Ruimtetijd-diagram

• Natuurkunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 5

Ruimtetijd-diagram

Bewegingen en gebeurtenissen grafisch weergeven

Hoe groot is de snelheid in deze grafiek?

1. 6,0 m/s
2. 24 m/s
3. 4/6 m/s
4. 6/4 m/s

Plaats,tijd-diagram

v=​Δt​​Δx​​=r.c.

Ruimtetijd-diagram

In een ruimtetijd-diagram zijn de x- en t-as omgedraaid. 

De lijnen van voorwerpen in zo'n diagram heten wereldlijnen.

Ruimtetijd-diagram

De wereldlijn geeft de beweging weer.

Wat is de snelheid van de hond in dit plaatje?

En van de fietser?

Ruimtetijd-diagram

De wereldlijn geeft de beweging weer. Let op:

v=​Δt​​Δx​​=​r.c.​​1​​

Ruimtetijd-diagram

De wereldlijn geeft de beweging weer. 

Een punt op een wereldlijn heet een gebeurtenis. Meer daarover later.

Stilstaand persoon

Wandelaar

Fietser

Auto

Raket

Interpreteren van ruimtetijd-diagram

Alle lijnen beginnen in de oorsprong: op t=0 zijn alle voorwerpen op dezelfde plek.

De raket heeft de kleinste r.c. -> legt in de minste tijd de meeste afstand af -> Heeft de hoogste snelheid.

Tekenen van een ruimtetijd-diagram

1. Kies een referentiepunt (vanuit wiens oogpunt bekijk je de situatie?).
2. Teken de assen.
3. Bepaal op welke afstand het voorwerp start en met welke snelheid het beweegt.
4. Teken de wereldlijn van dit voorwerp. Denk eraan: 
5. Herhaal 3 en 4.

v=​Δt​​Δx​​=​r.c.​​1​​

Vanuit welk oogpunt is dit ruimtetijd-diagram getekend?

1. De hond
2. De fietser
3. Een waarnemer die stilstaat tov de hond
4. Dat kun je niet weten

Laten we het ruimtetijd-diagram van de fietser en de hond nu zelf tekenen!

1. Kies een referentiepunt (vanuit wiens oogpunt bekijk je de situatie?).
2. Teken de assen.
3. Bepaal op welke afstand het voorwerp start en met welke snelheid het beweegt.
4. Teken de wereldlijn van dit voorwerp. Denk eraan: 
5. Herhaal 3 en 4.

v=​Δt​​Δx​​=​r.c.​​1​​

Laten we het ruimtetijd-diagram van de fietser en de hond nu zelf tekenen!

Toevoeging: de eigenaar van de hond staat 6,0 m bij ons vandaan op t=0 s. Ze lopen met een snelheid van 0,5 m/s naar hun hond toe om die op te pakken.

Teken de wereldlijn van de hondeigenaar in hetzelfde ruimtetijd-diagram.

v=​Δt​​Δx​​=​r.c.​​1​​

Laten we het ruimtetijd-diagram van de fietser en de hond nu zelf tekenen!

Geef de tijdstippen waarop de fietser en de hondeigenaar bij de hond zijn aan met een stip.

Wat weet je over deze twee gebeurtenissen?

En nu vanuit het oogpunt van de fietser!

1. Kies een referentiepunt (vanuit wiens oogpunt bekijk je de situatie?).
2. Teken de assen.
3. Bepaal op welke afstand het voorwerp start en met welke snelheid het beweegt.
4. Teken de wereldlijn van dit voorwerp. Denk eraan: 
5. Herhaal 3 en 4.

v=​Δt​​Δx​​=​r.c.​​1​​

Deel II - Minkowski diagram

Ruimtetijd-diagrammen in de context van de relativiteitstheorie

Wanneer speelt relativiteit een rol?

Herinner je de gammafactor:

Voor v = 0 is deze 1, en voor v > 0 is deze groter dan 1.

Pas als                 zien we relativistische effecten zoals tijdrek. Dat betekent dus bij snelheden dichtbij c.

γ=​⎷​​​​​​​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​1​​​​​

γ≫1

Wanneer speelt relativiteit een rol?

Herinner je de gammafactor:

Voor v = 0 is deze 1, en voor v > 0 is deze groter dan 1.

De kruissnelheid van een passagiersvliegtuig is 828 km/u. Bereken de gammafactor bij deze snelheid.

γ=​⎷​​​​​​​1−​c​2​​​​v​2​​​​​​1​​​​​

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Teken de wereldlijn van een lichtstraal die begint op t = 0 in dit diagram. Denk eraan:

v=​Δt​​Δx​​=​r.c.​​1​​→r.c.=​v​​1​​

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Hij staat er al in! De r.c. is zo klein dat hij op deze schaal niet zichtbaar is, de lijn valt vrijwel samen met de x-as...

r.c.=​v​​1​​=​c​​1​​=​3⋅10​8​​​​1​​≈3,3⋅10​−9​​

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Hij staat er al in! De r.c. is zo klein dat hij op deze schaal niet zichtbaar is, de lijn valt vrijwel samen met de x-as...

r.c.=​v​​1​​=​c​​1​​=​3⋅10​8​​​​1​​≈3,3⋅10​−9​​

Niet handig!

Zeker omdat we voor v~c juist relativistische effect verwachten en dus naar diagrammen bij die snelheden willen kijken.

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Oplossing: tijd-as herschalen:

Eenheid ct =

t→ct

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Oplossing: tijd-as herschalen:

Eenheid ct = m

(c)t en x hebben nu dezelfde eenheid en zijn gelijkwaardig

t→ct

ct (m)

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Betekenis:

Tijd waarin het licht 6 m aflegt

ct (m)

Hoe ziet de wereldlijn van een lichtstraal er nu uit?

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Betekenis:

Tijd waarin het licht 6 m aflegt

Wereldlijnen van  lichtstralen hebben een r.c. van 1 (en dus een hoek van 45^o met beide assen)

Backup

Hoe snel (in # keer c) gaan deze voorwerpen?

Antwoord:

0,33c

1c

3c

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Aanname relativiteitstheorie: c = v_max, dus alle wereldlijnen door (0,0) moeten een r.c. > 1 hebben.

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Alle wereldlijnen door (0,0) moeten een r.c. > 1 hebben.

Alles dat we kunnen zien en beinvloeden ligt in de witte driehoek.

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

In 2D is dit een kegel. Dit heet de lichtkegel.

De lichtkegel laat zien welke gebeurtenissen we in de toekomst kunnen waarnemen en welke gebeurtenissen uit het verleden ons hebben kunnen beïnvloed.

Lichtstralen in ruimtetijd-diagrammen

Ok, maar wat betekent het als een gebeurtenis in onze lichtkegel ligt? En erbuiten?