Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Welkom in vwo 6 wiskunde B

1 / 47

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 6

This lesson contains 47 slides, with text slides.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Welkom in vwo 6 wiskunde B

Slide 1 - Slide

Programma vwo 6

Slide 2 - Slide

Waarom limieten

Gegeven is de functie

a) Wat gebeurt er als je f(2) probeert te berekenen?

b) Herleid de breuk en probeer nogmaals f(2) te berekenen. Wat gebeurt er nu?

f (x) = \frac{​ x ^{​ 3 ​ ​} - 2 x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ x - 2 ​}

Slide 3 - Slide

Een paar begrippen

is een ononderbroken kromme, ook wel 'continu'

Voor is 4 de continumakende waarde van f

voor x = 2

3VT

Stelsels vergelijkingen, exponentiële functies en rekenen met exponenten

6VD

Normale verdeling gebruiken

Di 19-09

6VA

Verschillende notaties

PMR

Kwaliteit

6VB

Limieten en hellingen

4VB

Discriminanten met een parameter en extremen met een parameter

Wo 20-09

6VA

Rijen-invoerschem van de GR

5VA

Differentiequotiënten

3VT

Zelfwerkles

Do 21-09

5VA

Snelheid en raaklijn, raaklijn en rc, aantonen dat y toeneemt, hellinggrafieken schetsen

6VB

Verticale en horizontale asymptoten

4VB

vergelijkingen met een parameter

6VD

Normale en binomiale verdeling

Vr 22-09

4VB

kromme door toppen

6VA

Recursieve en directe formules opstellen

6VB

Scheve asymptoten

3VT

Zelfwerkles

Ma 25-09

5VA

afgeleide functie

3VT

Zelfwerkles

6VD

Somregels voor verwachtingswaarde en standaardafwijking en de centrale limietstelling

Di 26-09

6VA

Patronen en meetkundige figuren

PMR

Kwaliteit

6VB

Limieten bij exponentiële functies

4VB

domein en bereik

Wo 27-09

6VA

Sigmanotatie

5VA

Werkles

3VT

Zelfwerkles

Do 28-09

5VA

Notaties voor de afgeleide en de afgeleide van y = ax^n

6VB

Limieten bij logaritmische functies

Duits excursie

4VB

modulusfuncties

6VD

som en verschil van normaal verdeelde toevalsvariabelen

Duits excursie

Vr 29-09

4VB

toppen, snijpunten en ongelijkheden met de GR

6VA

Recursieve formule van een somrij

6VB

Zwaartepunt tekenen

3VT

DEADLINE toets hoofdstuk 1

Ma 09-10

5VA

de kettingregel

de ‘hoe zat het ook alweer quiz’ op papier maken?

3VT

6VD

Voorkennis

Di 10-10

STUDIEDAG

Wo 11-10

6VA

De grafiek y = sin (x) (en y = a+b sin(cx))

5VA

extreme waarden berekenen met de afgeleide

3VT

Do 12-10

5VA

formules met een parameter

6VB

Werken met middelloodlijnen en bissectrices

4VB

Herhaling

6VD

Bollen van Dandelin

Vr 13-10

4VB

Toets hoofdstuk 1

6VA

grafiek y = a + b sin (c(x-d))

6VB

Raaklijnproblemen bij cirkels

3VT

Ma 16-10

5VA

Uitloop

3VT

6VD

Vergelijking van een parabool en een ellips

Di 17-10

6VA

Formule van sinusoïde opstellen

PMR

Kwaliteit

6VB

Vergelijkingen bij rakende cirkels

4VB

Wo 18-10

6VA

Berekeningen met de sinus

5VA

Herhaling

3VT

Do 19-10

5VA

Toets hoofdstuk 8

6VB

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

4VB

Latijn excursie

6VD

Toppen en brandpunten van een ellips en vergelijking van een hyperbool

Vr 20-10

4VB

6VA

sinusoïden gebruiken

Frans excursie

6VB

Snijdende cirkels

Frans excursie

3VT

DEADLINE vaardigheden

Ma 30-10

5VA

Kwaliteit

3VT

6VD

Toppen, brandpunten en asymptoten van een hyperbool

Di 31-10

6VA

Breuken herleiden

6VB

Parametervoorstelling van een cirkel

4VB

Wo 01-11

6VA

variabelen vrijmaken en formules combineren

5VA

3VT

Do 02-11

5VA

6VB

Plaats, snelheid en versnelling

4VB

6VD

Kegelsneden onderzoeken

Vr 03-11

4VB

6VA

Variabelen vrijmaken met exponenten en logaritmen

6VB

Uitloop

3VT

Ma 6-11

5VA

Kwaliteit

3VT

6VD

Raaklijn en normaal bij kegelsneden

Di 7-11

6VA

Grondtallen veranderen

6VB

Herhaling

4VB

Wo 8-11

6VA

omvormen van formules

5VA

3VT

Do 9-11

5VA

6VB

Herhaling

4VB

6VD

Herhaling

Vr 10-11

4VB

6VA

Omvormen van formules deel 2 (theorie D)

6VB

Herhaling

3VT

Ma 13-11

5VA

Kwaliteit

3VT

6VD

Herhaling

Di 14-11

6VA

Herhaling

6VB

Herhaling

4VB

Wo 15-11

6VA

Herhaling

5VA

3VT

Do 16-11

5VA

SE-week

6VB

SE-week

4VB

SE-week

6VD

SE-week

Vr 17-11

SE-week

4VB

SE-week

6VA

SE-week

6VB

SE-week

3VT

DEADLINE toets hoofdstuk 4

SE-week

g (x) = x^{​ 2 ​ ​}

f (x) = \frac{​ x ^{​ 3 ​ ​} - 2 x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ x - 2 ​}

Slide 4 - Slide

Limieten

Uitspraak: de limiet voor x naar 2 van f(x) is 4.

Bij een continue functie geldt dat

​ x \to 2 ​ lim ​ ​ f (x) = 4

​ x \to a ​ lim ​ ​ f (x) = f (a)

Slide 5 - Slide

Hoe bereken en noteer je zo'n limiet?

Bereken

(f(2) geeft 0/0 dus teller en noemer bevatten (x-2))

​ x \to 2 ​ lim ​ ​ \frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} + x - 6 ​ ​}{​ x - 2 ​}

​ x \to 2 ​ lim ​ ​ \frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} + x - 6 ​ ​}{​ x - 2 ​} = ​ x \to 2 ​ lim ​ ​ \frac{​ ( x - 2 ) ( x + 3 ) ​ ​}{​ x - 2 ​} = ​ x \to 2 ​ lim ​ ​ (x + 3) = 5

Slide 6 - Slide

Zelf aan de slag

Hoofdstuk 13, paragraaf 1 (blz 12)

Begin bij opdracht 5. Gaat dat goed, maak je 5 t/m 8

Valt het tegen, maak je opdracht 3 t/m 8

Slide 7 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Perforaties

Slide 8 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Wat perforaties zijn en hoe je de coördinaten daarvan kunt vinden

Slide 9 - Slide

Perforaties

Plot de 2 grafieken van vorige les in je GR: en

Het is voor de verandering belangrijk dat je deze volgorde aanhoudt.

a) Kies als windowinstellingen x van -10 tot 10 en y ook van -10 tot 10. Wat zie je?

b) Verklein je window naar x van -3 tot 3 en y van -1 tot 5. Wat zie je nu?

y^{​ 1 ​ ​} = x^{​ 2 ​ ​}

y^{​ 2 ​ ​} = \frac{​ x ^{​ 3 ​ ​} - 2 x ^{​ 2 ​ ​} ​ ​}{​ x - 2 ​}

Slide 10 - Slide

Perforaties

Perforaties ontstaat op punten waar f(x) = 0/0

Als perforatie bij x = 3, dan teller en noemer een factor (x-3)

Slide 11 - Slide

Bijvoorbeeld

Gegeven is de formule

Bereken voor welke waarden van a de grafiek van f een perforatie heeft en bereken de coördinaten van de bijbehorende perforatie.

f (x) = \frac{​ 4 x ^{​ 2 ​ ​} - 4 x - 3 ​ ​}{​ 2 x + a ​}

Slide 12 - Slide

Zelf aan de slag

opdracht 11, 12, 14, 15, 16

10 mag als extra oefening, 17 mag als extra uitdaging

Slide 13 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Linker- en rechterlimiet

Slide 14 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Wat een linker- en rechterlimiet is

Hoe je kunt bepalen of de limiet van een (samengestelde) functie bestaat

Slide 15 - Slide

Gegeven de functie

f(x) heeft 2 limieten:

Omdat de linker- en rechterlimiet

niet overeenkomen, zeg je dat

niet bestaat

f (x) = ​ ⎩ ​ ⎨ ​ ⎧ ​ ​ ​ - x^{​ 2 ​ ​} + 3 ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x + 1 ​ ​ ​ v o o r x \leq 1 ​ v o o r x > 1 ​ ​

​ x ↑ 1 ​ lim ​ ​ f (x) = ​ x ↑ 1 ​ lim ​ ​ (- x^{​ 2 ​ ​} + 3) = - 1^{​ 2 ​ ​} + 3 = 2

​ x ↓ 1 ​ lim ​ ​ f (x) = ​ x ↓ 1 ​ lim ​ ​ - (\frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x + 1) = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} \cdot 1 + 1 = 1 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}

​ x \to 1 ​ lim ​ ​ f (x)

Slide 16 - Slide

Voorbeeld

Voor 0 < p < 1 zijn gegeven de functies

Voor welke p bestaat ?

f^{​ p ​ ​} (x) = ​ ⎩ ​ ⎨ ​ ⎧ ​ ​ ​ sin (p π x) ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 8 ​} x^{​ 2 ​ ​} ​ ​ ​ v o o r x < 2 ​ v o o r x > 2 ​ ​

​ x \to 2 ​ lim ​ ​ f^{​ p ​ ​} (x)

Slide 17 - Slide

Zelf aan de slag

opdracht 19, 20, 21

Slide 18 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Limieten en hellingen

Slide 19 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je kunt bepalen of een (modulus)functie een knik heeft

Slide 20 - Slide

Modulusfuncties

Hiernaast zie je de grafiek van de functie

Bestaat ?

f (x) = (5 - x) \cdot ∣ x - 1 ∣

​ x \to 1 ​ lim ​ ​ f (x)

Slide 21 - Slide

Modulusfuncties

Hiernaast zie je de grafiek van de functie

Bestaat ?

Voor x > 1 geldt

Voor x < 1 geldt

f (x) = (5 - x) \cdot ∣ x - 1 ∣

​ x \to 1 ​ lim ​ ​ f (x)

f (x) = - x^{​ 2 ​ ​} + 6 x - 5

f (x) = x^{​ 2 ​ ​} - 6 x + 5

Slide 22 - Slide

Modulusfuncties

Hiernaast zie je de grafiek van de functie

Voor x > 1 geldt

Voor x < 1 geldt

Er geldt dat:

Dus de grafiek heeft een knik bij x = 1

f (x) = - x^{​ 2 ​ ​} + 6 x - 5

f (x) = x^{​ 2 ​ ​} - 6 x + 5

f (x) = (5 - x) \cdot ∣ x - 1 ∣

​ x ↑ 1 ​ lim ​ ​ f^{​' ​ ​} (x) \neq ​ x ↓ 1 ​ lim ​ ​ f^{​' ​ ​} (x)

Slide 23 - Slide

Voorbeeld

Voor elke waarde van p is de functie gegeven door

Bereken exact voor welke p de grafiek van geen knik heeft.

f^{​ p ​ ​}

f^{​ p ​ ​} (x) = (x + 1) \cdot ∣ x + p ∣

f^{​ p ​ ​}

Slide 24 - Slide

Zelf aan de slag

opdracht 23a, 25, 26, 27

Slide 25 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Verticale en horizontale asymptoten

Slide 26 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Wat asymptoten zijn

Hoe je een verticale asymptoot vindt in een gebroken functie

Hoe je een horizontale asymptoot vindt in een gebroken functie

Slide 27 - Slide

Gegeven is

a) Voor welke x wordt de noemer gelijk

aan 0?

b) Is de teller dan ook gelijk aan 0?

c) Wat gebeurt er als je voor x een heel

groot of heel klein getal invult?

f (x) = \frac{​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} - 3 x ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} - 1 ​}

Slide 28 - Slide

Asymptoten

Verticale asymptoten bij noemer = 0 en teller 0.

Horizontale asymptoten bij limiet naar en -

Hoe vindt je: ?

\neq

\infty

\infty

​ x \to \infty ​ lim ​ ​ \frac{​ 2 x ^{​ 2 ​ ​} - 3 x ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} - 1 ​}

​ x \to \infty ​ lim ​ ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ x ^{​ n ​ ​} ​} = ​ x \to - \infty ​ lim ​ ​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ x ^{​ n ​ ​} ​} = 0

Slide 29 - Slide

Zelf aan de slag

Opdracht 31 t/m 35

Volgende les maken we 36 t/m 40 (geen nieuwe theorie)

Slide 30 - Slide

Zelf aan de slag

Opdracht 36 t/m 40

Slide 31 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Scheve asymptoten

Slide 32 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je een breuk uitdeelt

Hoe je de formule voor een scheve asymptoot vindt

Slide 33 - Slide

Gegeven is

Bekijk de grafiek hiernaast.

Heeft de grafiek een asymptoot /

asymptoten?

Zo ja, welke?

f (x) = x + 3 - \frac{​ 4 ​ ​}{​ x + 2 ​}

Slide 34 - Slide

Voorbeeld breuken uitdelen

Ook de functie heeft een scheve asymptoot. Deze vindt je d.m.v. uitdelen:

f (x) = \frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} + 6 x + 5 ​ ​}{​ 2 x + 4 ​}

\frac{​ x ^{​ 2 ​ ​} + 6 x + 5 ​ ​}{​ 2 x + 4 ​} = \frac{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x ( 2 x + 4 ) - 2 x + 6 x + 5 ​ ​}{​ 2 x + 4 ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x + \frac{​ 4 x + 5 ​ ​}{​ 2 x + 4 ​}

= \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x + \frac{​ 2 ( 2 x + 4 ) - 8 + 5 ​ ​}{​ 2 x + 4 ​} = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} x + 2 - \frac{​ 3 ​ ​}{​ 2 x + 4 ​}

Slide 35 - Slide

Even zelf proberen

Gegeven is

Stel van elke asymptoot van de grafiek van f de formule op.

f (x) = \frac{​ x ^{​ 3 ​ ​} + 2 x ^{​ 2 ​ ​} - 4 x - 5 ​ ​}{​ x ^{​ 2 ​ ​} - 4 ​}

Slide 36 - Slide

Zelf aan de slag

Opdracht 43, 45, 46, 48, 49

Slide 37 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Limieten bij exponentiële functies

Slide 38 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je de formules vindt van alle asymptoten van een exponentiële functie

Slide 39 - Slide

Je weet:

Bij beide situaties hoort een limiet van '0'. Welke limieten zijn dat?

Slide 40 - Slide

Bijvoorbeeld

Stel de formule op van elke asymptoot van de grafiek van

de functie

f (x) = \frac{​ 2 e ^{​ x ​ ​} + 1 ​ ​}{​ e ^{​ x ​ ​} - 2 ​}

Slide 41 - Slide

Zelf aan de slag

Opdracht 52, 53, 54

55 mag als extra uitdaging

Slide 42 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Limieten bij logaritmische functies

Slide 43 - Slide

Wat ga je vandaag leren?

Hoe je limieten berekent bij formules met een logaritme

Slide 44 - Slide

Logaritme

Hiernaast staan de grafieken van

voor g > 1 en 0 < g < 1

a) Wat gebeurt er bij ?

b) Wat gebeurt er bij ?

x ↓ 0

x \to \infty

y = lo g^{​ g ​ ​} (x)

Slide 45 - Slide

Hoe gebruiken we dit?

Gegeven is de functie

a) Bereken

b) Stel van elke asymptoot van de grafiek

van f de formule op.

f (x) = \frac{​ 4 ​ ​}{​ 2 ln ( x ) - 1 ​}

​ x ↓ 0 ​ lim ​ ​ f (x)

Slide 46 - Slide

Zelf aan de slag

Opdracht 59, 60, 61

58 mag als extra oefening

Slide 47 - Slide

Hoofdstuk 13: limieten en asymptoten

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Slide

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Slide

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

Slide 23 - Slide

Slide 24 - Slide

Slide 25 - Slide

Slide 26 - Slide

Slide 27 - Slide

Slide 28 - Slide

Slide 29 - Slide

Slide 30 - Slide

Slide 31 - Slide

Slide 32 - Slide

Slide 33 - Slide

Slide 34 - Slide

Slide 35 - Slide

Slide 36 - Slide

Slide 37 - Slide

Slide 38 - Slide

Slide 39 - Slide

Slide 40 - Slide

Slide 41 - Slide

Slide 42 - Slide

Slide 43 - Slide

Slide 44 - Slide

Slide 45 - Slide

Slide 46 - Slide

Slide 47 - Slide

More lessons like this

Examentraining

H13 WisB les 8 1920

H13 les 11 2425

H13 WisB les 9 2122

H13 les 9 2223

H13 les 3 2425

Limieten en perforatie

H13 WisB les 1