3: Driehoeksgetallen en vierkantsgetallen
Driehoeksgetallen en vierkantsgetallen
1 / 33
next
Slide 1: Slide
Periode wiskunde GetallenwerendMiddelbare schoolhavo, vwoLeerjaar 1
This lesson contains 33 slides, with text slides.
Lesson duration is: 120 minItems in this lesson
Driehoeksgetallen en vierkantsgetallen
Slide 1 - Slide
De derde nacht
Slide 2 - Slide
De derde nacht
De volgende nacht lag Robert in zijn bed en en hij droomde. Hij zwierf door een uitgestrekte woestijn, waar geen schaduw en geen water was. Hij had alleen een zwembroek aan. Hij liep en liep, had dorst en zweette, en hij had al blaren aan zijn voeten, toen hij eindelijk in de verte een paar bomen zag.
Slide 3 - Slide
Slide 4 - Slide
De derde nacht
Dat moet een fata morgana zijn, dacht hij, of een oase.
Hij strompelde verder tot hij de eerste palmen bereikt had. Opeens hoorde hij een stem die hem bekend voorkwam.
- Hallo Robert!
Hij keek naar boven. Juist! Boven in de palm zat de telduivel en wipte met de bladeren.
- Ik heb verschrikkelijke dorst, riep Robert.
- Kom naar boven, riep de telduivel.
Slide 5 - Slide
De derde nacht
Met zijn laatste krachten klom Robert naar zijn vriend. Die hield een kokosnoot in zijn hand, trok zijn zakmes en boorden een gat in de noot. Het nat van de kokosnoot smaakte heerlijk.
- Lang niet gezien, zei Robert. Waar zat je toch de hele tijd?
- Dat zie je toch, ik houd vakantie.
- En wat gaan we vandaag doen?
- Je zult wel uitgeput zijn van je wandeling door de woestijn.
- Valt wel mee, zei Robert. Het gaat alweer beter. Wat is er? Schiet je niks meer te binnen?
Slide 6 - Slide
De derde nacht
- Mij schiet altijd wat te binnen, antwoordde de ander.
- Getallen, altijd maar getallen.
- Wat anders? Iets opwindenders bestaat helemaal niet. Hier, pak aan.
Hij drukte Robert de lege kokosnoot in de hand.
- Gooi hem naar beneden.
- Waarheen?
- Gewoon naar beneden.
Slide 7 - Slide
De derde nacht
Robert gooide de noot in het zand. Van bovenaf leek hij zo klein als een puntje.
- Nog een. En dan nog een. En dan nog een, beval de telduivel.
- En wat moet dat?
- Zul je wel zien.
Robert plukte 3 verse kokosnoten en gooide ze op de grond. Dit was wat hij in het zand zag:
Slide 8 - Slide
Slide 9 - Slide
De derde nacht
- Doorgaan! riep de ander.
Robert gooide en gooide en gooide.
- Wat zie je nu?
- Allemaal driehoeken, zei Robert.
- Zal ik je helpen? vroeg de telduivel.
En zo plukten en gooiden ze maar door tot het er beneden heel driehoekig uit zag, namelijk zo:
Slide 10 - Slide
Slide 11 - Slide
De derde nacht
- Gek dat die noten zo ordelijk naar beneden vallen. Robert verwonderde zich. Ik heb toch helemaal niet gemikt, en zelfs als ik het had gewild - zo goed kan ik helemaal niet gooien.
- Ja, zei de oude, en glimlachte, zo precies mikken kun je alleen maar in dromen - en in de wiskunde. In het gewone leven lukt er nooit iets, maar in de wiskunde lukt alles. Het zou trouwens ook zonder kokosnoten gekund hebben. We hadden evengoed met tennisballen kunnen gooien of met knopen of met roomsoezen. Tel nu eens hoeveel noten die driehoeken daar beneden bevatten. Zet de getallen er maar bij.
Robert schreef met zijn vinger in het zand de aantallen bij elke driehoek.
Slide 12 - Slide
1 3 6 10 15
Slide 13 - Slide
De derde nacht
Ik snap het, zei Robert. Ik weet nu hoe het verder gaat en voor nog eens drie driehoeken schreef hij het aantal kokosnoten dat nodig is in het zand. Doen jullie dat ook maar.
Slide 14 - Slide
De derde nacht
- Kun je nu ook voorspellen hoeveel kokosnoten de volgende driehoek heeft? vroeg de telduivel.
- Robert dacht hardop. De eerste driehoek is eigenlijk geen driehoek, het is maar 1 kokosnoot. Daar heb je die rare 1 weer.
De volgende driehoek heeft er twee meer, dus drie kokosnoten. Bij de derde komt er nog een rijtje van 3 noten bij, dus dat maakt 3 + 3 = 6 kokosnoten. Bij de vierde driehoek komt er weer een rijtje onder met nu vier kokosnoten en bij de volgende komen er vijf bij.
Slide 15 - Slide
Slide 16 - Slide
De derde nacht
- Goed, zei de telduivel. Dan kunnen we nu naar beneden klimmen en het ons naar de zin maken. Het klimmen ging verbluffend makkelijk, en toen ze beneden kwamen, geloofde Robert zijn ogen niet. Daar stonden twee ligstoelen, er klaterde een bron en op een tafeltje naast het grote zwembad stonden twee glazen met ijsgekoeld sinaasappelsap klaar. Geen wonder dat die ouwe deze oase had uitgezocht, dacht Robert. Hier kun je een droomvakantie doorbrengen. Toen ze allebei hun glas ophalen, zij de oude baas:
Slide 17 - Slide
Slide 18 - Slide
De derde nacht
- Goed, de kokosnoten kunnen we vergeten. Op de getallen komt het aan. Dit zijn getallen van een heel bijzondere kwaliteit, ze worden driehoekige getallen genoemd. Daar zijn er meer van dan je denkt.
- Dacht ik al, zei Robert. Bij jou gaat alles altijd tot in het oneindige.
En nu nog iets, dat is echt geweldig, beste Robert. Tel eens twee opeenvolgende driehoeksgetallen op, daar zul je nog raar van opkijken. Robert keek wat preciezer naar de driehoeksgetallen. Hij telde er steeds 2 bij elkaar op. Verdorie, dat zijn allemaal gehupte getallen 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, 5 x 5!
Slide 19 - Slide
Slide 20 - Slide
De derde nacht
- Weet je, zei de telduivel: je doet een getal keer zichzelf, we noemen dat kwadraten. Je kunt dat ook opschrijven als een 2 die in de lucht zweeft. Kijk zo!
Ik noem dat huppen, maar in de wiskunde heet het eigenlijk kwadrateren.
Ik vind het alleen zo grappig dat die twee steeds omhoog hupt.
Slide 21 - Slide
De derde nacht
- Niet slecht, hè? zei de oude. Je kunt er zo lang mee doorgaan als je wilt.
- Mooi niet, zei Robert. Ik ga liever zwemmen.
- Maar eerst laat ik je nog een ander circusnummer zien, als je het niet erg vindt.
- Ik heb het al zo warm, morde Robert.
- Goed. Dan niet. Dan kan ik wel opstappen, zei de telduivel.
- Nee, blijf hier.
- Ben je nieuwsgierig?
Slide 22 - Slide
De derde nacht
- Natuurlijk ben ik nieuwsgierig.
- Opgelet dan.
De telduivel nam een paar ijsblokjes uit de koeler en legde ze op tafel. Zo erg is het toch niet, troostte hij Robert. Precies hetzelfde als met de kokosnoten, alleen zijn het deze keer geen driehoeken maar vierkanten:
Slide 23 - Slide
Slide 24 - Slide
De derde nacht
- Tot je dienst, zei Robert, je hoeft me helemaal niets uit te leggen. Wat hier aan de hand is, ziet zelfs een blinde. Dat zijn doodgewoon allemaal gehupte getallen. Ik tel hoeveel blokjes er aan elke zijde van het vierkant liggen en dit getal laat ik huppen.
- Heel goed, zeiden tel duivel. Verduveld goed. Jij bent een eersteklas tovenaarsleerling, jongen, dat moet ik je nageven.
Slide 25 - Slide
De derde nacht
- Maar ik wil zwemmen, mokte Robert.
- Wie het niet te warm heeft, kan nog een beetje verder spelen met de ijsblokjes, voor ze gesmolten zijn. Je hoeft maar een paar lijnen door het vierkant te trekken, zo:
Slide 26 - Slide
Slide 27 - Slide
De derde nacht
en daaronder schrijf je het aantal blokjes in elke hoek.
Zoveel blokjes liggen er in elke hoek die je in het vierkant hebt getekend. Als je dan getallen van 1 tot 9 bij elkaar optelt, wat komt er dan uit? Een getal dat je bekend zal voorkomen!
Schrijf de som maar op.
Slide 28 - Slide
Slide 29 - Slide
De derde nacht
Zoveel blokjes liggen er in elke hoek die je in het vierkant hebt getekend. Als je dan getallen van 1 tot 9 bij elkaar optelt, wat komt er dan uit? Een getal dat je bekend zal voorkomen!
Schrijf de som maar op.
Slide 30 - Slide
De derde nacht
Misschien wil je nu nog uitvissen hoe de vijfhoekige getallen werken? Of de zeshoekige? Nee, dank je, echt niet, zei Robert. Hij stond op en sprong in het water.
Slide 31 - Slide
Opdracht 1
Wat is het 15e driehoeksgetal?
Wat is het 25e vierkantsgetal?
Slide 32 - Slide
Opdracht 2
a. Probeer uit te vinden hoe je van twee driehoeksgetallen de vierkantsgetallen kunt maken.
b. Probeer een algemene zin te noteren om duidelijk te maken wat je bij a ontdekt hebt. Dus een regel die voor alle voorbeelden tegelijk klopt.
