Module 'Hoe wiskundige modellen de toekomst van wolvenpopulaties voorspellen'

Ondertitel

Differentiaal vergelijkingen

Hoe wiskundige modellen de toekomst van wolvenpopulaties voorspellen

1 / 22

Slide 1: Slide

Natuur, Leven en TechnologieWiskunde+1Middelbare schoolvwoLeerjaar 5,6

This lesson contains 22 slides, with interactive quizzes and text slides.

Lesson duration is: 50 min

Introduction

In deze les gaan leerlingen in op het modelleren van wolvenpopulaties aan de hand van differentiaalvergelijken. Er wordt ingegaan op de differentiaalvergelijkingen die horen bij exponentiële groei en bij logistische groei. Ze gaan aan de slag met het oplossen van dergelijke vergelijkingen. Daarnaast gebruiken de leerlingen echte data om een logistisch groeimodel op te stellen van de wolvenpopulatie in Nederland. Deze gebruiken ze om de grootte van de populatie te schatten in 2035.

Instructions

De les is als volgt opgebouwd.

Opstart

- Informatie voor de docent

- Leerdoelen

- Introductie: Wolf in Nederland

Instructie en verwerking

- Exponentieel groeimodel

- Logistisch groeimodel

- Eigen model en voorspelling

Afsluiting

- Nabespreking

Items in this lesson

Ondertitel

Differentiaal vergelijkingen

Hoe wiskundige modellen de toekomst van wolvenpopulaties voorspellen

Slide 1 - Slide

Tekst

In deze module kijken we hoe wiskundig modellen gebruikt worden om de toekomst van wolvenpopulaties te voorspellen. Daarbij gaan we in op het wiskundige concept 'differentiaal vergelijkingen'

Les 1. Wat is creativiteit?

Informatie voor de docent

Vooraf

Lees vooraf de notities bij de dia's door. Verder zijn er geen voorbereidingen nodig.

Benodigdheden

Lesfasen

Bij elk onderdeel uit staan

de lesfasen weergegeven.

Iconen

Zet het vinkje 'toon bij leerling' aan

Toon notities bij elke dia

Navigeren door de les

Vergroot een afbeelding

Klik hier

Hotspot met meer informatie

laptop voor elke leerling

rekenmachine voor elke leerling

Slide 2 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?

In deze module...

... leer je hoe een wolvenpopulatie zich gedraagt en welke factoren van invloed zijn op hun groei en afname.

... maak je gebruik van differentiaalvergelijkingen om populaties te modelleren.

Lesdoelen

Slide 3 - Slide

Tekst

In deze module...

... leer je hoe een wolvenpopulatie zich gedraagt en welke factoren van invloed zijn op hun groei en afname.

... maak je gebruik van differentiaalvergelijkingen om populaties te modelleren.

Les 1. Wat is creativiteit?

Wolf in Nederland

Bron: BIJ12 (2024b), NOS Jeugdjournaal (2024), WUR (z.d.)

Klik op de video om deze te bekijken.

Slide 4 - Slide

Tekst

Na een periode van ongeveer 150 jaar is de wolf weer in Nederland teruggekeerd. In 2018 vestigde de eerste wolf zich op de Noord-Veluwe.

[Bekijk de video]

Naar verwachting zal het aantal wolven in Nederland dus groeien en in de komende jaren.

In deze module bekijken hoe we die groei kunnen modelleren met behulp van een wiskundig model. We gaan in op de vraag hoe je een inschatting van het aantal wolven in de toekomst kunt maken.

Open vraag

Waarom is het belangrijk om de wolvenpopulatie in Nederland goed

in de gaten te houden?

Slide 5 - Open question

Vraag

Maar waarom zou je de eigenlijk willen weten, hoeveel wolven er in Nederland zijn en op welke plekken ze voorkomen?

Antwoord

Mogelijke antwoorden zijn te vinden op de volgende slide.

Les 1. Wat is creativiteit?

Waarom populatievoorspelling?

Natuurbescherming en biodiversiteit

Landbouw

en veeteelt

Wetenschap

en onderzoek

Publieke

voorlichting

Slide 6 - Slide

Tekst

Er zijn verschillende redenen waarom het belangrijk kan zijn om de grootte van de wolvenpopulatie in Nederland te willen weten:

Natuurbescherming en biodiversiteit

De wolf is een beschermde diersoort. Er kunnen beschermingsmaatregelen nodig zijn. Daarnaast zijn het roofdieren die invloed hebben op de populaties van andere dieren.

Landbouw en veeteelt

Wolven doden geregeld vee, zoals schapen. Door het monitoren van de wolvenpopulatie kunnen gerichte maatregelen genomen worden om schade te voorkomen, zoals het plaatsen van hekken.

Wetenschap en onderzoek

Wetenschappers kunnen gezondheid, genetische diversiteit, gedrag, sociale structuren, en migratiepatronen van wolven bestuderen.

Publieke voorlichting

Aanwezigheid van wolven doet iets met mensen. Sommige zijn bang andere nieuwsgierig. Kennis kan helpen mensen een realistisch beeld van wolven te geven.

Les 1. Wat is creativiteit?

Een wiskundige vergelijking die de relatie beschrijft tussen een functie en de afgeleiden daarvan wordt een differentiaalvergelijking genoemd.

Voorbeeld:

met

de functie die de populatiegrootte aangeeft

de tijd

de intrinsieke groeisnelheid van de populatie

Exponentieel groeimodel

\frac{​ d N ( t ) ​ ​}{​ d t ​} = r \cdot N (t)

N (t)

t

r

Wiskundig model

Een wiskundig model is een beschrijving van de werkelijkheid uitgedrukt in wiskundige termen. Vaak zijn modellen vereenvoudigingen van de werkelijkheid en worden enkel de essentiële elementen en relaties meegenomen in het model.

Het doel van zo'n model is bijvoorbeeld optimalisatie of zoals in ons geval voorspellingen doen.

Groeisnelheid

De grootte van r, de groeisnelheid, is afhankelijk van de groei door reproductie en de sterfte. Er geldt: r = g - s, waarbij g de fractie groei door reproductie is en s de fractie sterfte.

Slide 7 - Slide

Tekst

Laten we gaan kijken naar wiskundige vergelijkingen die gebruikt kunnen worden om populaties te modelleren.

We starten met een eenvoudig model en breiden dat model steeds meer uit, zodat het steeds meer recht doet aan de werkelijkheid.

Het model waarmee we starten is een exponentieel groeimodel. Dit type model ken je al wel, wat nieuw is, is dat we gaan werken met differentiaalvergelijkingen.

Een differentiaal vergelijking is een wiskundige vergelijking die de relatie beschrijft tussen een functie en een of meerdere de afgeleiden daarvan.

Voor een populatie zou dat er uit kunnen zien zoals in het voorbeeld.

Aan de linkerkant van de vergelijking zie je de afgeleide van N(t) naar t staan. Aan de rechterkant zie je functie N(t) maal een constante staan.

Er staat zoveel als: de snelheid van de verandering van de populatiegrootte (linkerkant van de vergelijking) neemt toe met een fractie van de huidige populatiegrootte. (rechterkant van de vergelijking).

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 1

Toon aan dat de functie aan de differentiaalvergelijking

voldoet. Waarbij een constante is die de beginpopulatie aangeeft.

Opdracht 2

Bekijk de video over het 'scheiden van variabelen'.

Los vervolgens stapsgewijs de differentiaalvergelijking

en laat zien dat dit gelijk is aan

Exponentieel groeimodel

N (t) = N^{​ 0 ​ ​} \cdot e^{​ r \cdot t ​ ​}

N^{​ 0 ​ ​}

\frac{​ d N ( t ) ​ ​}{​ d t ​} = r \cdot N (t)

N (t) = N^{​ 0 ​ ​} \cdot e^{​ r \cdot t ​ ​}

Klik op de video om deze te bekijken.

\frac{​ d N ( t ) ​ ​}{​ d t ​} = r \cdot N (t)

Slide 8 - Slide

Tekst

Het oplossen van een differentiaalvergelijking betekent dat je een functie vindt die voldoet aan de gegeven differentiaalvergelijking.

Het controleren of een functie voldoet aan een gegeven differentiaalvergelijking is vaak redelijk eenvoudig.

Opdracht 1

Laat zien dat de functie N(t) = N_0 * e^(r * t) voldoet aan de differentiaalvergelijking dN(t)/dt = r * N(t).

Antwoord

Laat leerlingen de afgeleide functie bepalen en vervolgens beide functies substitueren in de differentiaalvergelijking. Laat ze controleren of de vergelijking klopt.

Of laat ze zoals bij opdracht 2 de differentiaalvergelijking oplossen.

Zelf dit functievoorschrift vinden kost meer werk.

[Bekijk de video of laat leerlingen deze zelf bekijken]

Opdracht 2

Gebruik de techniek van 'scheiden van variabelen' om de differentiaalvergelijking op te lossen.

Les 1. Wat is creativiteit?

Oplossing

1. Noteer de differentiaalvergelijking

2. Scheid de variabelen

3. Integreer beide zijden

4. Noteer de integralen

5. Werk het logaritme weg

6. Hernoem

Exponentieel groeimodel

\frac{​ d N ( t ) ​ ​}{​ d t ​} = r \cdot N (t)

\frac{​ 1 ​ ​}{​ N ( t ) ​} \cdot N (t) = r \cdot d t

\int \frac{​ 1 ​ ​}{​ N ( t ) ​} \cdot N (t) = \int r \cdot d t

ln ∣ N (t) ∣ = r \cdot t + C

N (t) = e^{​ r \cdot t + C ​ ​} = e^{​ C ​ ​} \cdot e^{​ r \cdot t ​ ​}

N (t) = N^{​ 0 ​ ​} \cdot e^{​ r \cdot t ​ ​}

e^{​ C ​ ​}

Slide 9 - Slide

Deze slide toont de oplossing, maar kan prima overgeslagen worden of op het bord voorgedaan worden.

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 3

Neem en en bereken de grootte van de wolvenpopulatie na 2, 5 en 10 jaar.

Opdracht 4

Stel dat toch net een andere waarde heeft: .

Hoeveel groter is de populatie dan na 10 jaar?

Exponentieel groeimodel

N (t) = N^{​ 0 ​ ​} \cdot e^{​ r \cdot t ​ ​}

r = 0, 25

N^{​ 0 ​ ​} = 30

r

r = 0, 30

Slide 10 - Slide

Tekst

De gevonden functie kan gebruikt worden om te voorspellen hoe groot de wolvenpopulatie in Nederland is na een t aantal jaar.

Opdracht 3

Neem r = 0,25 en N_0 = 30 en bereken de grootte van de wolvenpopulatie na 2, 5 en 10 jaar.

Antwoorden opdracht 3

N(2) ≈ 49

N(5) ≈ 105

N(10) ≈ 365

Opdracht 4

Stel dat r toch net een andere waarde heeft, bijvoorbeeld r = 0,30. Hoeveel groter is de populatie dan na 10 jaar?

Antwoord opdracht 4

Bij r = 0,30 geldt dat N(10) ≈ 603

603 - 365 = 237

De populatie is dan 237 wolven groter.

Tekst

Als r ook maar een klein beetje veranderd, verschilt de uitkomst van het model naar 10 jaar best wel veel.

Les 1. Wat is creativiteit?

Exponentieel groeimodel:

Vraag

Wat gebeurt er als groei ongeremd exponentieel is?

Exponentieel groeimodel

Thomas Malthus

Bevolkingsgroei

Meer weten over de bevolkingsgroei?

Bekijk de volgende video: https://www.youtube.com/watch?v=1lF6VIMzNhI

N (t) = N^{​ 0 ​ ​} \cdot e^{​ r \cdot t ​ ​}

Slide 11 - Slide

Tekst

De functie N(t) = N_0 * e^(r * t) hoort bij een exponentieel groeimodel.

Vraag

Wat gebeurt er als groei ongeremd exponentieel is?

Antwoord

Dan blijft de populatie maar groeien en groeien.

Je kunt je vast voorstellen dat groei niet altijd zo door kan blijven gaan. De wetenschapper Thomas Malthus schreef over de populatie van mensen. Volgens hem kon de bevolking niet exponentieel blijven groeien, omdat er op een gegeven moment simpelweg te weinig voedsel voor al die mensen is.

Extra informatie

Leerlingen kunnen de hotspots aanklikken voor meer informatie over bevolkingsgroei.

Dan blijft de populatie maar groeien en groeien.

Tekst

Les 1. Wat is creativiteit?

Exponentieel groeimodel

Groeimodellen

Logistisch groeimodel

Slide 12 - Slide

Tekst

Ongeremde exponentiële groei is in de praktijk op de lange termijn in veel gevallen niet realistisch.

Vaak neemt na een bepaalde periode de groei af. Een populatie groeit niet meer zo snel, maar gaat richting een bepaalde grenswaarde.

Een groeimodel waarin groei niet ongeremd is, maar rekening wordt gehouden met bepaalde begrenzingen wordt een 'logistisch groeimodel' genoemd.

Links zie je exponentiële groei, rechts logistische groei. In het begin lijken de grafieken veel op elkaar. Hoe dichter de populatie in een logistisch groeimodel bij de grenswaarde komt, hoe zwakker de groei wordt. Het gaat van toenemend stijgend, naar afnemend stijgend.

Open vraag

Wat zijn factoren die de grenswaarde van een wolvenpopulatie kunnen beïnvloeden?

Slide 13 - Open question

Tekst

Thomas Malthus gaf al aan dat de hoeveelheid voedsel van invloed is op de grootte van de mensenpopulatie.

Vraag

Wat zijn factoren die de grenswaarde van een wolvenpopulatie kunnen beïnvloeden?

Mogelijke antwoorden

hoeveelheid voedsel (prooipopulatie)
de verspreiding van voedsel (verspreiding van prooi over een bepaald gebied)
aanwezigheid van andere predatoren
grootte van het leefgebied (terratorium)
invloed van mensen (denk bijvoorbeeld aan jacht of concurrentie om leefgebied)

Les 1. Wat is creativiteit?

Logistisch groeimodel:

met

de functie die de populatiegrootte aangeeft

de tijd

de intrinsieke groeisnelheid van de populatie

de draagkracht

Logistisch groeimodel

\frac{​ d N ( t ) ​ ​}{​ d t ​} = r \cdot N (t) \cdot (1 - \frac{​ N ( t ) ​ ​}{​ K ​})

N (t)

t

r

K

Logistisch groeimodel

Extra materiaal

Klik hier om te verkennen welke invloed verschillende variabelen op de groott van een wolven hebben.

Slide 14 - Slide

Tekst

Je ziet hier de differentiaalvergelijking weergegeven die bij logistische groei hoort. De differentiaalvergelijking van logistische groei komt grotendeels overeen met de differentiaalvergelijking van exponentiële groei.

Wat verschilt is de term 1 - N(t)/K.

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 5

Leg aan de hand van de term uit dat de groei eerst toenemend stijgend is en daarna afnemend stijgend.

Opdracht 6

Toon aan een oplossing van de differentiaalvergelijking is.

Extra opdracht

Mocht je een extra uitdaging willen: los dan stapsgewijs de differentiaalvergelijking van logistische groei op.

Logistisch groeimodel

\frac{​ d N ( t ) ​ ​}{​ d t ​} = r \cdot N (t) \cdot (1 - \frac{​ N ( t ) ​ ​}{​ K ​})

1 - \frac{​ N ( t ) ​ ​}{​ K ​}

N (t) = \frac{​ K \cdot N ^{​ 0 ​ ​} \cdot e ^{​ r t ​ ​} ​ ​}{​ K + N ^{​ 0 ​ ​} ( e ^{​ r t ​ ​} - 1 ) ​}

Slide 15 - Slide

Tekst

De term 1 - N(t)/K kun je gebruiken om uit te leggen waarom de groei binnen een logistisch model eerst toenemend stijgend is en daarna afnemend stijgend.

Opdracht 5

Leg aan de hand van de term 1 - N(t)/K uit dat de groei eerst toenemend stijgend is en daarna afnemend stijgend.

Antwoord

Wanneer de populatiegrootte N(t) klein is in vergelijking met de draagkracht K, is de term 1 - N(t)/K ongeveer 1, en groeit de populatie bijna exponentieel met een snelheid van r * N(t).

Naarmate de populatie groeit en N dichter bij K komt, wordt

1 - N(t)/K kleiner, wat resulteert in een verminderde groeisnelheid.

Opdracht 6

Laat zien dat N(t) = (K * N_0 * e^(r * t) / (K + N_0(e^(r * t)-1) een oplossing is van de differentiaalvergelijking die hoort bij het logistisch groeimodel.

Antwoord

Dit kun je doen door de functie en de afgeleide van de functie in de differentiaalvergelijking te substitueren en te controleren of de vergelijking klopt.

De differentiaalvergelijking kan natuurlijk ook gewoon opgelost worden.

Extra opdracht

Leerlingen die een uitdaging niet uit de weg willen gaan kunnen de differentiaalvergelijking voor logistische groei oplossen.

Antwoord

Te vinden op de volgende dia.

Les 1. Wat is creativiteit?

Oplossing

Logistisch groeimodel

Slide 16 - Slide

Hier de oplossing van de extra opdracht. Deze dia kan uitgezet worden en overgeslagen worden als geen van de leerlingen de extra opdracht maakt.

Les 1. Wat is creativiteit?

Opdracht 7

Stel aan de hand van echte data van wolvenpopulaties in Nederland een eigen model op en gebruik dit model om een voorspelling van het aantal wolven in 2035 te doen.

Gebruik het logistische groeimodel:

Schat vervolgens aan de hand van de volgende gegevens parameters als , en in.

Gegevens

In 2023 is een aantal van 29 wolven vastgesteld in Nederland en in 2024 is dit aantal toegenomen tot 51. Wetenschappers van Wageningen Environmental Research verwachten dat er in Nederland uiteindelijk plaats is voor 23 tot 56 roedels, waarbij een roedel gemiddeld uit 5 wolven bestaat.

Bronnen: Biersteker et al. (2024), BIJ12 (2023), BIJ23 (2024a)

Eigen model

r

K

N (t) = \frac{​ K \cdot N ^{​ 0 ​ ​} \cdot e ^{​ r t ​ ​} ​ ​}{​ K + N ^{​ 0 ​ ​} ( e ^{​ r t ​ ​} - 1 ) ​}

N^{​ 0 ​ ​}

Slide 17 - Slide

Tekst

Je gaat het logistische model gebruiken om de wolvenpopulatie in Nederland in het jaar 2050 in te schatten.

Je kunt daarbij de gegevens onderaan de dia gebruiken om r, K en N_0 te schatten.

Uitwerking

r bepalen

Op basis van de hoeveelheid wolven in 2023 en 2024 kan de groeifactor bepaald worden. g = 51 / 29 ≈ 1,76

Ofwel: e^r ≈ 1,76 => r ≈ 0,56

K bepalen

K_laag = 23 * 5 = 115

K_hoog = 56 * 5 = 280

N bepalen

N_0 = 51 (met t = 0 in 2024)

Aantal wolven in 2035 voorspellen

N_laag(11) ≈ (115 * 51 * e^(0,56 * 11))/(115+51(e^(0,56 * 11)-1)) ≈ 115

N_hoog(11) ≈ (280 * 51 * e^(0,56 * 11))/(280+51(e^(0,56 * 11)-1)) ≈ 277

Conclusie

Het aantal wolven in Nederland zal naar verwachting in 2050 tussen de 115 en 277 zijn.

Actuele informatie

Actuele informatie over de wolvenpopulatie in Nederland is te vinden via: https://www.bij12.nl/onderwerp/wolf/.

Les 1. Wat is creativiteit?

Beperkingen van deze modellen

Onnauwkeurigheid bij inschatting van parameters.
Onverwachte gebeurtenissen zoals ziektes of natuurrampen worden niet meegenomen.

Complexere modellen

Invloed van de hoeveelheid prooidieren.
Invloed van de seizoenen op de populatie.

Nabespreking

Extra informatie

Extra materiaal Logistisch groeimodel

Logistisch groeimodel in GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/pywsc67s

Bekijk hoe K, N_0 en r de populatiegrootte beïnvloeden.

Extra materiaal interactie prooi- en roofdieren

De wiskundigen Vito Volterra en Alfred Lotka beschreven onafhankelijk van elkaar een model dat de interactie tussen roof- en prooidieren beschrijft.

Lotka-Volterravergelijkingen Wikipedia: https://nl.wikipedia.org/wiki/Lotka-Volterravergelijking

Lotka-Volterravergelijkingen in GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/y746ry8g

Slide 18 - Slide

Tekst

Met behulp van echte data en de differentiaalvergelijkingen van het logistische groeimodel heb je een inschatting gemaakt van de toekomstige wolvenpopulatie in Nederland.

Beperkingen

Er zitten een aantal haken en ogen aan. Zoals je al zag is het inschatten van de draagkracht K lastig. Daarnaast heb je de groeifactor en daarmee r gebaseerd op slechts één jaar. Verder zou het natuurlijk ook zo kunnen zijn, dat de inschatting van het aantal wolven in 2023 en 2024 niet helemaal correct is.

Ook is het lastig om in een model onverwachtse gebeurtenissen, zoals ziektes of natuurrampen op te nemen.

Complexere modellen

Modellen zijn een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Zo ook de modellen die je gebruikt hebt in deze les. Deze modellen kun je beter laten aansluiten bij de werkelijkheid door ze uit te breiden. Bijvoorbeeld door de hoeveelheid prooidieren van invloed te laten zijn op het aantal roofdieren. Of door seizoensgebonden invloeden (zoals wanneer wolven hun paartijd hebben) mee te nemen in het model.

Les 1. Wat is creativiteit?

In deze module...

... heb je geleerd hoe een wolvenpopulatie zich gedraagt en welke factoren van invloed zijn op hun groei en afname.

... heb je gebruik gemaakt van differentiaalvergelijkingen om populaties te modelleren.

Gefeliciteerd!

Slide 19 - Slide

Tekst

Gefeliciteerd je hebt de les 'Hoe wiskundige modellen de toekomst van wolvenpopulaties voorspellen' succesvol afgerond!

In deze module...

... heb je geleerd hoe een wolvenpopulatie zich gedraagt en welke factoren van invloed zijn op hun groei en afname.

... heb je gebruik gemaakt van differentiaalvergelijkingen om populaties te modelleren.

Les 1. Wat is creativiteit?

Auteurs

Leendert Verduijn & Team 4TU.VO

4TU

Meer informatie of opmerkingen

https://www.4tu.nl/vo/

Colofon

Slide 20 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?

Biersteker, L., Planillo, A., Lammertsma, D. R., van der Sluis, T., Knauer, F., Kramer-Schadt, S., van der Grift, E. A., van Eupen, M., & Jansman, H. A. H. (2024). Habitatgeschiktheid voor de wolf in Nederland : een modelanalyse. (Rapport / Wageningen Environmental Research; No. 3350). Wageningen Environmental Research. https://doi.org/10.18174/654770

BIJ12. (2023). Samenvatting afgelopen periode - Voortgangsrapportage wolf 13 april 2023. BIJ12.nl. https://publicaties.bij12.nl/voortgangsrapportage-wolf-13-april-2023/samenvatting-afgelopen-periode

BIJ12. (2024a). Samenvatting - Voortgangsrapportage wolf 13 mei 2024. BIJ12.nl. https://publicaties.bij12.nl/voortgangsrapportage-wolf-13-mei-2024/samenvatting

BIJ12. (2024b). Wolf. BIJ12.nl. https://www.bij12.nl/onderwerp/wolf/

Bronnen

Slide 21 - Slide

This item has no instructions

Les 1. Wat is creativiteit?

MacRae, D. G. (2024). Thomas Malthus - English economist and demographer. Britannica. https://www.britannica.com/money/Thomas-Malthus

NOS Jeugdjournaal. (2024, 19 mei). Onderzoekers: In de toekomst veel meer wolven in Nederland [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=jpCLn9zzQOY

University of Cambridge. (2021, 25 april). After the Event - Malthus Workshop Write Up. University Of Cambridge. https://www.econ.cam.ac.uk/news/new-malthusianism

WUR. (z.d.). Wolven. wur.nl. https://www.wur.nl/nl/onderzoek-resultaten/dossiers/dossier/wolven-1.htm

Bronnen

Slide 22 - Slide

This item has no instructions

Module 'Hoe wiskundige modellen de toekomst van wolvenpopulaties voorspellen'

Introduction

Instructions

Items in this lesson

Slide 1 - Slide

Slide 2 - Slide

Slide 3 - Slide

Slide 4 - Slide

Slide 5 - Open question

Slide 6 - Slide

Slide 7 - Slide

Slide 8 - Slide

Slide 9 - Slide

Slide 10 - Slide

Slide 11 - Slide

Slide 12 - Slide

Slide 13 - Open question

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Slide 21 - Slide

Slide 22 - Slide

More lessons like this

Oefentoets 2 Ecologie

Inleiding op Ethiek

Motivatie & Leervormen

Oefentoets 2 Ecologie

aardrijkskunde

K1U- maandag 27 mei 2024 les 2

Natuurbeheer in NL

Lesen und Großbuchstabe