combinaties en permutaties

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Handig tellen

Als er geen herhaling toegestaan is dan blijven er twee opties over:

Volgorde is WEL van belang

Volgorde is NIET van belang

Combinatoriek / Handig tellen

Welkom!

Pak je grafische rekenmachine,

schrift en boek erbij.

Ik gooi met 2 gewone dobbelstenen. Op hoeveel manieren kan ik 7 gooien?

1. 5
2. 7
3. 6
4. 8

Vier teams spelen een hele competitie.
Dus ze spelen een uit en een thuiswedstrijd. Hoeveel wedstrijden worden er gespeeld?

1. 16
2. 6
3. 10
4. 12

Tellen

- met herhaling

- zonder herhaling

- combinaties (volgorde niet van belang)  nCr op rekenmachine

- permutaties (volgorde wel van belang)  nPr  op rekenmachine

- faculteit  (gebruik uitroepteken dus bv 5!)

Er worden getallen gemaakt van 4 cijfers. Er is keuze uit 0, 1, 2, 3, 4 en 5.
Hoeveel getallen zijn mogelijk indien elk cijfer meerdere keren gebruikt mag worden?

1. aantal = 1296
2. aantal = 6
3. aantal = 360
4. aantal = 720

Er worden getallen gemaakt van 4 cijfers. Er is keuze uit 0, 1, 2, 3, 4 en 5. Hoeveel getallen zijn mogelijk indien elk cijfer één keer gebruikt mag worden en het getal kleiner moet zijn dan 3200?

1. aantal = 144
2. aantal = 72
3. aantal = 204
4. aantal = 720

Jan heeft 2 scheikunde, 6 biologie en
3 wiskundeboeken. Hij geeft 3 biologieboeken te leen aan Piet. Op hoeveel manieren kan dat?

1. aantal = 120
2. aantal = 20
3. aantal = 6
4. aantal = 15

Jan heeft 2 scheikunde, 6 biologie en
3 wiskundeboeken. Op hoeveel manieren kan je deze boeken naast elkaar zetten?

1. aantal = 36
2. aantal = 8640
3. aantal = 39916800
4. aantal = 11

Jan heeft 2 scheikunde, 6 biologie en
3 wiskundeboeken. Op hoeveel manieren kan hij de boeken op een rij zetten als de wiskundeboeken naast elkaar moeten staan?

1. aantal = 8640
2. aantal = 362880
3. aantal = 241920
4. aantal = 2177280

Op hoeveel manieren kan je een groep van 14 personen verdelen in drie groepen van 3, 5 en 6 personen?

1. aantal = 168168
2. aantal = 9417408
3. aantal = 3060
4. aantal = 1260

Bereken het aantal kortste routes van A naar B.

Bereken het aantal kortste routes van A naar B via P.

Hoeveel routes zijn er van punt A naar de lijn?

Bereken het aantal rangschikkingen van
de letters van het woord APPELFLAP.

Geef aan hoe goed je deze stof beheerst.

😒🙁😐🙂😃

Quiz...

Pak je mobiel en volg de instructies....

Permutaties en Combinaties

Als er geen herhaling toegestaan is dan blijven er twee opties over:

Volgorde is WEL van belang: Bedrukken van Polo-shirt

Volgorde is NIET van belang: Fruit  als een Cadeau geven 

Als je 7 kleuren van de regenboog hebt voor een vlag met drie banen.
Hoeveel vlaggen kun je maken?

1. 7​3​​
2. 7⋅6⋅5
3. 3​7​​
4. 3⋅7

8 vrouwen lopen de 100m finale.
Hoeveel uitslagen (Goud, Zilver, Brons) zijn er?

1. 336
2. 210
3. 512
4. 6561

Permutatie

Het rangschikken van 3 dingen uit 7  heet

een Permutatie 

Het berekenen van 7*6*5 kan met de knop nPr

OPTN > PROB > 7P3 = 210

probeer eens

Kies uit 10 nummers jouw favoriete top-3
dat kan op ... manieren

1. 3x2x1 = ...
2. 3​3​​=
3. 10x9x8 = ...
4. 10​3​​=

Kies uit 10 CD's er 3 uit die je cadeau geeft
dat kan op ... manieren

1. ​3​​10⋅9⋅8​​
2. ​3⋅2⋅1​​10​3​​​​
3. ​3⋅2⋅1​​10⋅9⋅8​​
4. ​3​​10​3​​​​

Faculteit

Een vermenigvuldiging vanaf een getal t/m 1  heet Faculteit

vb: 7 faculteit

Het berekenen van 7*6*5*4*3*2*1 kan met de knop x!

OPTN > PROB > 7! = 5040

Maak uit 5 rock-nummers en 3 dance nummers een playlist
dat kan op ... manieren

1. 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
2. 5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅3⋅3⋅3
3. 5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅3⋅2⋅1
4. 8!

Combinaties

Als de volgorde WEL van belang is dan kies je 3 van de 8 CD's die je hebt:

Als de volgorde NIET van belang is:

Een verkorte schrijfwijze is                (8 boven 3)  

8⋅7⋅6

​3⋅2⋅1​​8⋅7⋅6​​

(​3​8​​)

Combinaties

Het berekenen van 

 

kan met de knop nCr 

OPTN > PROB > 8 nCr 3 = 56

(​3​8​​)

Kies uit 18 meisjes en 15 jongens
2 meisjes en 2 jongens die mee gaan naar de bioscoop

1. 40920
2. 982080
3. 258
4. 16065

1. Op hoeveel manieren kan je 7 boeken stapelen, zodat één bepaald boek (bijvoorbeeld boek B) op de derde plaats ligt?

Verwijder het boek B. Maak nu alle mogelijke stapels van 6 boeken. Dit kan op 6! (=720) manieren. Plaats achteraf het boek B op de derde plaats.

2. Op hoeveel verschillende manieren kun je 3 knikkers pakken uit een doos met 15 verschillende knikkers?

3 elementen nemen uit een verzameling van 15 elementen kan op 15 nCr 3 (=455) verschillende manieren

3. In een bedrijf zijn er 20 mannen en 10 vrouwen. Op hoeveel manieren kan men een vergadering samenstellen met 3 mannen en 2 vrouwen.​

Eerst kiezen we de drie Mannen. ​

Dit kan op 20 nCr 3 (=1140) manieren. ​

Dan kiezen we de 2 vrouwen. ​

Dit kan op 10 nCr 2 (=45) manieren. ​

De vergadering kan samengesteld worden op ​

20 nCr 3 ∙ 10 nCr 2 = 1140∙45=51300 manieren​

5. Op hoeveel manieren kan je een groep van 13 personen verdelen in 3 personen en 10 personen? ​

Het is voldoende de drie personen te kiezen om de groep te splitsen. ​

Daar de volgorde van die drie personen geen rol speelt, kan dit op 13 nCr 3 manieren.​ (=286)

7. Hoeveel getallen van 3 cijfers kan je vormen met de cijfers 0,1,2,3,4 ?​

Voor het eerste cijfer zijn er 4 mogelijkheden. Voor het tweede en derde cijfer zijn er 5 mogelijkheden.​

Totaal = 4∙5∙5 ​=100

8. 1011011101 is een voorbeeld van een binair getal met lengte 10.​ Hoeveel binaire getallen met lengte 10 en eindigend op 111 bestaan er zodat er juist 2 nullen in voorkomen. ​(bedenk dat elk binair getal met 1 begint)

Het getal ligt volledig vast als we de plaats van de twee nullen kennen.​ Een binair getal dat aan de gevraagde voorwaarden voldoet start met 1 en eindigt met 111. Er zijn dan nog 6 plaatsen over. Van zodra we twee plaatsen voor de nullen aanwijzen ligt het getal vast.​ Het aantal mogelijkheden om 2 plaatsen te kiezen uit de zes is 6 nCr 2. ​(=15)

9. Er staan 7 boeken in de kast: K, L, M, N, O, P en Q. In de kerstvakantie lees ik één van deze boeken, daarna nog één en daarna nog één (nooit twee keer dezelfde natuurlijk). Bijvoorbeeld: eerst P, dan K, dan M. Hoeveel van zulke mogelijkheden zijn er?​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

 ​

“Eerst P, dan K, dan M” en​

“Eerst M, dan K, dan P”?​

 ​

Ja, dat zijn twee verschillende mogelijkheden. Dus je gebruikt hier permutaties, dus 7 nPr 3=210 ​

10. In een kamer hangen 5 TL-buizen. Twee hiervan branden. Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

Noem de lampen bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4 en 5. Twee branden er, bijvoorbeeld 3 en 5.​

Vraag jezelf af: is er een verschil tussen:​

“TL-buizen 3 en 5 branden” en​

“TL-buizen 5 en 3 branden”?​

 Nee, dat komt op hetzelfde neer. Dus je gebruikt hier combinaties, dus 5 nCr 2 .​(=10)

11. Uit een groep van 8 mensen worden 2 mensen gekozen. Eentje om de zaal te versieren, eentje om de geluidsapparatuur aan te sluiten (bijvoorbeeld Jan voor de versiering, Kees voor de geluidsapparatuur). Hoeveel mogelijkheden zijn er?​

De volgorde is van belang: Jan voor de versiering, Kees voor de geluidsapparatuur is iets anders dan Jan voor de geluidsapparatuur, Kees voor de versiering. Dus 8 nPr 2 = 56.​

12. Een muziekband heeft een repertoire van 10 liedjes. Voor een optreden mogen ze drie liedjes uitkiezen. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die keuze?​

De volgorde is niet van belang: Liedje A, B en C uitkiezen, is hetzelfde als liedje C, A en B uitkiezen. ​

Dus 10 nCr 3=120. Nota bene: als gevraagd wordt naar hoeveel mogelijkheden er voor het optreden zijn, dan kun je nog onderscheid maken tussen “eerst C spelen, dan A, dan B” en “Eerst A, dan B, dan C” of “Eerst B, dan C, dan A” enzovoorts. ​

In dat geval is het dus 10 nPr 3=720.​

13. Hoeveel nummerplaten kunnen er gevormd worden met 3 letters vooraan en 3 cijfers achteraan ?​

We kiezen eerst drie letters, dan 3 cijfers , zoals JMB 007. Dit kan gebeuren op​

26⋅26⋅26⋅10⋅10⋅10 =17576000manieren.​

14. Hoeveel nummerplaten kunnen er gevormd worden met 3 verschillende letters en 3 verschillende cijfers, indien de letters vooraan moeten staan ?​

Er zijn 26 nPr 3 ⋅ 10 nPr 3 = 26⋅ 25⋅ 24⋅10⋅9⋅8 =11232000 mogelijkheden.​ (Iets minder dan in de vorige vraag)