10.4 Cirkels en raaklijnen

Maak 42 + 47
timer
5:00
1 / 21
next
Slide 1: Slide
WiskundeMiddelbare schoolhavoLeerjaar 5

This lesson contains 21 slides, with text slides.

Items in this lesson

Maak 42 + 47
timer
5:00

Slide 1 - Slide

Cirkels en raaklijnen
d(M, k) = r

Slide 2 - Slide

raaklijnproblemen
  1. Stel een vergelijking op van een lijn k als gegeven zijn                - een cirkel                                                                                                         - een punt op de cirkel waarin k de cirkel raakt.
  2. Stel een vergelijking op van de cirkel c als gegeven zijn             - het middelpunt van c                                                                                - een lijn waaraan c raakt.

Slide 3 - Slide

probleem 1
Werkschema: een vergelijking opstellen van een raaklijn k aan een cirkel c met middelpunt M in een gegeven punt A op c
  1. Bereken de richtingscoëfficiënt rcl van de lijn l door M en A.
  2. Gebruik k ⊥ l, dus rck * rcl = -1, om de richtingscoëfficiënt rck van k te berekenen.
  3. Gebruik rck en de coördinaten van A om een vergelijking van k op te stellen. 

Slide 4 - Slide

raaklijnprobleem 1
  • Gegeven: de lijn k raakt de cirkel c: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 17 in het punt A(2,0). Stel de formule op van k.

Slide 5 - Slide

raaklijnprobleem 2

Stel een vergelijking op van de cirkel c met middelpunt M(3,-2) die de lijn k: x + 3y = 7 raakt.

Slide 6 - Slide

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

  • Voor de ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel zijn er drie mogelijkheden.
  • invullen van een lijn y = ax + b in een cirkelvergelijking geeft een tweedegraadsvergelijking waarvan de discriminant
  • groter is dan 0, dan zijn er twee snijpunten
  • gelijk is aan 0, dan raakt de lijn de cirkel
  • kleiner is dan 0, dan zijn er geen snijpunten. 

Slide 7 - Slide

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

Slide 8 - Slide

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

  • Om te bewijzen dat de lijn k: y = 2x -3 de cirkel                             c: x2 + y2 -4x + 2y = 20 in twee punten snijdt, ga je als volgt te werk.
  • Substitutie van y = 2x -3 in x2 + y2 - 4x + 2y =20 geeft
  • x2 + (2x - 3)2 - 4x + 2(2x - 3) = 20
  • x2 + 4x2 - 12x + 9 - 4x + 4x - 6 = 20 

Slide 9 - Slide

De ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel

  • 5x2 - 12x - 17 = 0 
  • D = (-12)2 - 4*5*-17 = 484
  • D > 0, dus lijn k snijdt cirkel c in twee punten.

Slide 10 - Slide

Voorbeeld

Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 - 2x - 4y = 0.
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt 2 die c raken.
Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.

Slide 11 - Slide

  • Stel de lijnen aan y = 2x + b
  • Substitutie van y = 2x + b in x2 + y2 - 2x - 4y = 0 geeft
  • x2 + (2x + b)2 - 2x - 4(2x + b) = 0
  • x2 + 4x2 + 4bx + b2 - 2x - 8x - 4b = 0
  • 5x2 + (4b - 10)x + b2 - 4b = 0 
  • D = (4b - 10)2 - 4 * 5 * (b2 -4b)

Slide 12 - Slide

  • D = (4b - 10)2 - 4 * 5 * (b2 -4b)
  • D = 16b2 - 80b + 100 - 20b2 + 80b
  • D = -4b2 + 100
  • D = 0 (de lijn raakt de cirkel) geeft
  • -4b2 + 100 = 0
  • -4b2 = -100

Slide 13 - Slide

  • -4b2 = -100
  • b2 = 25
  • b = 5 v b = -5
  • dus de vergelijkingen van de lijnen zijn
  • y = 2x + 5 en
  • y = 2x - 5

Slide 14 - Slide

Slide 15 - Slide

Slide 16 - Slide

Slide 17 - Slide

Slide 18 - Slide

Slide 19 - Slide

Slide 20 - Slide

Huiswerk
vierkant: 43, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53 + nakijken
cirkel: 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53 + nakijken
ster: 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54 + nakijken

Slide 21 - Slide