handig tellen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Handig tellen

In deze les leer je....

...hoe je telproblemen overzichtelijk weergeeft

...dat er regels zijn waarmee je telproblemen kan oplossen

...wat permutaties, faculteiten en combinaties zijn en hoe je deze gebruikt om telproblemen op te lossen 

Telproblemen schematiseren 

boomdiagram

wegendiagram

systematisch noteren

rooster

Vermenigvuldigingsregel

De vermenigvuldigingsregel gebruik je bij gecombineerde handelingen 

dus bijvoorbeeld een menu in een restaurant,

Je neemt een voorgerecht én een hoofdgerecht én een nagerecht

Somregel

De somregel pas je toe als het één of het ander van toepassing is

Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er als je 3 keer 4 of 3 keer 6 gooit met een dobbelsteen

Tellen zonder herhaling

Als er een groepje van 8 personen is waarbij iemand gekozen wordt als voorzitter, iemand als secretaris en iemand als penningmeester. 

De mogelijke combinaties: 8x7x6 = 336

Dus er zijn 336 combinaties mogelijk

Tellen met herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

de vijf klinkers (aeiou) worden niet gebruikt

(bv: 12 - wr - tq) 

alle mogelijke combinaties zijn

10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19 448 100

dus er zijn 19 448 100 combinaties mogelijk

Tellen met en zonder herhaling

Nummerborden bestaan uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

de vijf klinkers worden niet gebruikt. Als letters en cijfers maar 1 keer gebruikt mogen worden zijn de mogelijke combinaties:

10 x 9 x 21 x 20 x 19 x 18 =12 927 600

dus er zijn 12 927 600 combinaties mogelijk

Permutaties

Een permutatie is een rangschikking zonder herhaling. 

Dus bijvoorbeeld 3 leerlingen van 8 worden uitgekozen.
1 voor muziek, 1 voor drank en 1 voor hapjes. 

Het aantal permutaties van 3 uit 8 is 8x7x6

Als alle leerlingen een taak krijgen zijn er 8 uit 8 permutaties, dat noemen we 8 faculteit en schrijven we als 8!

dat is dus 8x7x6x5x4x3x2x1

Permutaties

Het aantal permutaties van 3 uit 8 reken je als volgt uit:

op casio: knop OPTN (naast de shift knop) en dan PROB

8nPr3 = 336 

Het aantal permutaties van 8 uit 8 (8! dus) dus reken je uit als volgt: op casio: knop OPTN en PROB 

8x! = 40320

Permutaties op GR

3 uit 8

8 uit 8

Combinaties

Als de volgorde niet van belang is, spreken we van een combinatie.

Uit 5 (ABCDE) leerlingen worden er 3 gekozen voor een schoonmaakploeg. 

Dan is 5x4x3 niet goed, omdat bv ABC hetzelfde is als BCA en ACB en...

Er zijn iedere keer 3! dezelfde stellen. 

Daarom berekenen we een combinatie van 3 uit 5 als 

 

​3!​​5⋅4⋅3​​=​6​​60​​=10

compleet willekeurig

Combinaties

Het aantal combinaties van 3 uit 5  noteren we als: 

Dat spreek je uit als 5 boven 3

Op de GR: 5nCr3=10

(​3​5​​)

(​3​5​​)=​3⋅2⋅1​​5⋅4⋅3​​=​3!​​5⋅4⋅3​​=​6​​60​​=10

Combinaties op GR

(​3​5​​)

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met 2 jongens? 

Volgorde is niet van belang dus combinatie: 

(​2​6​​)⋅(​4​9​​)=15⋅126=1890

Op de GR 6nCr2 x 9nCr4

Er zijn dus 1 890 mogelijke combinaties

2 van de 6 jongens

4 van de 9 meisjes

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 5 meisjes? 

Dan heb je dus 6 meisjes of 5 meisjes en 1 jongen

(​6​9​​)+(​5​9​​)⋅(​1​6​​)=84+126⋅6=840

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

Dus er zijn 840 mogelijke combinaties

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, op 2 ervan moet een A komen op 4 een B

dus bv: ABBABB

Hoeveel mogelijkheden zijn er?  

Er zijn 6x5 mogelijkheden om de A te plaatsen , maar omdat het een combinatie is, (de volgorde maakt niet uit) moet je dat nog delen door 2! 

(​2​6​​)=15

Op de GR 6nCr2 of 6nCr4

Dus er zijn 15 combinaties mogelijk

Omdat het ook 4 B's van de 6 plekken zijn is dat hetzelfde als:

(​4​6​​)=15

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

(​0​6​​)⋅(​1​6​​)⋅(​2​6​​)⋅(​3​6​​)⋅(​4​6​​)⋅(​5​6​​)⋅(​6​6​​)=64

Op de GR 6nCr0+6nCr1+6nCr2+6nCr3+6nCr4+6nCr5+6nCr6

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6 B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

Dit kan ook makkelijker: 

op de eerste plek staat een A of een B, 2 mogelijkheden dus. 

Dat is bij 6 plekken zo dus 

2​6​​=64

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Routes in een rooster

Hoeveel mogelijkheden zijn er om van A naar C te komen zonder omwegen? 

Om van A naar C te komen moet je 13 stappen zetten. 5 ervan moeten omhoog de volgorde maakt niet uit dus: 

(​5​13​​)

(​8​13​​)

Je kan ook van de 13 stappen 8 stappen naar rechts zetten dan krijg je 

Er zijn dus 1287 mogelijkheden

=1287

Routes in een rooster

Hoeveel mogelijkheden zijn er om van A naar C via B te komen zonder omwegen? 

Van A naar B zijn 6 stappen, waarvan 2 omhoog EN van B naar C zijn 7 stappen waarvan 3 omhoog dus: 

(​2​6​​)

(​4​6​​)⋅(​4​7​​)

Hier kan dus ook:

(​3​7​​)

⋅

=525

Er zijn dus 525 mogelijkheden

In deze les hebben we behandeld...

...hoe je telproblemen overzichtelijk weergeeft

...dat er regels zijn waarmee je telproblemen kan oplossen

...wat permutaties, faculteiten en combinaties zijn en hoe je deze gebruikt om telproblemen op te lossen 

Wat heb je geleerd in deze les?

Wat heb je nog niet zo goed begrepen van deze les?