WI 2V - H5 - LHE

1 / 83

Slide 1: Slide

WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 2

This lesson contains 83 slides, with text slides.

Lesson duration is: 60 min

Items in this lesson

WI 2V - H5 - LHE

Slide 1 - Slide

H5 - Kwadraten en wortels

Slide 2 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Je kunt getallen (en letters) kwadrateren.

Je kunt het getal 5 'kwadrateren' of het 'kwadraat berekenen'. Wat bedoelen wij hiermee?

Slide 3 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Kwadrateren = iets vermenigvuldigen met zichzelf.

Dus 5 × 5 = 25.

25 is het kwadraat van 5.

Slide 4 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Wij noteren dit zo:

5² (tot de macht 2)

Slide 5 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Negatieve getallen

De meeste fouten worden gemaakt met negatieve getallen.

Let op:

Wat is -5²?

Slide 6 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Negatieve getallen

1. Haakjes

2. Machtsverheffen

3. Vermenigvuldigen / Delen

4. Optellen / Aftrekken

Dus -5² = -25

En wat is dan (-5)²

Slide 7 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Negatieve getallen

-5² = -25

(-5)² = (-5) * (-5) = 25

Slide 8 - Slide

H5 - Voorkennis: Kwadraten

Negatieve getallen

Laatste voorbeeld:

(-8 - 2 · 5)²

Slide 9 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.1

Maak de voorkennis van H5

Je mag gelijk door met 5.1

Hw voor morgen: VK + 5.1 tot en met opgave 4

Slide 10 - Slide

§5.1 - De formule y = ax² + b

Een formule kan de vorm

y = ax² + b hebben.

De grafiek van deze formule,

is een parabool.

Een parabool kan een dal-

parabool of bergparabool zijn.

Slide 11 - Slide

§5.1 - De formule y = ax² + b

Dit is een dalparabool.

Een dalparabool heeft een laagste punt.

Slide 12 - Slide

§5.1 - De formule y = ax² + b

Een formule vormt een dalparabool

als a > o. (y = ax² + b)

Dus bijvoorbeeld bij deze formules:

y = 3 x^{​ 2 ​ ​} + 5

y = \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} x^{​ 2 ​ ​}

Slide 13 - Slide

§5.1 - De formule y = ax² + b

Dit is een bergparabool.

Een dalparabool heeft een hoogste punt.

Slide 14 - Slide

§5.1 - De formule y = ax² + b

Een formule vormt een bergparabool

als a < o. (y = ax² + b)

Dus bijvoorbeeld bij deze formules:

y = - 2 x^{​ 2 ​ ​}

y = - \frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} x^{​ 2 ​ ​} - 2

Slide 15 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.1

Maken:

5.1A (huiswerk = tot en met opgave 4).

Doorwerken mag altijd en is slim.

Eind volgende les moet 5.1

af zijn. Volgende les komt

er geen nieuwe uitleg bij.

Slide 16 - Slide

§5.2 - Wortels en wortelformules

Slide 17 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

Hoe lang zijn de zijden van het vierkant?

o p p e r v l a k t e = 16 c m^{​ 2 ​ ​}

Slide 18 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

En nu?

o p p e r v l a k t e = 729 c m^{​ 2 ​ ​}

Slide 19 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

En nu?

Om dit te berekenen kunnen

wij "worteltrekken".

Wij moeten de "wortel van 729"

berekenen:

o p p e r v l a k t e = 729 c m^{​ 2 ​ ​}

\sqrt ​ 729 ​ ​ ​

Slide 20 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

want

o p p e r v l a k t e = 729 c m^{​ 2 ​ ​}

\sqrt ​ 729 ​ ​ ​ = 27

27 \cdot 27 = 729

Slide 21 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

'Mooie wortels':

etc....

\sqrt ​ 4 ​ ​ ​

\sqrt ​ 9 ​ ​ ​

\sqrt ​ 36 ​ ​ ​

\sqrt ​ 16 ​ ​ ​

\sqrt ​ 25 ​ ​ ​

Slide 22 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

De wortel van een getal is altijd positief

Maar -3 dan?

\sqrt ​ 9 ​ ​ ​ = 3

Slide 23 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

Wortel van een negatief getal?

\sqrt ​ - 4 ​ ​ ​ =

Slide 24 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

Wortel van een negatief getal?

bestaat niet

\sqrt ​ - 4 ​ ​ ​ =

Slide 25 - Slide

§5.2A - Worteltrekken

Wortel van een negatief getal?

bestaat niet

-2 × -2 = 4

2 × 2 = 4

Let op dat wel een uitkomst heeft.

\sqrt ​ - 4 ​ ​ ​ =

- \sqrt ​ 4 ​ ​ ​

Slide 26 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.2

Maken:

5.2A

Slide 27 - Slide

§5.2B - Wortels op de rekenmachine

De vierkante tegels van de vloer van

deze badkamer hebben een oppervlakte

van 1000 cm²per stuk.

Hoe lang is de breedte/lengte van een
tegel in centimeter?

Slide 28 - Slide

§5.2B - Wortels op de rekenmachine

zijde × zijde = 1000

zijde =

\sqrt ​ 1000 ​ ​ ​

Slide 29 - Slide

§5.2B - Wortels op de rekenmachine

is geen mooie wortel.

Door de wortel in te voeren in je reken-

machine, kun je de uitkomst vinden.

Hierbij moet je afronden.

Lees hiervoor goed wat in de vraag staat.

\sqrt ​ 1000 ​ ​ ​

Slide 30 - Slide

§5.2B - Wortels op de rekenmachine

is exact (niet afgerond)

(twee decimalen)

(drie decimalen)

\sqrt ​ 1000 ​ ​ ​

\sqrt ​ 1000 ​ ​ ​ \approx 31, 62

\sqrt ​ 1000 ​ ​ ​ \approx 31, 623

Slide 31 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.2

Maken:

5.2B

Slide 32 - Slide

§5.2C - Formules met wortels

Is een formule waarin een wortel voorkomt.

De grafiek van een wortelformule heeft deze vorm:

y = \sqrt ​ x ​ ​ ​

Slide 33 - Slide

§5.2C - Formules met wortels

Stel wij vullen voor x = -1 in.

Dan krijg je

y = \sqrt ​ x ​ ​ ​

y = \sqrt ​ - 1 ​ ​ ​

Slide 34 - Slide

§5.2C - Formules met wortels

De laagste waarde van x die

mogelijk is, is x = 0.

Bij het tekenen van een wortelgrafiek

houd je hier rekening mee.

Slide 35 - Slide

§5.2C - Formules met wortels

Voorbeeld: wij hebben de wortelformule

Bereken y voor x = 12. Denk aan de rekenvolgorde:

1. Haakjes

2. Machten + worteltrekken

3. Vermenigvuldigen en delen

4. Optellen en aftrekken

y = 1 - 3 \sqrt ​ x + 4 ​ ​ ​

Slide 36 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.2

Maken:

5.2C

Slide 37 - Slide

§5.3A - Het kwadraat van een wortel

4^{​ 2 ​ ​} = 16

\sqrt ​ 16 ​ ​ ​ = 4

Slide 38 - Slide

§5.3A - Het kwadraat van een wortel

Kwadrateren en worteltrekken is dus het tegenovergestelde.

Net als + en -

Of × en ÷

4^{​ 2 ​ ​} = 16

\sqrt ​ 16 ​ ​ ​ = 4

Slide 39 - Slide

§5.3A - Het kwadraat van een wortel

Wat is dan ?

(\sqrt ​ 4 ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​}

Slide 40 - Slide

§5.3A - Het kwadraat van een wortel

Wat is dan ?

(\sqrt ​ 4 ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​}

\sqrt ​ 4 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 4 ​ ​ ​ = 4

Slide 41 - Slide

§5.3A - Het kwadraat van een wortel

(geldt alleen voor a ≥ 0, waarom??)

(\sqrt ​ a ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​} = a

Slide 42 - Slide

§5.3A - Het kwadraat van een wortel

nog twee voorbeelden:

- 3 (\sqrt ​ 6 ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​}

(8 \sqrt ​ 7 ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​}

Slide 43 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.3

Maken:

5.3A

5.3B (t/m 47 of 49 is huiswerk)

Slide 44 - Slide

§5.3B - Wortels vermenigvuldigen en optellen

Wij gaan proberen om wortels te vermenigvuldigen.

Wat is

\sqrt ​ 4 ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ =

Slide 45 - Slide

§5.3B - Wortels vermenigvuldigen en optellen

Dus voor vermenigvuldigen van wortels:

\sqrt ​ a ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ b ​ ​ ​ = \sqrt ​ a b ​ ​ ​

Slide 46 - Slide

§5.3B - Wortels vermenigvuldigen en optellen

Wortels optellen:

\sqrt ​ 4 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ =

Slide 47 - Slide

§5.3B - Wortels vermenigvuldigen en optellen

\sqrt ​ 4 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ = \sqrt ​ 13 ​ ​ ​

Slide 48 - Slide

§5.3B - Wortels vermenigvuldigen en optellen

Je kunt deze wortels niet optellen omdat zij niet gelijksoortig zijn.

\sqrt ​ 4 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 9 ​ ​ ​ = k a n n i e t

Slide 49 - Slide

§5.3B - Wortels vermenigvuldigen en optellen

Je kunt deze wortels wel herleiden:

3 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ + 8 \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

5 \sqrt ​ 4 ​ ​ ​ - 3 \sqrt ​ 9 ​ ​ ​

Slide 50 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.3

Maken:

5.3A

5.3B (t/m 47 of 49 is huiswerk)

Slide 51 - Slide

§5.3C - Factor voor het wortelteken brengen

Voor het herleiden van wortels, is het soms nodig om een "factor voor het wortelteken" te brengen.

Wat bedoelen we hiermee?

Ik gebruik hiervoor het voorbeeld:

\sqrt ​ 12 ​ ​ ​

Slide 52 - Slide

§5.3C - Factor voor het wortelteken brengen

Niet elke wortel kun je zo herleiden.....

\sqrt ​ 14 ​ ​ ​

Slide 53 - Slide

§5.3C - Factor voor het wortelteken brengen

Om dit te kunnen, moet je je kwadraten goed kennen!!!

\sqrt ​ 27 ​ ​ ​

\sqrt ​ 125 ​ ​ ​

\sqrt ​ 108 ​ ​ ​

\sqrt ​ 80 ​ ​ ​

Slide 54 - Slide

§5.3C - Factor voor het wortelteken brengen

Nu wij dit kunnen, kun je wortels verder herleiden:

\sqrt ​ 12 ​ ​ ​ + \sqrt ​ 27 ​ ​ ​

Slide 55 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.3

Maken:

5.3B afmaken

5.3C

Slide 56 - Slide

§5.3D - Wortels delen

Voor het delen van wortels gaan wij

proberen een regel op te stellen.

Wij doen dit met het voorbeeld:

Wat is de uitkomst?

\frac{​ \sqrt ​ 3 6 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 4 ​ ​ ​ ​}

Slide 57 - Slide

§5.3D - Wortels delen

Voor het delen van wortels geldt:

bijvoorbeeld:

\frac{​ \sqrt ​ a ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ b ​ ​ ​ ​} = \sqrt ​ \frac{​ a ​ ​}{​ b ​} ​ ​ ​

\frac{​ \sqrt ​ 2 7 ​ ​ ​ ​ ​}{​ \sqrt ​ 3 ​ ​ ​ ​}

\frac{​ 4 \sqrt ​ 2 0 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

Slide 58 - Slide

§5.3D - Wortels herleiden

Dit wetende, kunnen wij nu ook wortels van breuken herleiden:

Wat is: ?

\sqrt ​ 2 \frac{​ 1 ​ ​}{​ 4 ​} ​ ​ ​

Slide 59 - Slide

§5.3D - Wortels herleiden

Breuken waarin naast wortels, ook 'gewone getallen' staan:

\frac{​ 4 \sqrt ​ 1 5 ​ ​ ​ ​ ​}{​ 2 \sqrt ​ 5 ​ ​ ​ ​}

Slide 60 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.3

Maken:

5.3D

Slide 61 - Slide

§5.4A - Wortels en machten

De "wortel van een macht" moet je kunnen herleiden.

Een voorbeeld hiervan is:

Dit is de wortel van a⁶

\sqrt ​ a^{​ 6 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 62 - Slide

§5.4A - Wortels en machten

Hoe kun je herleiden?

Denk terug aan

\sqrt ​ a^{​ 6 ​ ​} ​ ​ ​

\sqrt ​ 9 ​ ​ ​ = . . .

\sqrt ​ a^{​ 6 ​ ​} ​ ​ ​ = . . .

Slide 63 - Slide

§5.4A - Wortels en machten

is lastiger omdat 11 een oneven getal is.

Om dit te herleiden, maak je gebruik van de vermenigvuldiging regel voor wortels.

\sqrt ​ a^{​ 11 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 64 - Slide

§5.4A - Wortels en machten

Hoe herleid je ?

Hier staan drie factoren, schrijf deze eerst los van elkaar onder de wortel.

\sqrt ​ 4 a^{​ 2 ​ ​} b^{​ 4 ​ ​} ​ ​ ​

Slide 65 - Slide

§5.4A - Wortels en machten

Machten van wortels nemen:

Wat is ?

(\sqrt ​ b ​ ​ ​)^{​ 3 ​ ​}

Slide 66 - Slide

§5.4A - Wortels en machten

Hieruit volgt de regel:

We gebruiken deze regel voor het herleiden van

(\sqrt ​ a ​ ​ ​)^{​ n ​ ​} = \sqrt ​ a^{​ n ​ ​} ​ ​ ​

(a \sqrt ​ b ​ ​ ​)^{​ 3 ​ ​}

Slide 67 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.3

Maken:

5.3D

5.4A tot 69 middenroute
tot 70 uitdagende route

Slide 68 - Slide

§5.4B

etc....

32 = 2^{​ . . . ​ ​}

Slide 69 - Slide

§5.4B

Wij hebben in theorie 5.4A gezien dat

Laten wij deze regel eens naast de machtregel leggen:

\sqrt ​ x ​ ​ ​ \cdot \sqrt ​ x ​ ​ ​ = x

x^{​ p ​ ​} \cdot x^{​ q ​ ​} = x^{​ p + q ​ ​}

Slide 70 - Slide

§5.4B

dus

(\sqrt ​ x ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​} = x

(a^{​ p ​ ​})^{​ q ​ ​} = a^{​ p q ​ ​}

(\sqrt ​ x ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​} = x^{​ 1 ​ ​}

(x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​})^{​ 2 ​ ​} = x^{​ 1 ​ ​}

\sqrt ​ x ​ ​ ​ = x^{​ \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​} ​ ​}

(\sqrt ​ x ​ ​ ​)^{​ 2 ​ ​} = x^{​ 1 ​ ​}

Slide 71 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.4

Maken:

5.4A

5.4B

Slide 72 - Slide

§5.5 - Soorten getallen

Slide 73 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

In paragraaf 5.5 maken wij een begin in de getallenleer van de wiskunde.

Tot nu toe hebben jullie in de wiskunde alleen gewerkt met reële getallen.

Slide 74 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Reële getallen zijn alle getallen die wij in een getallenlijn kunnen plaatsen

Slide 75 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Ieder getal die je een plek

op de getallenlijn kunt geven,

hoort bij de reële getallen.

Bijvoorbeeld:

3

- \frac{​ 1 ​ ​}{​ 2 ​}

0

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

π

Slide 76 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Reële getallen kunnen wij opsplitsen in twee verschillende soorten:

rationale getallen

irrationale getallen

Slide 77 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Rationale getallen zijn alle getallen die je kunt schrijven als een breuk van twee gehele getallen.

Voorbeelden van rationale getallen:

1

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​}

\frac{​ 1 5 ​ ​}{​ 7 ​}

- 4

0

Slide 78 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Rationale getallen kunnen een onbeperkt aantal decimalen hebben. Maar deze decimalen hebben een terugkerend patroon (repeterende breuk).

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 3 ​} = 0, 33333333 . . . .

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 7 ​} = 0, 14285714285711428571 . . . .

Slide 79 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Streepnotatie:

_____

\frac{​ 1 ​ ​}{​ 7 ​} = 0, 142857

\frac{​ 3 ​ ​}{​ 4 4 ​} = 0, 068181818181 . . . . = 0, 0681

Slide 80 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Irrationale getallen zijn reële getallen die niet als breuk geschreven kunnen worden. In de decimalen van deze getallen, zit geen terugkerend patroon.

voorbeelden:

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​

π

- \sqrt ​ 3 ​ ​ ​

Slide 81 - Slide

§5.5A - Rationale en irrationale getallen

Irrationale getallen zijn reële getallen die niet als breuk geschreven kunnen worden. In de decimalen van deze getallen, zit geen terugkerend patroon.

\sqrt ​ 2 ​ ​ ​ = 1, 4142135623730950488016887242096 . . . .

π = 3, 1415926535897932384626433832795028841971 . . .

Slide 82 - Slide

Zelfwerkzaamheid - 5.5

Maken:

5.5A

5.5B

De opgaven met een reken-

machine symbool mag je

overslaan.

Slide 83 - Slide