4.2 Hogeremachtswortels

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Huiswerk

• Pak je schrift en kijk of je 2, 3, 4, 5 van H4 hebt gemaakt.
• En 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 19?
• 22, 23, 24, 25?
• Laptop, schrift, GR en pen op tafel, maar laptop blijft dicht!

Hogere machtswortels

• Worteltrekken heeft te maken met kwadrateren.
• Zo zijn van de vergelijking x² = 5 de oplossingen x =  √5 en    x = -√5
• Omdat kwadrateren hetzelfde is als tot de tweede macht verheffen,
• heet √5 ook wel de tweedemachtswortel van 5.

Hogere machtswortels

• Er zijn ook hogere machtswortels zoals derdemachtswortels en vierdemachtswortels.
• Een zevendemachtswortel heeft te maken met 'tot de zevende macht verheffen'.

Hogere machtswortels

• De vergelijking x⁷  = 80 heeft één oplossing                                     die we noteren als x = ⁷√80.
• Dus (⁷√80)⁷ = 80.
• De oplossing van x⁷ = -80 is x = ⁷√-80.
• Dus (⁷√-80)⁷ = -80.

Hogere machtswortels

• Je kunt een benadering van de oplossing van de vergelijking x⁷ = 80 vinden door de grafieken van y₁ = x⁷ en y₂ = 80 te plotten en met de optie snijpunt de coördinaten van het snijpunt te berekenen.
• Je vindt x ≈ 1,87.
• Maar het gebruik van ^x√ of ⁿ√ van de GR is handiger.

Hogere machtswortels

• Casio 7 ^x√ 80 EXE
• Je krijgt ⁷√80 ≈ 1,87.
• Je begrijpt dat x = ⁶√80 een oplossing is van de vergelijking x⁶ = 80.
• In figuur 4.12 zie je dat ook x = -⁶√80 een oplossing is van de vergelijking x⁶ = 80.

Hogere machtswortels

• De oplossingen van x⁶ = 80 zijn dus x = ⁶√80 en                              x = -⁶√80.
• De vergelijking x⁶ = -80 heeft geen oplossingen,
• omdat x⁶ niet negatief kan zijn.

Hogere machtswortels

• De oplossingen van xⁿ = p met n = 2, 3, 4, ...
• n oneven  xⁿ = p geeft x = ⁿ√p
• n even en p > 0      xⁿ = p geeft x = ⁿ√p v x = -ⁿ√p
• n even en p < 0      xⁿ = p heeft geen oplossingen

Voorbeeld

a. Los exact op 5x⁴ + 8 = 43

b. Los de vergelijking ¹/₄ x⁶ - 1 = 5 algebraïsch op. Rond af op twee decimalen.

Hogere machtswortels

• De oplossingen van de vergelijking x³ = 8 is x = ³√8.
• Maar omdat 2³ = 8 kun je hiervoor noteren x = 2.
• En zo heeft de vergelijking x⁴ = 81 als oplossingen x = 3 en      x = -3, omdat 3⁴ = 81 en ook (-3)⁴ = 81.
• Je laat een antwoord als x = ⁴√81 niet staan.

Hogere machtswortels

• Bij het algebraïsch oplossen van de vergelijking                    3(2x + 1)⁶ = 192 ga je net zo te werk als  bij het oplossen van 3x⁶ = 192.
• Je krijgt 3(2x + 1)⁶ = 192
• (2x + 1)⁶ = 64
• 2x + 1 = ⁶√64 v 2x + 1 = - ⁶√64     

Hogere machtswortels

• 2x + 1 = ⁶√64 v 2x + 1 = - ⁶√64   
• 2x + 1 = 2 v 2x + 1 = -2
• 2x = 1   v 2x = -3
• x = ¹/₂ v x = ^-3/₂ = -1¹/₂

Voorbeeld

Los algebraïsch op.

a. ¹/₃ x⁴ - 2 = 25

b. 2(3x - 1)⁴ = 32

Aan het werk...

Je schrijft de berekeningen in je schrift en voert het antwoord in, in je laptop. Zo kun je meteen zien of je het goed doet.

vierkant: 30, 31, 33, 34, 35, 36

cirkel: 31, 32, 33, 34, 35, 36

ster: 32, 33, 34, 35, 36

Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren

• De derdegraadsvergelijking x³ - x² - 2x = 0 is algebraïsch op te lossen door x buiten de haakjes te brengen.
• je krijgt x³ - x² - 2x = 0
• x(x² - x - 2) = 0
• x(x + 1)(x - 2) = 0
• x = 0 v x = -1 v x = 2  

Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren

• Ook de vergelijking x⁴ - x² - 2 = 0 is algebraïsch op te lossen.
• Je gebruikt de substitutie x² = u.
• Je krijgt u² - u - 2 = 0
• (u + 1)(u - 2) = 0
• u = -1 v u = 2

Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren

• x² = -1 v x² = 2   
• geen opl.  x = √2 v x = -√2
• Dus x = √2 v x = -√2.

Voorbeeld

Bereken exact de oplossingen.

a. x³ - 3x² + 2x = 0

b. x⁴ - 3x² + 2 = 0

Huiswerk

Je schrijft de berekeningen in je schrift en voert het antwoord in, in je laptop. Zo kun je meteen zien of je het goed doet.

vierkant: 30, 31, 33, 34, 37, 38, 39, 42

cirkel: 31, 32, 33, 34, 37, 38, 30, 42

ster: 32, 33, 34, 39, 40, 41, 42