	0	30	45	60	90	180	270	360
radialen	0

​2​​1​​π

​4​​1​​π

​6​​1​​π

​3​​1​​π

grad	360	?
rad		?

2π

π

​2​​3​​π

2π

De eenheidscirkel

De draaihoek b van 2 radialen =

1. 57,3
2. 114,6
3. 0,0175
4. 2 graden

In de eenheidscirkel hebben we 4 kwadranten. Als de bovenste 2 kwadranten positief zijn dan spreken we over de?

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Geen van allen

In de eenheidscirkel hebben we 4 kwadranten. Als de rechter 2 kwadranten positief zijn dan spreken we over de?

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Geen van allen

In de eenheidscirkel hebben we 4 kwadranten. Als de bovenste 2 kwadranten negatief (links) en positief (rechts) zijn dan spreken we over de?

1. Sinus
2. Cosinus
3. Tangens
4. Hoe bedoel je?

In de driehoek OPQ luidt de stelling van Pythagoras: (sin(α))² +(cos(α))²=1. Vaak geschreven als sin²(α)+ cos²(α)=1. Als sin(α)= 0,6 en α in I. Wat is de cosinus. Gebruik bovenstaande rekenregel

1. 0,64
2. 0,8
3. -0,8
4. -0,64

In de driehoek OPQ luidt de stelling van Pythagoras: (sin(α))² +(cos(α))²=1. Vaak geschreven als sin²(α)+ cos²(α)=1. Als sin(α)= 0,8 en α in II. Wat is de cosinus. Gebruik bovenstaande rekenregel

1. 0,2
2. 0,6
3. -0,2
4. -0,6

In de driehoek OPQ luidt de stelling van Pythagoras: (sin(α))² +(cos(α))²=1. Vaak geschreven als sin²(α)+ cos²(α)=1. Als sin(α)= -0,6 en α in III. Wat is de cosinus. Gebruik bovenstaande rekenregel

1. -0,8
2. -0,64
3. -0,36
4. 0,8