4.2 Permutaties en combinaties

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Welkom h4

Planning:

- huiswerk bespreken

- nieuwe stof 4.2: Permutaties en combinaties

- samen maken opgave 21 en 29

- zelfstandig werken

- afsluiting

Aan het einde van deze les:

-  ken je de betekenis van de volgende begrippen:

• het aantal permutaties van k uit n
• het aantal combinaties van k uit n

- kan je in verschillende situaties het aantal permutaties of combinaties berekenen

4.2 Permutaties en combinaties

 Theorie A: uitlegfilmpje over permutaties en faculteiten

Permutaties

Een permutatie is een rangschikking zonder herhaling. 

Dus bijvoorbeeld 3 leerlingen uit 8 worden uitgekozen.
1 voor muziek, 1 voor drank en 1 voor hapjes. 

Het aantal permutaties van 3 uit 8 is 8x7x6  

Of op hoeveel manieren kan je uit 10 boeken een top 3 samenstellen. Het aantal permutaties 3 uit 10 is 10x9x8 

Faculteit  !

Als 8 leerlingen allemaal een taak krijgen zijn er 8 uit 8 permutaties, dat noemen we 8 faculteit en schrijven we als 8!

dat is dus 8x7x6x5x4x3x2x1

of

Als je wil weten hoeveel verschillende 4 lettercodes er zijn met de letters a,b,c en d. zijn er 4 uit 4 permutaties, dan noemen we 4 faculteit en schrijven we als 4! dat is dus 4x3x2x1

Op je GR

Druk op [ALHPA]

Daarna op [WINDOW]

Voor een Permutatie gebruik je nPr

Voor een faculteit gebruik je !

Voorbeeld top 5 maken 

In je afspeellijst staan twaalf nummers. Je wilt een top 5 samenstellen. Op hoeveel manieren kan dat? 

Het is een permutatie omdat je geen nummers kan herhalen en je wilt een rangschikking (=top5) maken. 

Je wilt dus het aantal permutaties weten van 5 uit 12. 

Dus 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95040

of via je GR doe je 12nPr5 = 95040

In een kamer staan acht stoelen op een rij. Vijf personen komen de kamer binnen. Elke persoon neemt plaats op een stoel. Op hoeveel manieren kan dat?
Je hoeft alleen het getal van het antwoord in te typen.

Uitwerking

Keuze uit 8 stoelen 

Vijf personen 

5 uit 8

8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 8 nPr 5 = 6720

Een fotograaf heeft 14 foto's gemaakt. In een brochure van 10 pagina's wordt op elke pagina 1 foto afgedrukt. Op hoeveel manieren kunnen de foto's geplaats worden.

1. 8 717 291 200
2. 3 632 428 800
3. 140
4. 289 254 655 000

Uitwerking

keuze uit  14 foto's 

 10 pagina's (op elke pagina 1 foto)  

Op hoeveel manieren kunnen de foto's geplaats worden?

 Dus 10 uit 14

14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 14 nPr 10 = 3632428800 (B)

Combinaties

Een combinatie is een keuze maken zonder herhaling maar de volgorde is niet belangrijk. 

Dus bijvoorbeeld: Uit een klas van 30 leerlingen worden er 3 gekozen. 

of

Bij een loterij met 80 loten zijn er 5 dezelfde prijzen. 

Voorbeeld 

In een klas van 25 leerlingen worden 5 kaartjes verloot. 

Op hoeveel verschillende manieren kan dat? 

Het is een combinatie omdat je een kaartje maar 1x kan vergeven en het maakt niet uit op je kaartje 1, 2, 3, 4 of 5 krijgt. 

Dus de volgorde is niet van belang. Dus combinaties!!

Je rekent nu dus uit 25nCr5

We spreken dit uit als 25 boven 5 en noteren het als   

(​5​25​​)

Op je GR

Druk op [ALHPA]

Daarna op [WINDOW]

Voor een Combinatie gebruik je nCr

Permutaties

Combinaties

Uit een klas worden 6 leerlingen gekozen om een team te vormen.

Bij een verloting zijn 3 prijzen te winnen. Een tablet, GR en een taart.

In een klas worden 5 bioscoop bonnen verloot.

Een vereniging kiest uit haar leden een voorzitter, een secretaris en een penningmeester.  

Op een school zijn 12 lokalen. 3 lokalen krijgen een nieuw digibord. Op hoeveel manieren kunnen deze lokalen gekozen worden?

1. 1728
2. 1320
3. 220
4. 531441

Uitwerking

Op een school zijn 12 lokalen. 3 lokalen krijgen een nieuw digibord. Op hoeveel manieren kunnen deze lokalen gekozen worden? 

3 uit 12 en volgorde is niet van belang. Dus 12 boven 3.

= 220

(​3​12​​)

EN = vermenigvuldigen

Een klas bestaat uit 12 jongens en 17 meisjes er wordt een comité van 5 leerlingen gevormd.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met drie jongens?

3 jongens EN 2 meisjes

12nCr3 x 17nCr2

OF = Optellen

Een klas bestaat uit 12 jongens en 17 meisjes er wordt een comité van vijf leerlingen gevormd.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 4 jongens?

4 jongens EN 1 meisje OF 5 jongens

12nCr4 x 17nCr1 + 12nCr5

Samen opgaven 21 blz. 157

samen opgave 29 blz. 160

zelfstandig werken

maak opgave: 20, 23, 26, 27, 31 blz. 157 - 160