combinaties en permutaties

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Combinatoriek

permutaties

Bij permutaties doet de volgorde (rangschikking) er toe. 

Voorbeeld: hoe kan ik uit 8 mensen een bestuur kiezen met voorzitter, penningmeester en secretaris?

Berekening met de GR:   8 nPr 3 = 336

permutaties en faculteiten

Op hoeveel manieren kan ik 8 personen rangschikken? Hierbij doet de volgorde er toe en het gaat om alle personen!

Op 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40320 manieren

Met de GR: 8! = 403280

Combinaties

Bij combinaties gaat het om hoeveel manieren je 3 personen uit 5 kunt kiezen. Hierbij doet de volgorde er niet toe, d.w.z. wanneer er 5 personen zijn b.v  A,B,C,D en E, dan is de combinatie ABC gelijk aan BCA en ACB, enz. Dat is bij de situatie van het kiezen van een bestuur niet het geval, omdat daar ook de volgorde Voorzitter, Penningmeester en Secretaris meetelt. 

Berekening met de GR:   5 boven 3   -->  5 nCr 3 = 10

spreek uit als 5 boven 3

Bij de volgende vraag moet je aangeven of het om een permutatie of combinatie gaat. Je hoeft het aantal niet te berekenen.

Sleepvraag!

Permutatie

Combinatie

UIt een klas worden zes leerlingen gekozen om een volleybalteam te vormen.

Bij een verloting zijn drie prijzen te winnen: een fiets, een GR en een taart.

In een klas worden vijf kaartjes verloot voor een concert.

Uit de toptien van vorige week stel je een persoonlijke top 3 samen.

Van 100 leraren van een school komen er vijf op een feest. 

Uit een selectie van 18 personen wordt een spelersraad van 6 spelers samengesteld. Hoeveel spelersraden zijn mogelijk?

Reken het antwoord voor jezelf uit met de GR!

Antwoord:

6 personen uit groep van 18 --> combinatie, want uit de tekst blijkt niet dat de spelers ieder een aparte functie hebben

             --> 18 nCr 6 = 18564

(​6​18​​)

In een mediatheek staan  20 cd's  met klassieke muziek, 9 cd's met popmuziek en 5 cd's met nederlandstalige muziek.

Reken het antwoord voor jezelf uit en sleep de vraag naar het juiste aantal mogelijkheden.

278256

1860480

15504

5379616

84

Manon kiest 5 cd's met klassieke muziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Bart kiest 6 cd's met popmuziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Judith kiest uit alle cd's er 7 uit. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Manon kiest uit 20 cd's met klassieke muziek 5 cd's met klassieke muziek:

(​5​20​​)

= 20 nCr 5 = 15504

Bart kiest uit 9 cd's met popmuziek 6 cd's met popmuziek:

(​6​9​​)

= 9 nCr 6 = 84

Judith kiest uit alle cd's  (34 stuks) er 7 uit:

(​7​34​​)

= 34 nCr 7 = 5379616

Op de boekenplank bij Yvonne staan 6 Engelse boeken, 4 Franse boeken en 3 Duitse boeken.

Op hoeveel manieren kunnen deze boeken gerangschikt zijn? 

Antwoord:

13 verschillende boeken kunnen op  13 x 12 x 11 x ..... x 2 x 1 = 13! manieren gerangschikt worden

13! = 6227020800

Op de boekenplank bij Yvonne staan 6 Engelse boeken, 4 Franse boeken en 3 Duitse boeken.

Als Sabine 6 boeken wil lenen, hoeveel mogelijkheden zijn er dan? 

Antwoord:

Hoeveel combinaties van 6 uit 13 zijn er mogelijk?

(​6​13​​)

= 13 nCr 6 = 1716  mogelijkheden

Op de boekenplank bij Yvonne staan 6 Engelse boeken, 4 Franse boeken en 3 Duitse boeken.

Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine één Engels boek, één Frans boek en één Duits boek leent? 

Engelse boek --> keuze van één uit 6

Franse boek --> keuze van één uit 4

Duitse boek --> keuze van één uit 3

Aantal mogelijkheden: 6 x 4 x 3 = 72

Op de boekenplank bij Yvonne staan 6 Engelse boeken, 4 Franse boeken en 3 Duitse boeken.

Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine drie Engelse boeken leent? 

Antwoord: 

Hoeveel combinaties van 3 uit 6 Engelse boeken zijn er mogelijk?

(​3​6​​)

= 6 nCr 3 = 20  mogelijkheden

Op de boekenplank bij Yvonne staan 6 Engelse boeken, 4 Franse boeken en 3 Duitse boeken.

Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine 7 boeken leent waarvan er geen enkele een Duits boek is? 

Aantal Engelse en Franse boeken: 6 + 4 = 10

Combinatie van 7 uit 10 geeft:

(​7​10​​)

= 10 nCr 7 = 120  mogelijkheden

Op een school bestaat de feestcommissie uit 12 jongens en 5 meisjes. Na elk feest maken 6 leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met precies 2 jongens?

Uitleg (ploeg met precies 2 jongens):

Keuze uit: 12 jongens en 5 meisjes

2 jongens uit 12 jongens geeft           = 12 nCr 2 = 66 mogelijkheden

Dan zijn er nog 4 plaatsen over in de schoonmaakploeg (want die bestaat uit 6 personen) die verdeeld worden over de 5 meisjes:

4 meisjes uit 5 meisjes geeft           = 5 nCr 4 = 5 mogelijkheden

In totaal dus                         =  66 x 5 = 330 mogelijkheden 

(2 jongens én 4 meisjes)

(​2​12​​)

(​4​5​​)

(​2​12​​)

(​4​5​​)

.

Op een school bestaat de feestcommissie uit 12 jongens en 5 meisjes. Na elk feest maken 6 leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met hoogstens één meisje?

Hint: welke samenstellingen van ploegen zijn er mogelijk qua aantallen jongens en meisjes?

Uitleg (ploeg met hoogstens 1 meisje):

Keuze uit: 12 jongens en 5 meisjes

Ploeg met 0 meisjes of ploeg met 1 meisje

Ploeg met 0 meisjes:

6 uit 12 jongens en 0 uit 5 meisjes geeft                          = 924   mogelijkheden

(​6​12​​)

(​0​5​​)

.

Ploeg met 1 meisje:

5 uit 12 jongens en 1 uit 5 meisjes geeft                          = 3960   mogelijkheden

(​5​12​​)

.

(​1​5​​)

Totaal: 3960 + 924 = 4884 mogelijkheden (somregel: óf 0 meisjes  óf 1 meisje)

(​0​5​​)

betekent 0 uit 5 --> 5 nCr 0 = 1, het geeft precies de situatie weer en daarom vermeld ik het!

Ga bij dit soort vragen eerst de verschillende mogelijkheden per ploeg na en reken vervolgens het aantal combinaties uit.

Als de vraag was geweest 'Hoeveel ploegen zijn er met minstens drie jongens?' had je eerst moeten bekijken welke mogelijkheden per ploeg er zijn. In dit geval was dat geweest 3, 4, 5 of 6 jongens per ploeg:

3 jongens (en 3 meisjes)

4 jongens (en 2 meisjes)

5 jongens (en 1 meisjes)

6 jongens (geen meisjes) 

(​3​12​​)

(​3​5​​)

(​5​12​​)

(​4​12​​)

(​6​12​​)

(​2​5​​)

(​1​5​​)

(​0​5​​)

.

.

.

.

Wat vond je ervan? Heb je door hoe en wanneer je combinaties moet berekenen (nCr) en wanneer je te maken hebt met permutaties (nPr) ?

Geef vooral aan wat je nog lastig vindt.

Voor een toelatingstest moeten 17 tweekeuzevragen beantwoord worden. 

Hoeveel mogelijkheden zijn er om het formulier in te vullen? 

Antwoord

2​17​​=131072

Per antwoord steeds 2 mogelijkheden geeft:

2 x 2 x 2 .........2 = 131072

Voor een toelatingstest moeten 17 tweekeuzevragen beantwoord worden. 

Hoeveel mogelijkheden zijn er met 12 juiste antwoorden? 

(​12​17​​)

12 antwoorden goed uit 17 vragen totaal geeft: 

= 6188

mogelijkheden

Voor een toelatingstest moeten 17 tweekeuzevragen beantwoord worden. 

Hoeveel mogelijkheden zijn er met meer dan  14 juiste antwoorden?

(​15​17​​)

meer dan 14  antwoorden goed uit 17 vragen totaal geeft: 

136 + 17 + 1 = 154

mogelijkheden

(​16​17​​)

(​17​17​​)

15 goed:

16 goed:

17 goed:

= 17 nCr 15 = 136

= 17 nCr 16 = 17

= 17 nCr 17 = 1

Voor een toelatingstest moeten 17 tweekeuzevragen beantwoord worden. 

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minder dan 3 juiste antwoorden?

(​2​17​​)

minder dan 3  antwoorden goed uit 17 vragen totaal geeft: 

136 + 17 + 1 = 154

mogelijkheden

(​1​17​​)

(​0​17​​)

2 goed:

1 goed:

0 goed:

= 17 nCr 2 = 136

= 17 nCr 1 = 17

= 17 nCr 0 = 1