1. may - в вопросах, когда спрашиваем разрешенияMay I go out? (более вежливо) Можно выйти?
Can I go out?
2. Shall I ...? - предложение что-то сделать для другого человека
I want to drink. - Shall I get you some water?
Shall we ... ? - предложение сделать что-то вместе
Shall we go to the cinema? - Может,в кино сходим?