H7.3 & 7.4 Afstand Punt of lijn tot cirkel

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

H7.1 & H7.2:    Je weet inmiddels...

• Hoe je de vergelijking van een loodrechte lijn opstelt.
• Hoe je de afstand tussen twee punten berekent. 
• Hoe je de afstand tussen een punt en een lijn berekent.
• Hoe je een kwadraat afsplitst met een cirkelvergeijking
• Hoe je straal je de straal uitrekent.

H7.3 Leer de afstand van een punt middelpunt van een cirkel?H7.4 Leer de afstand een van een raaklijn aan een cirkel?

Kwadraat afsplitsen bij tweetermen

Wat zijn merkwaardige producten?

(a - b) (a - b) =  a² - b²                 (Verschil van twee kwadraten)

parabool: verschil van twee kwadraten

                        (a + b)² = a² + 2ab + b²       

voorbeeld:     (x + 2)² = x² + 2•x•2 + 2²   = x² + 4x + 4

Kwadraat afsplitsen bij drietermen    

Wat zijn merkwaardige producten?

(x - a) (y + b)  = (x-a)² + (y- b)²    (Verschil van drie kwadraten)

cirkel: verschil van drie kwadraten

(x - a)² + (y - b)²  = x² - 2xa + a²  +  y² - 2by + b² = 0   

voorbeeld:            

(x - 8)² + (y - 4)²  = x² - 2•x•8 + 8²  + y² - 2•y•4 + 4²  = 0     

                                 x² - 16x + 64     + y² - 8y + 16       = 0

                                 x² - 16x + y² - 8y + 70 =0

 

1.  een cirkelvergelijking:

    

    kwadraat afsplitsen van: 

2. Bereken van r straal:  

3. Bereken Middelpunt van c:  4. Bereken rc of d(M) naar            punt A(x,y) of lijn k: y =ax +b

x² - ax + y² - by - c = 0

(x-a)² + (y-b)² = 0 

x² + 2ab*x + y² + 2ab*y = 0     

(x-a)² + (y-b)² = r² 

 

(x-1)² + (y-2)² = 3²  ⇒  (1,2)   

          

           of met Pythagoras of TOA

Stappen: Straal uitreken met een cirkelvergelijking

​Δx​​Δy​​

cirkelvergelijking uitrekenen met M =(1,2) en r = 3 cirkelvergelijking: x² - ax + y² - by - c = 0

(x-a)²  + (y-b)²  = r²

      (x-1)²                     +        (y-2)²                  = 3²

x² - (2*a*x) x + 1²       +    y² - (2*a*y) y + 2² = 9

     x² - (2*1*1) x + 1²    +    y² - (2*1*2) y + 2² = 9

     x² -   2x                  +    y² - 4y  = 4

     x² - 2x + y² - 4y -4 = 0

           

cirkelvergelijking uitrekenen met M =(1,2) en cirkel raakt x-as    cirkelvergelijking: x² - ax + y² - by - c = 0

(x-a)²  + (y-b)²  = 2²   

      (x-1)²                     +        (y-2)²                  = 2²

x² - (2*a*x) x + 1²       +    y² - (2*a*y) y + 2² = 4

     x² - (2*1*1) x + 1²    +    y² - (2*1*2) y + 2² = 4

     x² -   2x                  +    y² - 4y  = -1

     x² - 2x + y² - 4y +1 = 0

           

Maak de volgende som: kwadraat afsplitsen bij drietermen    

De formule y = x² + 10x     + 25  naar vorm y = (x + ...)² schrijven.

                y = x² +(2*a)+ 5²                                 y = (x - 5)²  

               x² en 25 zijn beide kwadraten!

De formule y = (x + 5)² kun je in vorm y = x² + 2a + a²  schrijven

                       y = x² + (2*5) + 25    of (x+5) * (x+5)   

                     

Cirkels en afstanden

• De afstand tussen twee meetkundige figuren is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk tussen deze twee figuren.
• Je hebt geleerd hoe je de afstand van een punt tot een cirkel berekent. 

Cirkels en afstanden

• Afstand van punt tot cirkel c met                                             middelpunt M en straal r

 

• Voor punt A binnen c geldt:   d(A,c) =  r - d(M,A)

• Voor punt B buiten c geldt:    d(B,c) = d(M,B) - r.

Cirkels en afstanden

• Afstand van punt tot cirkel c met                                             middelpunt M en straal r

 

• Voor punt A binnen c geldt:   d(A,c) =  r - d(M,A)

• Voor punt B buiten c geldt:    d(B,c) = d(M,B) - r.

Ligt punt A buiten binnen of op de gegeven cirkel?

Cirkelvergelijking zo schrijven dat je M en r af kunt lezen

bereken d(A,M)

vergelijk d(A,M) met de straal

         * d(A,M) < straal : A ligt binnen de cirkel

         * d(A,M) = straal: A ligt op de cirkel

         * d(B,M) > straal: B ligt buiten de cirkel

Gegeven: de cirkel c met vergelijking:


Ligt punt A(6,2) buiten, binnen of op de cirkel?

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

1. buiten
2. binnen
3. op

Afstand M naar A (6,2)?

Afstand A  naar c?                Afstand c naar A?   

Wat  moet je weten: 

1. coördinaten M (?,?)  A (6,2)      2. straal: d(M, de cirkel)            3.  d(M,A)       

    kwadraat afsplitsen:  

    straal =                                                               →                                                                                             →

dus cirkel met M (1,-3) en  de straal = 6

d(M,A) met M(1,-3) en A(6,2)

                                                                                    = 7

7,07>6 (straal), dus punt A ligt buiten de cirkel

Afstand A naar c? 7-  6= 1               Afstand c naar M?  6 (straal)

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

(x−1)​2​​−1+(y+3)​2​​−9=26

(x−1)​2​​+(y+3)​2​​=36

√​(2−−3)​2​​+(6−1)​2​​​​​≈√​50​​​≈7,07

x​2​​−2x+y​2​​+6y=26

x​2​​+y​2​​−2x+6y=26

√​36​​​=6

√​(Δx)​2​​+(Δy)​2​​=​​​d(M,A)

7.4 Raaklijn aan een cirkel

Een raaklijn aan een cirkel staat altijd 

loodrecht op de straal naar de raaklijn.

d (M (a, b) tot het raakpunt A) = straal van cirkel.

Drie situaties

1. coördinaten M + formule van lijn k is bekend 
    Vraag:  M is middelpunt van c. Formule van c is?2. cirkelformule  + punt A op c is bekend

     Vraag: Stel lijnformule op

 3. cirkelformule +  rc van de lijn bekend is.

      Vraag: Stel de lijnformule op.

1.coördinaten M( x_m, y_m)+ formule van lijn k is bekend

   Vraag:  M middelpunt van c is formule van c is

Stappenplan:

vergelijking : x_{m en xm →}

straal r staat loodrecht op de lijn k  .  Dus r = d( M,A)

Vraag 1: - coördinaten van A?

                 - Bereken je lijn l (vanuit M) ⊥ lijn k : ax + by=c  wordt bx - ay = d

                 - A = snijpunt van k en l. 

                 - Lijn l door M: l⊥k, dus rc_{k *} rc_l= -1 of r=d(M,k) =d(M,A) 

  

√​(Δx)​2​​+(Δ)​2​​=​​​d(M,A)

c:(x−x​m​​)​2​​+(y−y​m​​)​2​​=r​2​​

1. som: coördinaten M ( 3,-4)  en k = x+2y=5

 

Stappenplan:   

1. vergelijking : x_{m en} y_{m →}

2. straal r staat loodrecht op de lijn k .  Dus r = d( M,A)

    Vraag 1: coördinaten van A?

                   a. Bereken je lijn l (vanuit M) ⊥ lijn k:   x+2y=5 wordt 2x-y=c met M ( 3,-4)

                   b. M ( 3,-4) invullen 2x-y=c   →    (2*3)-(1*-4) =10   →      l: 2x-y=10                                                                       c. A = snijpunt S van k en l.    _{x+2y=5     →   y=0 dus x=5  → A (5,0)}

                                                                              ^2x-y=10   

    Vraag 2: Lijn l door M: l⊥k, dus rc_{k *} rc_l= -1 of

  

c:(x−3)​2​​+(y−4)​2​​=r​2​​

√​(5−3)​2​​+(0−−4)​2​​=​​​d(M,A)=√​(4+16)=√​20​​​​​​

√​(Δx)​2​​+(Δ)​2​​=​​​d(M,A)

Cirkels en raaklijnen

• Is gegeven dat de lijn k de cirkel c: (x + 2)² + (y + 1)² = 17 raakt in het punt A(2,0), 
• dan gebruik je de lijn l door het middelpunt (-2, -1) van c en A(2,0).
• Er geldt rc_l = (0--1)/(2--2) = ¹/₄ , dus rc_k = -4
• k: y = -4x + b door A(2,0) geeft -4 * 2 + b = 0, dus b = 8.
• Een vergelijking van k is k: y = -4x +8.

Voorbeeld

Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(3,-2) die de lijn k: x + 3y = 7 raakt.

Raaklijnprobleem 1

Stel vgl op van c met M(x_m, y_m) die lijn k raakt

• Gebruik M om de cirkelvgl op te stellen:

• stel vgl op van lijn m door M en loodrecht op k
• bereken snijpunt m en k (S)
• r =d(M,k) = d(M,S)
  

(x−x​m​​)​2​​+(y−y​m​​)​2​​=r​2​​

Raaklijnprobleem 2

Stel vgl op van raaklijn l: y=ax+b aan cirkel c in punt B

• Bereken rc van de lijn k door M en B

      rck=

•  lijn l staat loodrecht op k, dus geldt

       bereken hiermee rc_l=a

• Bereken b door B in te vullen.
  

​(x​B​​−x​M​​)​​(y​B​​−y​M​​)​​

rc​l​​⋅rc​k​​=−1

Raaklijnprobleem 3

Stel een vergelijking op van raaklijn k: y=ax+b aan c, waarbij a gegeven is.

- Bereken het snijpunt van k en c door middel van substitutie

- je krijgt dan een vergelijking in de vorm 

waarvan je discriminant D kunt berekenen

- Als k aan c raakt, is er 1 oplossing voor de vergelijking, dus moet gelden D=0 -> hieruit volgt b

ax​2​​+bx+c=0

D=b​2​​−4⋅a⋅c

Cirkels en afstanden

• Afstand punt A tot cirkel c met M en r

        * A binnen c: d(A,c)=r-d(M,A)

        * A buiten  c:d(A,c)=d(M,A)-r

•  Afstand tussen 2 cirkels c1 met middelpunt M en c2 met  

        middelpunt N

        * d(c1,c2) = d(M,N)-r1-r2

De cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
Toon algebraïsch aan dat geldt dat hoek OAM een hoek van 90 graden is.

c1→x​2​​+y​2​​=16

c2→x​2​​−10x+y​2​​+16=0

Uitwerking

• De straal r1 van c1 is 4

       Dus M(5,0) en straal r2 van c2 = 3

• In OAM geldt
• Omdat de stelling van Pythagoras geldt, is hoek OAM een           hoek van 90 graden
  

x​2​​−10x+y​2​​+16=0

(x−5)​2​​−25+y​2​​+16=0

(x−5)​2​​+y​2​​=9

OA​2​​+AM​2​​=OM​2​​want4​2​​+3​2​​=5​2​​

Lijn l met vergelijking
l:

raakt c2 (zie vorige vraag) in punt P.
Bereken exact de coordinaten van P

cirkel c met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1).
Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB.
P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Gegeven: c1 met M(4,2). Op c liggen A(5,-1) en B(7,1). Lijn l gaat door B en staat loodrecht op AB. P is het snijpunt van l met de x-as. Bereken de afstand van punt P tot de cirkel

Uitwerking

st