QF - Samenvatting

• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5,6

Samenvatting Quantum

Lessonup van een collega: Samenvatting Quantum.

Oefensommen

-Pilotboekje: https://natuurkundeuitgelegd.nl/examens/quantumv16vb.pdf#page=1

-Link naar diverse examens: https://natuurkundeuitgelegd.nl/examenindex.php ('Quantumwereld')

-Link naar extra oefenopgaven: https://natuurkundeuitgelegd.nl/fotonpdf/FotonQuantumAtoomfysicaVWO.pdf

Voorkennis

Voorkennis

Elektriciteit:
Elektrische stroom: I = Q / t
Lading elektron: e = 1,602.. 10^-19 C

Golven:
Golfsnelheid v = λ f. Voor straling geldt de lichtsnelheid dus c = λf

Energie:
Kinetische energie: Ek = ½mv²
Vermogen: P = E/t

Quantum: deeltjesprocessen

• Straling kan zich als deeltje gedragen. Een bundel licht bestaat dan uit losse deeltjes (fotonen).
• Elk foton heeft een specifieke energie, afhankelijk van zijn frequentie: Ef = h f.
• De golfformules gelden ook nog steeds: v = λ f dus c = λf en daarmee Ef = hc/λ.
• Energieën op deze schaal worden vaak in elektronvolt in plaats van J uitgedrukt.
• 1 eV staat gelijk aan de energie die 1 elektron krijgt als hij 1 V spanning doorloopt volgens Eel = q U.
• Eén foton kan eén elektron uit een vaste stof vrijmaken; dit heet het foto-elektrisch effect.
• Elke stof heeft zijn specifieke energie die hiervoor nodig is: de uittree-energie (Eu of Wu).
• Heeft een foton niet genoeg energie, dan zal er geen elektron worden vrijgemaakt.
• Heeft een foton teveel energie dan gaat het overschot naar kinetische energie (snelheid) van het elektron.
• Bij het foto-elektrisch effect geldt dus: Ek <= Ef - Wu  ofwel  hf - Wu >= ½mv²  ofwel  h f >= ½mv² + Wu
• Bij de proef van Planck geldt bovendien: Eel (qU) = Ek dus wordt bovenstaande hf >= e U + Wu

h is de constante van Planck: h = 6,626 069 57 10^-34 Js (of J/Hz)
Je vindt deze in tabel 7 van de BiNaS.

h

1 eV = 1,602 176 565 10^-19 J
Je vindt deze waarde in tabel 5 en 7A van de BiNaS

eV

Je vindt diverse uittree-energiën in tabel 24.
Wu staat voor uittree-arbeid.

Wu

De energie die nodig is om elektronen vrij te maken uit het metaal wordt geleverd door de (individuele) fotonen van de straling. Ef = h f.

Ef

Wanneer vrijgemaakte elektronen de anode bereiken, ontstaat er een 'gesloten' stroomkring. 

I

Wanneer er nog fotonenergie over is bij een vrijgemaakt elektron, gaat deze zitten in de kinetische energie (snelheid) van het elektron: ½mv²

Ek

Een gevoelige stroommeter geeft een indicatie van hoeveel elektronen er van de kathode naar de anode zijn gekomen. I = Q/t. Het aantal elektronen zegt iets over het aantal (succesvolle) fotonen dat elektronen uit de kathode heeft kunnen vrijmaken.

De spanningsbron kan '- +' zorgen dat al de vrijgemaakte elektronen de anode bereiken (maximale stroom) OF '+ -' dat zelfs het 'best' vrijgemaakte elektron het net niet haalt (remspanning, Urem).

+-

Wanner de anode positief genoeg is, bereiken alle (per seconde) vrijgemaakte elektronen de anode en is de maximale foto-stroom bereikt. Het verder verhogen van de spanning verandert hier niets meer aan. Via de stroom I (Q/t) kan het aantal elektronen/s worden berekend, wat weer iets zegt over het aantal fotonen/s dat gebotst heeft.

De (negatieve) spanning waarbij de stroom in de stroomkring net 0 wordt, is de remspanning. Het meest ideaal vrijgemaakte elektron bereikt dan zelfs de anode niet meer. Er geldt dan: Ef - Wu = (-)Eel = q U =  e . Urem.

-

Wanneer er geen spanning wordt aangelegd, kan er toch een stroom zijn. In dit geval hebben de fotonen van de stralingsbron zeker genoeg energie gehad om flink wat elektronen per seconde vrij te maken (waarvan een deel de overkant 'uit zichzelf' haalt).

0

Afhankelijk van het materiaal van de kathode, is er een bepaalde hoeveelheid energie nodig om een elektron vrij te kunnen maken: de uittree-energie.

Wu

De stippellijn zijn geen metingen! Het gaat hier om frequenties die niet genoeg energie hebben om elektronen vrij te maken, dus valt er ook niets af te remmen.

Bij dit snijpunt lees je de 'grensfrequentie' af. De minimale frequentie die een foton moet hebben om een elektron uit het materiaal te krijgen. Deze waarde vinde je terug in tabel 24.

fg

De steilheid van de grafiek stelt de contatnte van planck voor. Uit de formule: Eel = Ef - Wu --> y = ax + b. Ef = ax = hf, dus a = h (want f staat op de x-as).

h

Wanneer een andere materiaal als kathode wordt gebruikt, verschuift de meetlijn. Hierdoor veranderen zowel de Wu als de f_grens. De steilheid van de lijn (constante van Planck) blijft echter gelijk.

1.

Op de x-as staat de frequentie van de gebruikte lichtbron, waarvan de fotonen elektronen uit het metaal vrij kunnen maken.

f

Op de y-as staat de elektrische energie (via de spanning U) die nodig was om de snelheid van het meest ideale elektron net tot nul terug te brengen, en hiermee dus de stroom in de stroomkring te stoppen. Het is hiermee dus ook gelijk de kinetische energie van het elektron.

E

De linkerlijn hoort bij een experiment met een materiaal met een kleinere uittree-energie  en (dus) een lagere grensfrequentie. De rechterlijn  hoort bij een grotere uittree-energie en een hogere grensfrequentie.

2.

Wu

Het snijpunt met de y-as geeft de waarde van de uittree-energie van het materiaal op de kathode. Dit zie je uit de formule Eel = Ef - Wu --> y = ax + b. De Wu vind je terug in tabel 24.

Voorbeeld

In de opstelling hiernaast (bovenste figuur) is de kathode gemaakt van Lithium. Bij diverse instellingen van de variabele spanningsbron is nauwkeurig de stroom door de stroomkring gemeten (onderste figuur).

a) Leg uit dat de stroom op een gegeven moment niet meer toeneemt.

b) Bepaal hoeveel elektronen er maximaal per seconde uit de kathode worden vrijgemaakt.

c) Hoe groot is de remspanning van dit systeem?

d) Hoe groot is de uittree-energie van Lithium?

e) Hoe groot is de foton-energie, frequentie en de golflengte van de gebruikte straling?

Stel dat er een stralingsvermogen van 400 μW op de kathode valt.

f) Hoeveel procent van de opvallende fotonen is in staat om een elektron vrij te maken?

a) De stralingsbron werpt een bepaald (constant) aantal fotonen per seconde op de kathode. Er kan dus maar een maximaal aantal elektronen per seconde worden vrijgemaakt. Als bij voldoende positieve spanning al deze elektronen de anode bereiken, is de maximale stroom in de stroomkring bereikt.

b) De maximale stroom is (aflezen) 90μA = 90 10^-6 A = 90 10^-6 C / s. Dit zijn 90 10^-6 / 1,602.. 10^-19 = 5,6 10^14 (elektronen per seconde).

c) Aflezen op de plek waar de stroom NET 0 wordt: Urem = (-) 0,75 V.
d) Opzoeken in de BiNaS: 2,46 eV

e) Er geldt: Ef - Wu = Erem ofwel Ef = Eel + Wu. Bij de remspanning hoort een Eel van 0,75 eV (want het gaat om elektronen). De fotonenergie is was dus 2,46 + 0,75 = 3,21 eV. Dit is 5,14.. 10^-19 J.
Hieruit volgt f = Ef/h = 7,76 10^14 Hz en λ = c / f = 387 nm. 
f) De energie van één foton is 5,14.. 10^-19 J. Om 400 μW te krijgen, moet er elke seconde 400 μJ op de kathode vallen. Dit zijn 400 10^-6 / 5,14.. 10^-19 = 7,77.. 10^14 fotonen. Er ontstaan 5,6 10^14 elektronen (zie vraag b). Het gevraagde percentage is dus 5,6.. / 7,77  = 0,72 ofwel 72 % 

Licht als deeltje

Impuls: p = m v = m c (voor straling)

Einstein: E = m c² -> E = mc x c = p x c

E = p c   -->   p = E / c

E = hf  -->  p = h f / c
(fotonen, deeltjes)

c = λ f  (golven)

p = h f / c = h f / λ f = h / λ

p = h / λ  (golf)
p = m v  (deeltje) --> vaak Δp = m Δv
Δp en Δv  omdat bij een botsing de (individuele) impuls / snelheid vaak (van richting) verandert.

Oefenopgave Deeltjes

Oefening foto-elektrisch effect

Je beschijnt een plaatje Calcium met straling met een bepaalde golflengte, en meet bij verschillende spanningen tussen de anode en kathode de stroom die in de schakeling ontstaat.

De resultaten van je metingen staan in de grafiek.

1. Zoek de uittree-energie van Calcium op.

2. Bepaal uit de grafiek hoeveel kinetische energie de vrijgekomen elektronen (maximaal) hadden.

3. Bereken de energie die de fotonen van de bron hadden.

4. Bereken de frequentie en golflengte van de stralingsbron.

Neem aan dat elk foton dat de kathode bereikt een elektron vrijmaakt.

5. Bereken hoeveel fotonen er in één minuut op de kathode vielen.

6. Bereken het (licht)vermogen dat op de kathode viel.

Hint bij 5.

Bedenkt dat voor de stroom altijd geldt: I = Q / t. Bij de gemeten stroom zorgt de lading van alle elektronen samen voor de (totale) Q.

Je kunt hier je antwoorden van de oefenvraag inleveren.

Uitwerking oefenopgave foto-elektrisch effect
1. 3,20 eV of 5,12 10^-19J (tabel 26, Ca)

2. Ek,max = Eel = q.Urem

Urem = 2,2 V (aflezen) q = 1,6 10^-19 (want elektronen)

Ek,max = 3,52 10^-19 J of 2,2 eV (niet toevallig 😊)

3. Ef = Wu + Ek dus 2,2 + 3,2 = 5,4 eV (of 8,6 10^-19 J)

4. Ef = hf -> f = Ef / h = 1,3 10^15 Hz

λ = v/f = c/f = 2,99.. 10^8/1,3 10^15 = 2,3 10^-7

λ = 2,3 10^-7 m (= 230 nm)

5. Aantal fotonen = aantal elektronen.

Aantal elektronen zie je aan de verzadigingsstroom.

Imax = 3,0 µA = 3,0 10^-6 A (C/s).

Dit zijn (/1,6 10^-19) 1,875 10^13 elektronen /s, dus (x60)

1,125 10^15 elektronen, dus fotonen, per minuut.

6. P = E / t. De fotonen hebben elk 8,6 10^-19J.

P = 1,125 10^15 x 8,6 10^-19 / 60 = 1,6 10^-5 W = 16 µW

Licht als golf

Quantum: Golfverschijnselen

• Wanneer twee golven samenkomen heet dat interferentie
• Er kan constructieve (versterkende, +) of destructieve (verzwakkende, -) interferentie optreden
• Dit is afhankelijk van het weglengteverschil. (+) 0λ, 1λ, 2λ etc (nλ)  en (-) ½λ, 1½λ, 2½ λ etc ((2n-1) ½λ)
• Wanneer een golf en verstoring tegenkomt met orde-grootte van zijn golflengte -> buiging.
  
• Wanneer buiging bij een kleine opening optreedt, ontstaat daar een nieuwe puntbron.
• Wanneer de bronnen (2 bij dubbelspleet, veel bij tralie) op een afstand van 'd' staan, geldt dat de buiklijnen (plekken waar versterking optreedt) zich bevinden onder een hoek α volgens:
• Deze hoek vind je terug uit de plek waar de versterking op het scherm zit (x),
  en de afstand van de bronnen tot het scherm (L):
• Ook deeltjes vertonen hetzelfde interferentiegedrag, ze hebben dus golfeigenschappen
• Deeltjes hebben dan een 'Broglie' golflengte volgens λ = h / p =  h / mv
• De golffunctie (kwadraat) van een deeltje geeft de kansverdeling aan het deeltje ergens aan te treffen
• Termen:
  -Coherent: in fase, gelijklopend (faseverschil 0 (of 1, 2, 3)
  -Monochromatich: één en dezelfde golflengte / frequentie

sin(α​n​​)=​d​​nλ​​

tan(α​n​​)=​L​​x​n​​​​

Tralie

https://www.youtube.com/watch?v=ntKiTI_I1uU

Interferentie

https://www.natuurkunde.nl/artikelen/565/interferentie-van-licht

Oefenopgaven golfverschijnselen

Klaar? Laat zien (ranglijst) en maak onderstaande opgave.

Klaar? Extra oefeningen. (Uitwerkingen) Opgave 1 t/m 12.

Licht met een frequentie van 6,2 10^14 Hz valt op een dubbelspleet.
Beide spleten zijn 0,8 μm breed. De afstand tussen de spleten is 5,6 μm.

a. Leg met een berekening uit of er buiging zal optreden bij elk van de spleten

b. Leg uit dat er achter de dubbelspleet een interferentiepatroon zal ontstaan met knoop- en buiklijnen.

c. Op een bepaalde plek achter de dubbelspleet is het weglengteverschil tussen het licht uit beide spleten 1,7 μm. Leg uit of je je daar op een buik- of knooplijn bevindt.

d. Hoeveel buik- en knooplijnen zullen er in totaal ontstaan achter de dubbelspleet?

e. Leg uit wat er met dit aantal gebeurt als er licht met een grotere frequentie wordt gebruikt.

(Inleveren + Hints (na inleveren) op volgende sheet)

Lever hier je antwoorden van de vragen
op de vorige pagina in.
Na inleveren kan je uitleg / uitwerkingen vragen.

14.4 Deeltje als golf

Double Split Experiment

https://www.youtube.com/watch?v=Q1YqgPAtzho

p3. Deeltje in een doosje

p4. Waterstofatoom

Opgesloten deeltjes

De waarschijnlijkheidsgolf is opgesloten in een afmeting 'L'.
Voor de verschillende energieniveaus geldt dan : L = n  ½λ --> λ = 2 L/n
Voor de golfengte geldt: λ = h / p = h / mv
Samen levert dit:  2 L / n = h / mv --> mv = h n / 2L
Kwadrateren levert m²v²= h²n² / 4L².

Delen door m geeft m v² = h²n²/4 m L²
Maal ½ geeft voor de (kinetische) energie ½ mv² = h²n²/8 m L² (BINAS)
En = n²h² / 8 m L²

Voor de energietoestanden van een waterstofatoom geldt:
 En = -13,6 / n² (in eV)

Afleiding

De afleiding is geen examenstof. Van losse vergelijkingen kunnen wel op het examen vragen gesteld worden (bijv Et = Eel + Ek en Fel = Fmpz)

Bereken de energie (in J en eV) van de grondtoestand van een elektron opgesloten in een ruimte van 0,12 μm.

Goed onthouden:

Energieniveaus:

Waterstofatoom: En = -13,6 / n²

--> De energieniveaus komen steeds dichter bij elkaar.

"Deeltje in een doosje": En = h² n² / 8 m L²

--> De energieniveaus komen steeds verder uit elkaar.

Beide 'verbanden' zijn kwadratisch, dus t.o.v. de grondenergie

keer (deeltje in doosje) of delen door 1-4-9-25 etc.

Weergave

Weergave

Golf-deeltje-dualiteit + onbepaaldheid

-Zowel straling als (kleine, snelle) deeltjes hebben een golfkarakter
(waarschijnlijkheidskansverdeling) als een deeltjeskarakter (botsen, impuls).
-Het kwadraat van de golffunctie geeft de kansfunctie .

-Quantumverschijnselen (afgebakende energieën) komen voor als de golflengte
dezelfde orde-grootte heeft als de omgeving

-Het is onmogelijk om zowel de impuls / snelheid als de positie van een deeltje
op hetzelfde moment exact te bepalen: Heisenberg: ΔpΔx≥ h/4π  of ΔEΔt≥ h/4π
ΔpΔx = mΔvΔx =>(/Δt *Δt) => m Δv/Δt Δx *Δt = m a Δx Δt = F Δx Δt = ΔW Δt = ΔE Δt

Afleiding Heisenberg

GEEN EXAMENSTOF: alleen voor de die-hards

Extra uitleg

https://wetenschap.infonu.nl/natuurkunde/136968-heisenbergs-onzekerheidsprincipe.html

Let op!

De Δ betekent hier dus 'onzekerheid' of 'onbepaaldheid'.
Het geeft de (on)nauwkeurigheid weer waarmee een bepaalde grootheid bepaald kan worden.

Welke (taal) foutjes heb je in het vorige filmpje gevonden?

14.7 Tunneling

-Bij tunneling komt een deeltje of foton op een plek waar hij 'eigenlijk' niet zou kunnen komen.

-Wanneer de energie barriëre niet oneindig hoog of breed is, is er een tunnelkans.

-De waarschijnlijkheidsverdeling loopt dan (deels) door de barriëre heen.

-Je spreekt altijd over een kans om het deeltje (toch) ergens aan te treffen
-In de energiebarriëre neemt de amplitude van de kansfunctie exponentieel af, maar wordt nooit 0. Hij bestaat dus ook buiten de barriëre.

-Hoe hoger de energie van het deeltje, hoe groter de kans.
-Hoe hoger de massa (dus hoe kleinder de λ) van het deeltje, hoe kleiner de kans.

-Hoe hoger en/of breder de energiebarriëre, hoe kleiner de kans.

-Tunneling vindt plaats bij bijvooreeld de Scanning Tunneling Microscope en alfa-verval.

Afsluiting

Videolessen op Youtube: link is naar de samenvatting, de overige (5) lessen kan je zelf aanklikken. Les 7 is het bespreken van een examenopgave.

Let steeds op de 'comments' daar staan soms wat verbeteringen in.