H6: Differentiaalrekenen

Differentiaalrekenen
1 / 46
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolvwoLeerjaar 4

This lesson contains 46 slides, with text slides.

time-iconLesson duration is: 60 min

Items in this lesson

Differentiaalrekenen

Slide 1 - Slide

Wat ga je allemaal leren dit hoofdstuk?
1. Hoe je extreme waarden berekent. 
2. Wat de betekenis is van de tweede afgeleide.
3. Wat buigpunten zijn en hoe je ze kunt vinden.
4. Afgeleide berekenen van machtsfuncties met gebroken en negatieve exponenten.
5. Kettingregel, productregel en quotiëntregel.
6. Rekenen aan grafieken die elkaar raken of elkaar loodrecht snijden.

Slide 2 - Slide

Hoe zat het ook alweer: leidt af
f(x)=4x37x2+5x+8

Slide 3 - Slide

Weet je deze ook nog: leidt af?
h(x)=x2+1x21

Slide 4 - Slide

Toepassing
Bedenk je dat de afgeleide hoort bij een hellinggrafiek. 

Hoe groot denk je dat de helling is in een top of een dal?

Slide 5 - Slide

Extreme waarde geeft f'(x) = 0
Bereken de extreme waarde(n) van 



Geef bij elke extreme waarde aan of het gaat om een top of een dal.
f(x)=4x39x2120x+150

Slide 6 - Slide

Uitwerking






                          (min) en                                         (max)
f(x)=4x39x2120x+150
f(x)=12x218x120
12x218x120=0
x21,5x10=0
(x4)(x+2,5)=0
x=4x=2,5
f(4)=218
f(2,5)=331,25

Slide 7 - Slide

Nu:

Toon aan dat


een extreme waarde heeft voor x = 2,5

f(x)=x46x3+12x210x+7

Slide 8 - Slide

Zelf aan de slag
Basisroute: 2, 3, 8, 9

Middenroute: 3, 4, 8, 9

Uitdagende route: 4, 5, 8, 9 

Slide 9 - Slide

Buigpunten en buigraaklijnen

Slide 10 - Slide

Buigpunten
Een punt waarop een grafiek van toenemend stijgend of dalend verandert in afnemend stijgend of dalend (of andersom) noemen we een 'buigpunt'. 


Slide 11 - Slide

Eerst even denken
Schets de grafiek 

Deze grafiek heeft een buigpunt bij x = 0. 

Schets ook de hellinggrafiek van f(x). Wat gebeurt er bij het buigpunt? 

En hoe kun je dan uitrekenen waar de buigpunten zitten?
f(x)=x3

Slide 12 - Slide

De buigraaklijn
Gegeven is de formule 

Stel de formule op van de buigraaklijn
f(x)=2x36x2+2x9

Slide 13 - Slide

Buigraaklijn opstellen
Stap 1: bereken f'(x) en f''(x)
Stap 2: stel f''(x) = 0 en bereken het buigpunt
Stap 3: vul de gevonden x-waarde in bij f(x) en f'(x)
Stap 4: vul de gevonden waarden voor x, y en a in bij y = ax + b
Stap 5: bereken b
Stap 6: geef de formule van de buigraaklijn

Slide 14 - Slide

Zelf aan de slag
Basisroute: 12, 13, 15

Middenroute: 13, 15, 16

Uitdagende route: 13, 14, 15, 16

Slide 15 - Slide

De afgeleide

Slide 16 - Slide

Kun je deze vergelijkingen afleiden?
f(x)=x36
h(x)=3x2x3+1
k(x)=x23x+4

Slide 17 - Slide

Zelf aan de slag
Basisroute: 21, 24, 31, 32, 35

Middenroute: 22, 25, 32, 33, 36

Uitdagende route: 23, 26, 33, 34, 37

Slide 18 - Slide

De kettingregel

Slide 19 - Slide

Je kent als het goed is:

Slide 20 - Slide

Kettingregel
Algemeen                                                       


dan


k(x)=f(g(x))
k(x)=f(g(x))g(x)

Slide 21 - Slide

Kettingregel voorbeelden
f(x)=(x34x)5
g(x)=(4x2)

Slide 22 - Slide

Zelf aan de slag
Basisroute: 42, 44, 45, 48

Middenroute: 43, 45, 46, 48

Uitdagende route: 44, 46, 48, 49

Slide 23 - Slide

De kettingregel combineren

Slide 24 - Slide

Je kent nu
1. Quotiëntregel
2. Productregel
3. Kettingregel

Slide 25 - Slide

Maar wat doe je hiermee?
f(x)=(4x2)(3x2+4)

Slide 26 - Slide

Of hiermee?
f(x)=(3x2+2)(x2)

Slide 27 - Slide

Zelf aan de slag
Basisroute: 55, 57, 59

Middenroute: 55, 58, 59

Uitdagende route: 55, 59, 60

Slide 28 - Slide

Werken met parameters

Slide 29 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je omgaat met differentieerproblemen bij functies met een parameter.

Slide 30 - Slide

Bijvoorbeeld
Gegeven is                                                               en 

Voor welke p raakt de grafiek van de grafiek van k in het punt A met                    ?
fp(x)=41x2+px+2
k=2,5x4
xa=3

Slide 31 - Slide

Zelf aan de slag

Alle routes maken 64, 65, 66, 67

Slide 32 - Slide

Kromme door toppen

Slide 33 - Slide

Wat ga je vandaag leren

Hoe je de formule opstelt van een grafiek waar alle toppen van een familie van functies op liggen

Slide 34 - Slide

Kromme door toppen
Gegeven is de formule 



Kies verschillende waarden voor p en teken de grafieken in je GR

Kun je de top van de grafiek uitdrukken in p?
f(x)=41x2+px+3

Slide 35 - Slide

Kromme door toppen
Voor                                                            geldt dat de top wordt bereikt bij p = 0,5x

Hoe kun je vanuit dit gegeven een formule opstellen van de grafiek die door alle toppen gaat? 
f(x)=41x2+px+3

Slide 36 - Slide

Kromme door toppen
Stap 1: stel een formule op van de afgeleide functie (met p erin).

Stap 2: los f'(x) = 0 op voor p

Stap 3: vul p in bij f(x) en herleid de formule

Slide 37 - Slide

Zelf aan de slag

Alle routes maken 71, 72, 73

Slide 38 - Slide

Rakende en loodrecht snijdende grafieken

Slide 39 - Slide

Wat ga je vandaag leren
Hoe je kunt aantonen dat 2 grafieken een raakpunt hebben.

Hoe je kunt aantonen dat 2 grafieken elkaar loodrecht snijden.

Slide 40 - Slide

Raken
Wat weet je nog van de raaklijn aan een grafiek?

Wat zou dat betekenen voor grafieken die elkaar raken?

Slide 41 - Slide

Bewijs dat de volgende grafieken een raakpunt hebben
en
f(x)=31x3x2+5
g(x)=x2+9x13

Slide 42 - Slide

Loodrecht snijdende grafieken
Teken de lijn y = 3x + 4 (netjes, met geodriehoek en zo).

Teken nu een lijn die daar loodrecht op staat. Wat is de helling van deze lijn?

Wat verteld dat je over lijnen die elkaar loodrecht snijden?

Slide 43 - Slide

Loodrecht snijdende lijnen
De lijnen l en k snijden elkaar loodrecht als in het snijpunt geldt dat:


rclrck=1

Slide 44 - Slide

En dan nu de praktijk
en 

snijden elkaar loodrecht. Bereken exact de waarde van p én de coördinaten van het snijpunt.
f(x)=2x
g(x)=xp

Slide 45 - Slide

Zelf aan de slag
Basisroute: 76, 77, 81, 82

Middenroute: 77, 78, 81, 82

Uitdagende route: 77, 78, 82, 83

Slide 46 - Slide