Integraalrekenen

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Integraalrekening

Waar gaat dit hoofdstuk over?

Hoe je de oppervlakte onder en tussen grafieken kunt berekenen en hoe je dat kunt gebruiken om de inhoud van driedimensionale figuren te berekenen.

Planning tot de projectweek

6 maart: Afgeleides ophalen en primitieve functies / primitiveren

9 maart: Integreren

16 maart: Primitieven en de kettingregel

 17 maart: Oppervlakte tussen grafieken

 20 maart Oppervlakte tussen grafieken deel 2

 23 maart: Inhoud van een omwentelingslichaam

 24 maart: Vlakdeel wentelen om de x-as

 27 maart: Vlakdeel wentelen om de y-as

 30 maart: Integralen numeriek berekenen

 31 maart: Geen les i.v.m. herkansingen?

Wat ga je vandaag leren?

Ophalen rekenregels voor afgeleide

Leren wat de primitieve functie is

Leren hoe je een primitieve functie berekent

Bereken de afgeleide

f(x)=3x​2​​+4x−2

h(x)=sin​2​​(x)+3cos(x)

Primitieven en integratieconstante

F'(x) = f(x)

Bereken de primitieve van:

f(x)=4x​2​​−2x+6

Denk aan de integratieconstante 

De 'moeilijke' primitieven:

Samen: toon aan dat

de regel voor f(x) = 1/x

klopt.

Zelf: toon aan dat 

de regel voor f(x) = ln x

klopt.

Uitwerking

F(x)=xln(x)−x+c

F​′​​(x)=1⋅ln(x)+x⋅​x​​1​​−1

F​′​​(x)=ln(x)+1−1=ln(x)

Nog een paar tips: 

Tip 1: als je een functie kunt vereenvoudigen, doe dat dan vóórdat je de primitieve berekend. 

Tip 2: als je de primitieve gegeven is in de vraag, werk dan altijd vanuit de primitieve naar de afgeleide toe.

Tip 3: als F(x) de primitieve is van f(x), dan is a * F de primitieve van a * f.

Zelf aan de slag

9, 10, 11, 12, 13

Exit-vraag: bereken de primitieve

f(x)=x√​x​​​−2cos(x)

Integralen

Planning tot de projectweek

6 maart: Afgeleides ophalen en primitieve functies / primitiveren

9 maart: Integralen

16 maart: Primitieven en de kettingregel

 17 maart: Oppervlakte tussen grafieken

 20 maart Oppervlakte tussen grafieken deel 2

 23 maart: Inhoud van een omwentelingslichaam

 24 maart: Vlakdeel wentelen om de x-as

 27 maart: Vlakdeel wentelen om de y-as

 30 maart: Integralen numeriek berekenen

 31 maart: Geen les i.v.m. herkansingen?

Wat ga je vandaag leren?

Je weet wat een integraal is en hoe je deze noteert.

Je weet hoe je met behulp van een integraal de oppervlakte onder een grafiek kunt berekenen.

Oppervlakte onder de grafiek

Bekijk de grafiek hiernaast. Het

gebied Vp wordt ingesloten

door de x-as, de y-as, de lijn

x = p en de lijn y = ax + b.

Stel de formule op voor de oppervlakte A van Vp. 

Wat valt je op?

Integralen

In het algemeen geldt: 

Hierbij is f(x) de integrand. 

Berekening: 

O(V)=∫​a​b​​(f(x))dx

Sidenote:

f​′​​(x)=​dx​​dy​​

dy=f​′​​(x)⋅dx

O(V)=∫​a​b​​(f(x))dx=[F(x)]​a​b​​=F(b)−F(a)

Bijvoorbeeld

Het gebied V wordt ingesloten door 

de x-as, de y-as en de parabool 

Bereken de oppervlakte van vlak V. 

y=4−x​2​​

Voorbeeld deel 2

De lijn x = p verdeelt V in precies 2

even grote stukken. Bereken p en 

rond af op 2 decimalen. 

0,69

Zelf aan de slag

17, 18, 19, 20, 21

Exit-vraag:

Spieken mag: wat is je antwoord op vraag 17?