Financiële Rekenkunde week 3 les 1

• Financiële Rekenkunde
• HBO
• Studiejaar 1

Opgaven H3

Opgave 6, 13 en 18 bespreken

Hoofdstuk 4

Samengestelde interest: de contante waarde

Vorige week hebben we het gehad over de eindwaarde. Vandaag gaan we het hebben over de contante waarde. 

Deze les

H4: 

4.1 Berekening van de contante waarde

H5: 

5.1 Indeling renten

5.2 Berekening van de eindwaarde

5.3 Berekening van de contante waarde

4.1 Berekening van de contante waarde

De eindwaarde kan berekend worden met:

De contante waarde kan berekend worden met: 

Vorige les hebben we steeds de eindwaarde berekend. Dat kon met de volgende formule: De eindwaarde kan berekend worden met: EWn= K ⨉ (1 + i)n. 

Deze les gaan we de contante waarde berekenen. 

Stel je hebt 8 = 2 * 4 

Je kunt ook schrijven: 2 = 8/4 

Je kunt dat schrijven als 2 = (8/1) * (1/4) 

Dan kan je die 1 weghalen bij de 8, dus krijg je: 2 = 8 * (1/4)

4.1 Berekening van de contante waarde

De Wert bv krijgt het aanbod deel te nemen in een investeringsproject waarvan de verwachte opbrengst over 3 jaar € 40.000 bedraagt. De Wert hanteert voor dit soort beslissingen een rente/risicopercentage van 6%. De inleg die De Wert moet doen is € 35.000. De directeur vraagt jou om een cijfermatig onderbouwd advies op de vraag of het verstandig is in dit project te investeren.

Welk advies geven jullie? Bereken dus de CW (contante waarde)! 

CW = 40.000/(1,06)^3 = 33.584,77 

Deze 33 duizend is minder dan de investering van 35.000 euro. Het is vanuit financieel oogpunt bezien dus geen goede investering en het advies is dan ook negatief. 

5.1 Indeling renten

Renten kunnen op verschillende manieren worden onderscheiden:

1. Naar vervaldatum

2. Naar looptijd

3. Naar ingangsdatum

4. Naar bedrag 

Het kan zijn dat er dus rente moet worden betaald, bijv. bij het aflossen van een lening. Denk hierbij aan een lening die jullie misschien ook wel opbouwen bij het opbouwen van een studieschuld, of als je een huis hebt gekocht. Maar je kan ook rente binnenkrijgen, bijv. als je je pensioen krijgt of bij opbrengst uit een investering. 

5.1 Indeling renten

1. Naar vervaldatum: hierbij wordt gekeken naar het moment waarop elke termijn vervalt. Er zijn twee mogelijkheden:

- Prenumerando renten: als de opeenvolgende betalingen steeds aan het begin van een periode plaatsvinden.

- Postnumerando renten: als de opeenvolgende betalingen steeds aan het einde van een periode plaatsvinden. 

5.1 Indeling renten

2. Naar looptijd: hierbij wordt gekeken naar het aantal termijnen waaruit de rente bestaat. Er zijn drie mogelijkheden:

- Tijdelijke renten: het aantal termijnen is beperkt. Bijv. een schuld die in tien termijnen is terugbetaald. 

- Renten met onzekere looptijd: het aantal termijnen is beperkt, maar ook onbekend. Iemand krijgt vanaf zijn/haar pensioen geld uitgekeerd, tot zijn/haar overlijden. Het ligt eraan wanneer iemand overlijdt, daarom is het onzeker. 

- Eeuwigdurende renten: renten die altijd blijven doorgaan (paragraaf 5). 

Tijdelijke renten: Bijv. een schuld die in tien termijnen wordt terugbetaald.

Renten met onzekere looptijd: bijv. als iemand tot zijn 67ste jaar jaarlijks een premie aan een verzekeringsmaatschappij betaalt en daarna tot zijn overlijden een bepaald bedrag per maand of jaar. Je weet niet hoe oud iemand wordt, dus daarom is het onbekend.

Renten met onzekere looptijd wordt niet behandeld verder in het boek. 

5.1 Indeling renten

3. Naar ingangsdatum: hierbij wordt gekeken naar het moment waarop de eerste termijn vervalt. Er zijn twee mogelijkheden:

- Dadelijk ingaande renten: de eerste termijn vervalt onmiddellijk, of aan het begin van de eerste periode (prenumerando), of aan het eind van de eerste periode (postnumerando).

- Uitgestelde renten: hier vindt de eerste betaling pas plaats nadat er een aantal perioden is verstreken. 

5.1 Indeling renten

4. Naar bedrag: hierbij wordt gekeken of de periodieke bedragen al dan niet constant zijn. Er zijn twee mogelijkheden:

- Renten met constante termijnen: elke betaling is even hoog. Bijv. als je elke maand hetzelfde bedrag spaart. 

- Renten met wisselende termijnen: de betalingen zijn niet aan elkaar gelijk. Komt verder niet voor in het boek. 

Renten met constante termijnen: bijv. als je elke maand hetzelfde bedrag spaart.

Renten met wisselende termijnen: komt verder niet in het boek voor. 

5.2 Berekening van de eindwaarde

De eindwaarde van een rente bestaat uit de eindwaarden van alle afzonderlijke bedragen per dezelfde einddatum op basis van een bepaald interestpercentage. 

Voorbeeld:

Piet stort 4 jaar lang op 1 januari € 1.500 op een 3% spaarbankrekening. Om wat voor rente gaat het hier? 

Het gaat bij het voorbeeld om een prenumerando rente. Dat komt omdat de betaling steeds aan het begin van een periode (in dit geval aan het begin van het jaar) plaatsvindt. 

5.2 Berekening van de eindwaarde

Voorbeeld:

Piet stort 4 jaar lang op 1 januari € 1.500 op een 3% spaarbankrekening. 

Welk bedrag kan hij op 31 december van het vierde jaar opnemen? 

De berekening is als volgt: 

EW4 = 1.500 * 1,03 * (1,03^4 - 1)/(1,03 - 1) = 6.463,70 

Kan ook op grafische rekenmachine: 

N = 4

I = 3

PMT = 1.500

FV = 0 

P/Y = 1

C/Y = 1

PMT: BEGIN 

Naar FV = 6.463,70

5.2 Berekening van de eindwaarde

Voorbeeld:

Stel Jantje stort 10 jaar lang op 31 december van elk jaar 1.250 euro. 

1. Wat voor soort rente is het? 

2. Bereken de eindwaarde als de bank jaarlijks 5% interest vergoedt. 

1. De rente is een dadelijk ingaande postnumerando rente. 

2. De laatste termijn levert geen rente meer op. 

EW10 = 1.250 * ((1,05 * ((1,05)^9 - 1) /0,05) + 1) = 15.722,37 

Grafische rekenmachine: 

N = 10 (je gebruikt hier 10, omdat het wel 10 termijnen zijn) 

I = 5

PV = 0

PMT = 1.250

FV = 0

P/Y = 1

C/Y = 1

PMT: END (doordat je hier END gebruikt, rekent ie maar 9 termijnen i.p.v. 10) 

5.2 Berekening van de eindwaarde

Voorbeeld 5.5: Yvonne stort op 1 januari 2017 10.000 euro op een bankrekening waarop de bank 4% interest per jaar vergoedt. Vanaf 1 januari 2018 wordt daarvan steeds 500 euro opgenomen. Over welk bedrag kan Yvonne per 31 december 2025 beschikken, nadat de laatste opname op 1 januari 2025 heeft plaatsgevonden? 

Je moet je hier bedenken dat het een soort van twee rekeningen zijn. Je gaat dus eerst steeds de interestbeschrijving over die 10.000 nemen, en vervolgens ga je die 500 jaarlijkse opname eraf halen. 

EW2025 = 10.000 * (1,04)^9 - (500 * (1,04 * 1,04^8 - 1/0,04) = 9.441,72

Grafische rekenmachine doe je 2 keer: 

N = 9

I = 4

PV = 10.000

PMT = 0

FV = 0

P/Y = 1

C/Y = 1

PMT = BEGIN 

Resultaat FV = 14.233,12

N = 8

I = 4

PV = 0

PMT = 500

FV = 0

P/Y = 1

C/Y = 1

PMT: BEGIN 

Resultaat FV = 4791,40

EW2025 = 14.233,12 - 4.791,40 = 9.441,72

5.3 Berekening van de contante waarde

De contante waarde van een rente bestaat uit de contante waarden van alle afzonderlijke bedragen op basis van een bepaald interestpercentage. 

5.3 Berekening van de contante waarde

Voorbeeld 5.6: Een onderneming heeft nog recht op 4 jaarlijkse betalingen van € 900 van een van haar oud-directeuren. De eerstvolgende termijn vervalt over een jaar. De oud-directeur wordt verzocht alle 4 de betalingen in één keer te voldoen. De oud-directeur is hiertoe bereid, maar is niet van plan €3.600 te betalen. Hij realiseert zich dat als hij zich aan de oorspronkelijke afspraak houdt, hij nog een aantal jaren interest kan ontvangen. De controller van de onderneming krijgt de opdracht een contante waarde berekening te maken op basis van 4% interest per jaar. 

Dus: wat is de contante waarde? 

Het gaat hier om een dadelijk ingaande postnumerando rente. 

Je gebruikt weer de formule a * (1 - g^n)/(1 - g) 

Maar je gaat nu terug in de tijd, dus moet je niet 1,04 gebruiken, maar (1/1,04). 

CW = 900 * 1/1,04 * (1 - 1/1,04^4) / (1 - 1/1,04) = 3.266,91 (zie blz. 82 van het boek). 

Grafische rekenmachine: 

N = 4

I = 4

PV = 0

PMT = 900

FV = 0

P/Y = 1

C/Y = 1

PMT: END

Resultaat PV = 3.266,91 

Opgaven

Opgaven: H4 opgaven 2 t/m 4 en 7 t/m 10 

Excel: factuuropdracht inleveren