7 jan - D1. Opg. 1 t/m 4

• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

V5natk4 - Goedemorgen!

Doe mee via LessonUp.app

Vandaag:

• Korte herhaling van gister
• Bespreking "muonen" en hw-opgaven
• D2: Ruimte-tijddiagram (als we tijd hebben)

Herhaling Gisteren

Tijdrek & Lengtekrimp

De eigentijd Δt_e is de tijdsduur van een proces in het ruststelsel van het proces

1. waar
2. onwaar

De eigentijd Δt_e van een proces is langer dan de tijd Δt_b gemeten door een waarnemer die beweegt t.o.v. het proces

1. waar
2. onwaar

Eigentijd en tijdrek 

• Voor een waarnemer die beweegt t.o.v. een proces duurt dat proces een factor 𝛾 langer dan voor een waarnemer in het ruststelsel van het proces.
• Δtb = 𝛾 Δte

• De tijd in een ruststelsel noemen we de eigentijd te.

• Dit verschijnsel heet tijdrek. 
• De tijd líjkt niet alleen verschillend te zijn voor beide waarnemers, maar is dat ook echt!

De eigenlengte L_e van een trein is langer dan de lengte L_b die een persoon op het perron meet als de trein voorbij rijdt.

1. waar
2. onwaar

Eigenlengte en lengtekrimp 

• Voor een waarnemer die beweegt t.o.v. een lengte is die lengte een factor 𝛾 korter in de bewegingsrichting, dan voor de waarnemer in het ruststelsel van de lengte. 
• Lb = Le/𝛾

• De lengte in een ruststelsel noemen we de eigenlengte Le.

• Dit verschijnsel heet lengtekrimp
• De lengte líjkt niet alleen korter zijn voor de bewegende waarnemer, maar is dat ook echt!

Zie figuur D.6 hiernaast. Relativistische effecten worden merkbaar bij snelheden vanaf

1. 0 m/s
2. 0,25 c
3. 0,6 c
4. 1,0 c

Het raadsel van de Muonen

• We weten van experimenten dat de gemiddelde levensduur van een muon 2,2 μs is.

• Bovenin de atmosfeer (op 10 km hoogte) ontstaan muonen met een snelheid v = 0,999 c richting aarde.

• Een muon kan gedurende zijn leven gemiddeld maar s = v . t = 660 m afleggen en dus nooit het aardoppervlak bereiken ... maar we meten ze wel op aarde! Hoe kan dit?!

Relativistische factor 𝛾

 

c = 3,00 .108 m/s

Als v gelijk is aan 99,9% van de lichtsnelheid:

v = 0,999 c

v/c = 0,999

𝛾 = 22,4 (geen eenheid!)

γ=​√​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​​​​1​​

γ=​√​1−0,999​2​​)​​​​​1​​

Vanuit aarde gezien: tijdrek

• In het referentiestelsel van de aarde beweegt het muon met 0,999 c en legt een afstand van 10 km af.
• Het leven van een muon is een proces dat in het ruststelsel van het muon plaatsvindt, met een eigentijd te = 2,2 μs.
• Wij op aarde meten een tijdsduur die een factor 𝛾 = 22,4 groter is. 
• De levensduur van het muon rekt voor ons uit tot  22,4 . 2,2 μs = 49 μs.
• In die tijd kan het muon wel 10 km afleggen.
  

Vanuit het muon gezien: lengtekrimp

• In het referentiestelsel van het muon beweegt de aarde + atmosfeer met een snelheid van 0,999 c naar hem toe. Bedenk: beweging is relatief! Het muon beweegt dus t.o.v. de "lengte" van de atmosfeer.
• De eigenlengte van de atmosfeer is Le = 10 km 
• Voor de muon is die lengte een factor 𝛾 = 22,4 korter!                                                                                       De lengte krimpt tot L_b = 10.000/22,4 = 440 m
• Het muon ziet een gekrompen atmosfeer met lengte Lb = 440 m, die hem met 0,999 c voorbij raast.  Het aardoppervlak kan hem ruimschoots bereiken binnen zijn gemiddelde levensduur van 2,2 μs

Opg 1

1a

• Het vliegtuig is in stilstand gemeten 15 m. Dus de eigenlengte Le = 15 m.
• Voor de waarnemer op aarde beweegt het vliegtuig met snelheid 0,50 c en dus neemt deze waarnemer de gekrompen lengte Lb waar.
• Bereken: 𝛾 = 1 / √ (1 - 0,502) = 1,154
• Bereken Lb = Le / 𝛾 = 15 / 1,154 = 12,99 = 13 m

Opg 1

1b

• Er geldt nog steeds dat Le = 15 m. 
• Lb = 7,5 m
• Lb = Le/𝛾     -->   𝛾 = 2,0
• 𝛾 = 1 / √ (1 -  (v/c)2) = 2,0
• Hoe bereken je hieruit v op een handige manier?

1b. Bereken v uit 𝛾 

• Houdt berekeningen overzichtelijk met de hulpvariabele ꞵ = v / c:
• 𝛾 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  ->
• 2,0 = 1 / √ (1 - ꞵ2)  kwadrateren -> 
• 4,0 = 1 / (1 - ꞵ2)  'switch': delen door 4,0 en vermenigvuldigen met 1-ꞵ2 ->
• 1 - ꞵ2 = 1 / 4,0   herschrijven ->
• ꞵ2 = 1 - 1 / 4,0 = 0,75
• ꞵ = 0,886
• v = 0,886 c  (Omzetten naar m/s hoeft niet, je mag c laten staan)

Opg 2

2a

• Gebruik hulpvariabele ꞵ= v/c
• 𝛾 = √ (1 - ꞵ²) = √ (1 - 0,60²) = 1,25
• De eigentijd van de boodschap is 45 s (ruststelsel van Buzz). 
• Δt_b = 𝛾 Δt_e
• _{Δtb = 1,25} . _{45 = 56,25 s}
• Afgerond 56 s

Opg 2

2b

• De toon van een stem hangt samen met de frequentie van het stemgeluid van Buzz.
• f = 1/T
• Op aarde is T groter:
• T_b = 𝛾 T_e --> T_b > T_e
• f_b < f_e
• _{De frequentie wordt dus lager} 

Opg 2

2c

• f_e = 1/T_e = 70 min^-1 
• T_e = 1/70 = 0,01429 min
• T_b = 𝛾 T_e
• T_b = 1,25 . 0,01429 = 0,01786 min
• f_b = 1/T_b = 55,99 min^-1
• Afgerond 56 slagen per minuut

Wat is de eigenlengte van de trein? 

1. 200 m
2. 150 m

Opg 4 

• De eigenlengte van de trein is L_e = 200 m
• In het referentiestelsel van de tunnel is de lengte van de trein gelijk aan L_b = L_e/𝛾 = 150 m
• Bereken 𝛾 = L_e/L_b = 200/150 = 1,33 
• 𝛾 = √ (1 - ꞵ²) = 1,33
• Bereken ꞵ = 0,6612 = v/c
• v = 0,66 c

We hebben berekend dat 𝛾 = 1,33. Wat is de lengte van de tunnel voor een passagier in de trein? 

1. 200 m
2. 113 m

D.2 Ruimtetijd-diagram

D2. Ruimtetijd-diagram

• Ruimte en tijd vormen samen de ruimtetijd
• Een ruimtetijd-diagram lijkt op een x,t-diagram, maar de x en t zijn "omgedraaid".
• In een ruimtetijd-diagram kan d.m.v. wereldlijnen worden weergegeven hoe waarnemers met verschillende referentiestelsels zich bewegen door de ruimtetijd.
• Fig D.11 is het ruimtetijd-diagram in het referentiestelsel van de boom.
• Gebeurtenis S is "hond passeert voordeur".

Het huis bevindt zich in het ruststelsel van boom

1. waar
2. onwaar

Het huis bevindt zich in het ruststelsel van de hond

1. waar
2. onwaar

In het referentiestelsel van de hond, beweegt de boom

1. niet
2. naar links
3. naar rechts

Referentiestelsel van de hond

Huiswerk voor volgende les

• Bestudeer D.2
• Maak opgaven 6, 7, 8