Hoe herken je exponentiële verbanden in examenopdrachten?

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 5

Hoe herken je exponentiële verbanden in examenopdrachten?

Planning

• Exponentiële groei
• Groeipercentages en groeifactoren
• Groeipercentages omrekenen naar andere tijdseenheden
• Verdubbelingstijd en halveringstijd 
• Logaritmische schaalverdeling 

Lesdoel: herkennen van exponentiële verbanden in examenopdrachten en de juiste aanpak kiezen. 

Exponentiële groei

Bij een exponentiële groei wordt de hoeveelheid telkens met hetzelfde getal vermenigvuldigd.

• Algemene formule N=

b=beginhoeveelheid 
g=groeifactor per tijdseenheid 

b⋅g​t​​

Vaardigheid isoleren:

• Wat is een exponentiële groei? 
  
• Wanneer is er sprake van een exponentiële groei? 
  

Exponentiële formules opstellen

Gegeven is de exponentiële groei met N(4)=1040 en N(10)=2510 met t in dagen. 

Stel een formule op. 

Exponentiële formules opstellen

Gegeven is de exponentiële groei 

met N(4)=1040 en N(10)=2510, 

met t in dagen. 

                    

      

N=b⋅g​t​​

g=​oud​​nieuw​​

Punt (4 , 1040) invullen:

F1=1040

F2=x . 1,1581...4

Optie snijpunt geeft x=578

Dus: N=578 . 1,158t

g(6dagen)=​1040​​2510​​

g(1dag)=(​1040​​2510​​)​​6​​1​​​​=1,1581...

N=b⋅1,1581...​t​​

1040=b⋅1,1581...​4​​

Als in de vraag blijkt exponentieel en twee punten gegeven, dan exponentiële formule opstellen. 

Groeifactor en groeipercentages 

Van percentage naar groeifactor: 

Toename van 32% --> 100% + 32% = 132% 

                                          132% : 100% =1,32

                                          g=1,32

Afname van 22% -->  100% - 22% = 88% 

                                         88% : 100% =0,88

                                         g=0,88

 

Formule van percentage naar groeifactor:

g=1+​100​​p​​

Groeipercentages en groeifactoren onderdeel van een exponentieel verband. 

Groeifactor en groeipercentages 

Van percentage naar groeifactor: 

Toename van 32% --> 100% + 32% = 132% 

                                          132% : 100% =1,32

                                          g=1,32

Afname van 22% -->  100% - 22% = 88% 

                                         88% : 100% =0,88

                                         g=0,88

 

Formule van percentage naar groeifactor:

Van groeifactor naar percentage:

Groeifactor van 0,8 --> 0,8 x 100% = 80%

                                          100% - 80% = 20%

                                          Afname is 20%

Groeifactor van 1,67 --> 1,67 x 100% = 167%

                                           167% - 100% = 67%

                                           Toename is 67%

g=1+​100​​p​​

Formule van groeifactor naar percentage:

p=(1−g)⋅100

Groeifactor omrekenen naar andere tijdseenheden

Voorbeeld: 

     per uur is 

      per 5 uur is 

      per half uur is 

g​t​​

g

g​​t​​1​​​​

Grotere tijd

Kleinere tijd

g

g

3​5​​

3

g

3​​2​​1​​​​

Een hoeveelheid neemt per acht uur met 10,9% af. 

1. Hoeveel procent is de afname per 50 uur? 

g8uur=0,891

50:8=6,25 

g50uur=0,8916,25=0,4861... 

100% - (0,4861...   100%)      51,4% 

Afname per 50 uur is dus 51,4%

⋅

≈

Verdubbelingstijd 

De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijdsduur die nodig is voor verdubbeling van een hoeveelheid.

Verdubbelingstijd berekenen bij een exponentiële groei:

gt=2 oplossen met je GR

Gegeven is de formule N=6·1,25t

Hierin is t de tijd in jaren.

Bereken de verdubbelingstijd in maanden.

Halveringstijd 

De halveringstijd bij exponentiële groei is de tijdsduur waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt.

Halveringstijd berekenen bij een exponentiële groei:

gt=0,5 oplossen met je GR

Gegeven is de formule N=6·0,8t

Hierin is t de tijd in jaren.

Bereken de halveringstijd in maanden.

Verdubbelingstijd 

gt=2 oplossen met je GR

Gegeven is de formule N=6·1,25t

Hierin is t de tijd in jaren.

Bereken de verdubbelingstijd in maanden.

Halveringstijd 

gt=0,5 oplossen met je GR

Gegeven is de formule N=6·0,8t

Hierin is t de tijd in jaren.

Bereken de halveringstijd in maanden.

Verdubbelingstijd 

gt=2 oplossen met je GR

Gegeven is de formule N=6·1,25t

Hierin is t de tijd in jaren.

Bereken de verdubbelingstijd in maanden.

F1=1,25x

F2=2

Optie snijpunt geeft x=3,10628372

12 x 3,10628372 = 37,275.. 

Dus ongeveer 37 maanden. 

Halveringstijd 

gt=0,5 oplossen met je GR

Gegeven is de formule N=6·0,8t

Hierin is t de tijd in jaren.

Bereken de halveringstijd in maanden.

F1=0,8x

F2=0,5

Optie snijpunt geeft x=3,10628372

12 x 3,10628372 = 37,275.. 

Dus ongeveer 37 maanden. 

Logaritmische schaalverdeling 

Van een gewone schaalverdeling naar je logaritmische schaalverdeling door elk getal n te vervangen door 10n:

Het voordeel van een logaritmische schaalverdeling is dat je waarnemingen kunt uitzetten die sterk in grootte verschillen.

Logaritmische schaalverdeling 

Bepaal N bij t=2, t=4 en t=6

Logaritmische schaalverdeling 

Bepaal N bij t=2, t=4 en t=6

• t=2 --> N=50
  
• t=4 --> N=400
• t=6 --> N=3000

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

Vaardigheden ontwikkelen. 

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

Vaardigheden ontwikkelen. 

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

Vaardigheden ontwikkelen. 

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

Vaardigheden ontwikkelen. 

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

Vaardigheden ontwikkelen. 

Geef hieronder de moeilijkheden bij het herkennen van exponentiële verbanden.
Geen moeilijkheden? Geef dan aan waarom het goed gaat.

Vaardigheden evalueren. 

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

De uiteindelijke prestatie. 

Exponentiële verbanden in examenopgaven herkennen en een geschikte strategie voor bedenken.

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

De uiteindelijke prestatie. 

Exponentiële verbanden in examenopgaven herkennen en een geschikte strategie voor bedenken.

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

De uiteindelijke prestatie. 

Exponentiële verbanden in examenopgaven herkennen en een geschikte strategie voor bedenken.

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

De uiteindelijke prestatie. 

Exponentiële verbanden in examenopgaven herkennen en een geschikte strategie voor bedenken.

Wel of geen exponentieel verband?

1. Wel een exponentieel verband
2. Geen exponentieel verband

De uiteindelijke prestatie. 

Exponentiële verbanden in examenopgaven herkennen en een geschikte strategie voor bedenken.

Wat heb je aan de les gehad?
- Wat vond je moeilijk en waarom?
- Wat heb je geleerd?
- Vond je het een goede voorbereidingsles voor het examen? Zo ja, waarom?