Trillingen en golven - Staande golven (VWO)

• Natuurkunde
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 5,6

Trillingen en Golven

Staande golven (VWO)

Studietips van mn. Van der Wal

Voor een lange dag studeren:

Gebruik de pomodoro methode!

Terugblik lopende golven

- Wat was een golf ook alweer?

- Welke eigenschappen heeft een golf?

Definitie staande golf

Een staande golf ontstaat wanneer twee golven met dezelfde frequentie, amplitude en golflengte in tegengestelde richtingen door een medium bewegen. Door interferentie ontstaat een golfpatroon dat lijkt stil te staan.

phet.colorado.edu

Staande golven

Bijna iedereen heeft wel eens touwtje gesprongen. Wanneer je dat zelf uitvoert, beweegt het touw om je heen van boven naar beneden en het herhaalt zich continu tot je zelf stopt.

Een andere vorm is wanneer twee personen het (veel langere) touw vasthouden, en een andere persoon in het midden van het bewegende touw springt. Dit is ook uit te breiden naar twee touwen die in hetzelfde ritme op en neer bewegen, zie afbeelding hiernaast. 

Wanneer je als toeschouwer van de zijkant hier tegenaan kijkt, zie je het touw enkel op en neer bewegen. We kunnen dit beschouwen dit heen en weer bewegen beschouwen als een staande golf, een golf die zich niet verplaatst zoals een lopende golf dat wel doet.

De personen die het touw vasthouden, houden dit op dezelfde hoogte vast en bewegen niet. Dit noemen we de knopen van de staande golf. Daar waar de golf het hoogst is, noemen we het de buik van de golf. 

Vaste uiteinden

We zien deze golven bijvoorbeeld als we een gitaarsnaar aanslaan. Hiernaast zien we de drie simpelste staande golven die in een gitaarsnaar kunnen ontstaan. De bovenste staande golf wordt de grondtoon (n = 1) genoemd. Zoals je kunt zien heeft deze golf een buik in het midden en twee knopen aan de zijkant. De twee knopen aan de zijkant ontstaan natuurlijk omdat de snaar aan de uiteinden vastzit, en dus vaste uiteinden heeft.

De andere tonen die zijn afgebeeld noemen we de boventonen. Voor de eerste boventoon schrijven we n = 2. Voor de tweede boventoon geldt n = 3, etc. De grondtoon is meestal dominant en als niet anders vermeld is in de vraag, dan mag je aannemen dat n = 1. Zoals je kunt zien bevat de snaar in de grondtoon een halve golflengte. 

De snaar in de eerste boventoon bevat een hele golflengte. 

De snaar in de tweede boventoon bevat anderhalve golflengte etc. We kunnen dit patroon samenvatten met de volgende formule:

waarin:

L = lengte trillend voorwerp (m)

n = nummer toon (-)

λ = golflengte (m)

L=n​2​​1​​λ

Vaste uiteinden

Als we de frequentie van de grondtoon f₁ weten, dan kunnen we de daaropvolgende frequenties als volgt vinden:

waarin:

f_n = frequentie van (boven)toon (Hz)

n  = nummer toon (-)

f₁ = frequentie van grondtoon (Hz)

In de onderstaande afbeelding zien we de eerste boventoon in een snaar afgebeeld. Je kan zien dat er nu een hele golf in de snaar past. Hieruit kunnen we concluderen dat de afstand van een knoop tot een buik gelijk is aan een kwart golflengte. Het is handig om dit te onthouden.

f​n​​=n⋅f​1​​

Ik heb een gitaarsnaar met 2 vaste uiteindes.
De golflengte λ = 1,2 m.

Hoelang moet de snaar zijn zodat er een staande golf ontstaat waarbij de snaar in zijn GRONDTOON gaat resoneren

1. L = 2,4 m
2. L = 1,2 m
3. L = 0,6 m
4. L = 1,2 cm

Ik heb een gitaarsnaar met 2 vaste uiteindes.
De golflengte λ = 1,2 m.

Hoelang moet de snaar zijn zodat er een staande golf ontstaat waarbij de snaar in zijn 1e BOVENTOON gaat resoneren

1. L = 2,4 m
2. L = 1,2 m
3. L = 0,6 m
4. L = 1,2 cm

Welke ....toon is dit?

1. grondtoon
2. 2e boventoon
3. 1e boventoon
4. 1e ondertoon

Open uiteinden

In de volgende animatie zien we een andere soort staande golf. Aan de linkerkant wordt een touw omhoog en naar beneden bewogen. Aan de rechterkant kan het touw vrij bewegen. Bij dit type staande golf hebben we dus aan beide uiteinden een buik.

Ook in dit geval bestaat de golftoon uit een halve golflengte, de eerste boventoon uit een hele golflengte, etc. Ook hier geldt dus dezelfde formule:

waarin:

L = lengte trillend voorwerp (m)

n = nummer toon (-)

λ = golflengte (m)

Ook hier geldt:

waarin:

f_n = frequentie van (boven)toon (Hz)

n = nummer toon (-)

f₁ = frequentie van grondtoon (Hz)

L=n​2​​1​​λ

f​n​​=n⋅f​1​​

Eén open & één dicht uiteinde

In het derde geval bewegen we een touw aan het linker uiteinde op en neer en zit het rechter uiteinde vast. In dit geval hebben we aan het linker uiteinde altijd een buik en aan het rechter uiteinde altijd een knoop.

De grondtoon bevat slechts één buik en één knoop. Er zit nu slechts een kwart golf in het touw. Bij de eerste boventoon zien we twee knopen en twee buiken.

In dit geval past er dus driekwart van een golf in het touw.

We kunnen dit patroon samenvatten met de volgende formule:

waarin:

L = lengte trillend voorwerp (m)

n = nummer toon (-)

λ = golflengte (m)

Ook hier geldt:

waarin:

f_n = frequentie van (boven)toon (Hz)

n = nummer toon (-)

f₁ = frequentie van grondtoon (Hz)

L=(2n−1)​4​​1​​λ

f​n​​=(2n−1)⋅f​1​​

Opgaven

Opgave 1

Leg uit hoe groot de afstand is tussen een knoop en een buik, uitgedrukt in de golflengte.

Opgave 2

Teken het patroon van buiken en knopen bij een gitaarsnaar. Doe dit voor de grondtoon en de eerste twee boventonen. Gebruik de letter K om een knoop aan te duiden en de letter B om een buik aan te duiden.

Opgave 3

Teken het patroon van buiken en knopen bij een panfluit met twee open uiteinden. Doe dit voor de grondtoon en de eerste twee boventonen. Gebruik de letter K om een knoop aan te duiden en de letter B om een buik aan te duiden.

Opgave 4

Doe nu hetzelfde voor een panfluit met één open uiteinde en één gesloten uiteinde.

Opgave 5

Het geluid van een stemvork wordt vaak versterkt door deze op een klankkast te zetten die aan de ene kant gesloten is en aan de andere kant open. Een bepaalde klankkast heeft een lengte van 17,8 cm en de lucht in de klankkast gaat in zijn grondtoon trillen. De temperatuur is 20 ºC.

a. Bereken de frequentie behorende bij deze grondtoon.

b. De buik die ontstaat aan het open uiteinde van de klankkast bevindt zich eigenlijk iets buiten de opening. Heeft de stemvork in dat geval een grotere of een kleinere frequentie dan berekend bij vraag a. Licht je antwoord toe.