Financiële Rekenkunde week 6 les 1

• Financiële Rekenkunde
• HBO
• Studiejaar 1

Opgaven H6

Opgaven 8, 12 en 14

Deze les

7.1 Berekening van de rentabiliteitswaarde

7.2 Rentabiliteitswaarde van renten

7.1 Berekening van de rentabiliteitswaarde

De rentabiliteitswaarde is de waarde die een belegger op een bepaald moment aan een lening of vordering toekent op basis van het rendement dat hij op dat moment wenst. Twee rentes spelen hierbij een rol: 

1. De nominale rente: het rentepercentage dat in de leningsvoorwaarden is vastgelegd en dat gebruikt wordt voor het berekenen van de hoogte van de rentebetalingen (contractrente). 
2. De marktrente: het rentepercentage dat geldt op het moment van bepalen van de rentabiliteitswaarde en wordt gebruikt om zowel de aflossingen als de rentebetalingen contant te maken. 

7.1 Berekening van de rentabiliteitswaarde

Bij het uitwerken van de voorbeelden en opgaven met betrekking tot de rentabiliteitswaarde wordt gebruik gemaakt van de volgende symbolen: 

p = nominaal interestpercentage (de contractrente)

p' = marktrente, het effectief interestpercentage

i = p/100

r = p'/100

Ca = contante waarde aflossingen op basis van de marktrente

Ci = contante waarde nominale interestbetalingen, contant gemaakt tegen de marktrente

RW = rentabiliteitswaarde

K = kapitaal

7.1 Berekening van de rentabiliteitswaarde

Voorbeeld 7.1: Vista bv heeft een aantal jaren geleden een 5%-lening van 40.000 euro afgesloten. De resterende looptijd is 5 jaar waarna het bedrag in één keer moet worden afgelost. Inmiddels is de marktrente gestegen tot 6%. De aandeelhouders van Vista realiseren zich dat zij nog een relatief goedkope lening hebben en vragen de financiële afdeling de rentabiliteitswaarde van de lening te berekenen. 

De rentabiliteitswaarde bestaat uit de contante waarde van de aflossingen en de contante waarde van de interestbetalingen op basis van de marktrente. 

Je wil de percentages met elkaar vergelijken. Wat je nu steeds betaalt, is die 5% rente van 40.000. Dat betaal je 5 keer. Dat is 5% van 40.000 = 2.000 per jaar. 

n = 5

i = 6 (want je wil die 5% met die 6% vergelijken) 

pv = ? --> 38.315,05

pmt = -2.000

fv = -40.000

pmt: END (je betaalt het aan het einde)

De rentabiliteitswaarde is dus lager dan de nominale waarde van 40.000 euro. Er is dan sprake van disagio. 

7.1 Berekening van de rentabiliteitswaarde

n = 5

i = 6

pv = ? 38.315,04

pmt = -2.000 (5% van 40.000)

fv = -40.000

pmt: END

De rentabiliteitswaarde (38.315,06) is dus lager dan de nominale waarde van 40.000 euro. Er is dan sprake van disagio. 

Wat betekent disagio? 

• Disagio geeft aan dat de lening voor de bank minder waard is, omdat het rendement lager ligt dan dat zij nu zou kunnen ontvangen. Voor Vista is het daarentegen voordelig. 

7.1 Berekening van de rentabiliteitswaarde

Voorbeeld 7.2: Een belegger heeft tien 8%-obligaties van elk 1.000 euro in zijn bezit. Aflossing vindt plaats over 10 jaar. Bereken de rentabiliteitswaarde als de huidige marktrente 5% bedraagt. 

Er is hier sprake van agio, omdat de marktrente lager is dan de nominale rente. 

In het algemeen geldt: 

• als p < p', dan is RW < K en is er een disagio
• als p > p', dan is RW > K en is er een agio
• als p = p', dan is RW = K

n = 10

i = 5

pv = ? --> -12.316,52

pmt = 800 (8% van 10.000)

fv = 10.000

pmt = END

7.2 Rentabiliteitswaarde van renten

Ook als er afbetaald wordt in termijnen bestaat er een rentabiliteitswaarde. Deze kan bepaald worden met de volgende formule: 

We hebben hierbij verschillende renten: 

1. Renten met gelijke bedragen
2. Uitgestelde renten
3. Eeuwigdurende renten

7.2 Rentabiliteitswaarde van renten

Renten met gelijke bedragen

Voorbeeld 7.3: Freriks bv heeft op 1 januari 2020 een 4%-lening afgesloten van 10.000 euro. Aflossing vindt plaats in 10 jaarlijkse termijnen van 1.000 euro. De eerste termijn vervalt op 31 december 2020. 

Bereken op basis van een marktrente van 5% de rentabiliteitswaarde per 1 januari 2020. 

Eerst moet je Ca (de contante waardeaflossingen op basis van de marktrente) uitrekenen. 

n = 10

i = 5 (marktrente)

pv = ? --> -7.721,73

pmt = 1.000 (aflossing)

fv = 0

pmt: END

Je weet nu de contante waarde aflossingen tegen de marktrente. Nu moet je de rentabiliteitswaarde uitrekenen aan de hand van de formule. 

7.721,73 + 4/5 * (10.000 - 7.721,73) = 9.544,35

7.2 Rentabiliteitswaarde van renten

Uitgestelde renten

Voorbeeld 7.5: Een 7%-lening van 25.000 euro wordt in 5 jaarlijkse termijnen van 5.000 euro afgelost. De eerste termijn vervalt op 31 december 2025. Tot het moment van de eerste aflossing wordt er jaarlijks alleen interest betaald. 

Bereken de rentabiliteitswaarde per 1 januari 2021 op basis van 6% effectieve interest. 

n = 5

i = 6 (marktrente)

pv = ? --> -21.061,82

pmt = 5.000 (aflossing)

fv = 0

pmt: END

n = 4

i = 6

pv = ? --> 16682,93

pmt = 0

fv = -21.061,82

END

Je weet nu de contante waarde aflossingen tegen de marktrente. Nu moet je de rentabiliteitswaarde uitrekenen aan de hand van de formule. 

16.682,93 + 7/6 * (25.000 - 16.682,93) = 26.386,18

7.2 Rentabiliteitswaarde van renten

Eeuwigdurende renten

Voorbeeld 7.6: Iemand krijgt een 4% aflossingsvrije obligatie van nominaal 1.000 euro aangeboden. De eerstkomende interestbetaling vindt over 1 jaar plaats. 

Bereken de rentabiliteitswaarde als hij minimaal 5% interest per jaar over zijn geïnvesteerd vermogen wil behalen. 

• Eeuwigdurende renten kennen geen aflossingen. Er wordt alleen periodiek een vergoeding betaald. Omdat Ca dus nihil is, volgt de volgende formule: 
  RW = p/p' * K 

RW = 4/5 * 1.000 = 800

n = 1.000

i = 5

pv = ?

pmt = -40 (4% van 1.000)

fv = 0

pmt : END

Opgaven

Maken opgaven: 1, 2ac, 5 t/m 9