Wiskunde en kunst: fractalen

• Wiskunde
• Natuur, Leven en Technologie
• +3
• Middelbare school
• havo, vwo
• Leerjaar 4-6

Introduction

In deze interactieve les ontdekken leerlingen de fascinerende wereld van fractalen. Ze krijgen uitleg over de basisprincipes van fractalen, zoals zelfgelijkvormigheid, oneindige complexiteit, en de wiskundige regels die fractalen vormen. Vervolgens verkennen ze voorbeelden van fractalen in zowel de natuur als de kunst. Tot slot ontwerpen de leerlingen hun eigen fractaal en vertalen deze naar een kunstwerk.

Ondertitel

Wiskunde en kunst: Fractalen

Les 1. Wat is creativiteit?

Informatie voor de docent

Vooraf

Verdeel de leerlingen in groepjes van 2 leerlingen.

Benodigdheden

Lesfasen

Bij elk onderdeel staan 

de lesfasen weergegeven.

Iconen

Zet het vinkje 'toon bij leerling' aan

Toon notities bij elke dia

Navigeren door de les

leeg en blokjes papier

Vergroot een afbeelding

Klik hier

Hotspot met meer informatie

pennen en kleurpotloden

geodriehoeken en linialen

Les 1. Wat is creativiteit?

Leerdoelen

Na deze les...

• kun je uitleggen wat een fractaal is.
• kun je herkennen welke regel een simpele fractaal veroorzaakt.
• kun je zelf een regel bedenken voor een fractaal.

Les 1. Wat is creativiteit?

Theorie

Fractalen zijn wiskundige objecten die zelfgelijkvormigheid vertonen. Ze herhalen hetzelfde patroon op verschillende schalen. 

Zelfgelijkvormigheid betekent dat een fractaal bestaat uit delen die een verkleinde kopie zijn van zichzelf. Neem bijvoorbeeld een broccoli. Als je een roosje afsnijdt lijkt het net een kopie van zichzelf.

Leg uit wat fractalen zijn en focus op zelfgelijkvormigheid en herhaling op verschillende schalen. 

Je kunt het voorbeeld van de broccoli gebruiken waarin elk roosje een verkleinde versie is en je telkens weer kan inzoomen. 

Les 1. Wat is creativiteit?

In fractalen vind je oneindige complexiteit. Je kunt zo ver inzoomen als je wilt; steeds weer komen er nieuwe details aan het licht. 

Dit komt doordat de patronen worden gemaakt door simpele regels. Deze regels kunnen oneindig doorgaan.

Voorbeeld: de bekende Sierpiński-driehoek heeft de regel dat elke gelijkzijdige driehoek wordt verdeeld 

in vier driehoeken. De middelste wordt daarna 

weggelaten. Dit wordt vervolgens weer herhaald.

Theorie

Gebruik de video om oneindige complexiteit uit te leggen. In deze video wordt ingezoomd op delen van de Sierpiński driehoek. 

Leg uit dat deze patronen worden gemaakt door regels toe te passen. In de oranje Sierpiński figuren is telkens een extra iteratie van de driehoek toegepast. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Bekijk de afbeelding op deze slide. Bedenk in tweetallen welke regel hier is gebruikt. Op de slide hierna kun je je antwoord invullen.

Gebruik een geodriehoek om tot je antwoord te komen.

Opdracht: welke regel?

Laat leerlingen bedenken welke regel bij het figuur op deze slide hoort. Geef eventueel hints als leerlingen vastlopen.

 Vraag

Welke regel hebben jullie gevonden?

Typ hier je antwoord:

Het juiste antwoord 

Bij elke laag zijn de volgende twee stappen uitgevoerd:

1. de lengte en breedte van het blokje is vermenigvuldigd met 0,75
2. het blokje is met 30 graden gedraaid naar rechts

Les 1. Wat is creativiteit?

Voorbeelden

Er zijn veel fractalen bedacht. Allemaal met een simpele regel die repetitie veroorzaakt.

  

Inspireer leerlingen door verschillende fractalen te laten zien. 

Boven: Mandelbrot

Linksonder: boom fractaal

Rechtsonder: Hilbert curve

Les 1. Wat is creativiteit?

Wist je dat fractalen overal om je heen voorkomen? Denk aan vetplantjes, sneeuw, bladeren, kristallen, bliksem en nog veel meer!

Fractalen helpen ons in het verklaren van veel verschijnselen in de natuur. Neem bijvoorbeeld het clusteren van sterrenstelsels. Verder helpt het ons om modellen te maken maken van bijvoorbeeld longen en bloedvaten. 

Voorbeelden in de natuur

Leg uit dat fractalen ook in de natuur overal voorkomen. Als voorbeeld is een vetplantje en een sneeuwvlok te zien.

Les 1. Wat is creativiteit?

Ook worden fractalen gebruikt in kunst om mooie afbeeldingen en animaties te maken. 

Voorbeelden

Hier worden enkele voorbeelden getoond van mooie fractalen. Laat leerlingen ook eventueel zelf zoeken naar mooie voorbeelden.

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht: fractalen maken

Jullie gaan in tweetallen bezig met het maken van kunst en gaan hiervoor een eigen fractaal ontwerpen. 

1. Basisvorm: start met een eenvoudige vorm.
   
2. Toepassen van regel: Verdeel en verwijder, vervang delen, of voeg een kleiner kopie toe. Schrijf de regel die je kiest op!
3. Herhalen: Pas de regel minstens 4 keer toe.
4. Maak je fractaal mooi door hem bijvoorbeeld in te kleuren. 

Zorg dat je één blad hebt met je kunstwerk en schrijf hier ook je gekozen regel op.

In deze opdracht moeten leerlingen zelf een stuk kunst ontwerpen. Leerlingen volgende de stappen op de slide. Assisteer hier eventueel met het verzinnen/toepassen van een regel. 

Planning

Pas eventueel de timer aan als je de opdracht wil inkorten of wil uitbreiden.

Presenteren

Laat aan het eind van het tijdslot de leerlingen aan elkaar presenteren wat ze hebben gemaakt. Enkele suggesties voor vormen:

• Laat de leerlingen met plakband de gemaakte werken door het lokaal ophangen en de werken van elkaar bekijken.
  
• Laat de leerlingen een korte pitch geven van 30 seconden tot een minuut. 

Les 1. Wat is creativiteit?

Gefeliciteerd!

Je kunt nu:

• ...uitleggen wat een fractaal is.
  
• ...herkennen welke regel een simpele fractaal veroorzaakt.
  
• ...zelf een regel bedenken voor een fractaal.
  

Les 1. Wat is creativiteit?

Geïnspireerd?

Als je dit een interessant onderwerp vond, dan is een vervolgopleiding in deze richting misschien iets voor jou.

Neem eens een kijkje bij Digitale Media, Creative Technology of Wiskunde (universiteit of HBO).

Weet je welk (vakken)profiel je hiervoor nodig hebt? Zoek dat eens uit!

Toelichting

Deze dia is bedoeld om leerlingen te helpen zich te oriënteren op vervolgopleidingen. Onbekend maakt onbemind en op deze manier maken ze kennis met wellicht onbekende studierichtingen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Auteurs

Team University of Twente

Powered by

4TU

Meer informatie of opmerkingen

https://www.4tu.nl/vo/

Colofon

Les 1. Wat is creativiteit?

Wiskunde interactief | Fractalen (z.d.). https://wiskunde-interactief.be/2get_9comp_fractalen.htm

Cursed code | Sierpiński Triangle Zoom Loop (Fractal Triangle) (2020, 8 mei). https://www.youtube.com/watch?v=jsfxdDtYCAw

Mathigon | Mandelbrot Zoom Sequence (2020, 2 april). https://www.youtube.com/watch?v=b005iHf8Z3g

Heavy Hues | Fractal Tree Morph 4K UHD 60FPS (2016, 4 april). https://www.youtube.com/watch?v=Ec8Q1q9cbbo

Fractals | Hilbert curve four arms 4 (2022, 3 december). https://www.youtube.com/watch?v=ByNTHLXyFS0

Bronnen