Oefentoets Hfst 4 met uitwerkingen

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

oefentoets H4 HANDIG TELLEN

Gebruik bij het berekenen van de antwoorden naast je GR ook papier en pen. Werk de antwoorden dus uit in je schrift! Op de echte toets moet je altijd laten zien hoe je aan je antwoord komt, dus dan is een antwoord zonder berekening of toelichting fout!!

Sleepvraag!

Permutatie

Combinatie

UIt een klas worden zes leerlingen gekozen om een volleybalteam te vormen.

Bij een verloting zijn drie prijzen te winnen: een fiets, een GR en een taart.

In een klas worden vijf kaartjes verloot voor een concert.

Uit de toptien van vorige week stel je een persoonlijke top 3 samen.

Van 100 leraren van een school komen er vijf op een feest. 

Uit een selectie van 18 personen wordt een spelersraad van 6 spelers samengesteld. Hoeveel spelersraden zijn mogelijk?

Reken het antwoord voor jezelf uit met de GR!

Antwoord:

6 personen uit groep van 18 --> combinatie, want uit de tekst blijkt niet dat de spelers ieder een aparte functie hebben

             --> 18 nCr 6 = 18564

(​6​18​​)

In een mediatheek staan  20 cd's  met klassieke muziek, 9 cd's met popmuziek en 5 cd's met nederlandstalige muziek.

Reken het antwoord voor jezelf uit en sleep de vraag naar het juiste aantal mogelijkheden.

278256

1860480

15504

5379616

84

Manon kiest 5 cd's met klassieke muziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Bart kiest 6 cd's met popmuziek. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Judith kiest uit alle cd's er 7 uit. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Manon kiest uit 20 cd's met klassieke muziek 5 cd's met klassieke muziek:

(​5​20​​)

= 20 nCr 5 = 15504

Bart kiest uit 9 cd's met popmuziek 6 cd's met popmuziek:

(​6​9​​)

= 9 nCr 6 = 84

Judith kiest uit alle cd's  (34 stuks) er 7 uit:

(​7​34​​)

= 34 nCr 7 = 5379616

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

1. Op hoeveel manieren kunnen deze 14 boeken gerangschikt staan? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.

14 boeken kun je op 14! manieren rangschikken

Er zijn 14 plaatsen beschikbaar en de volgorde is belangrijk!

14!=8,7⋅10​10​​

Eerste boek --> keuze uit 14 plaatsen

Tweede boek --> keuze uit 13 plaatsen

Etc.

Totaal aantal mogelijkheden:

14 x 13 x 12 x ................x 3 x 2 x 1 = 14! 

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

2. Als Sabine 7 boeken van Yvonne wil lenen, hoeveel mogelijkheden zijn er dan?

7 boeken uit een totaal van 14 zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet), dus het is een combinatie (groepje uit aantal):

14 boven 7  --> 14 nCr 7 = 3432

Er zijn 3432 mogelijkheden om 7 boeken uit een totaal van 14 boeken te halen. 

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

3. Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine één Engels boek, één Frans boek en één Duits boek van Yvonne leent?

      6            x            3             x           5   = 90

Engels            en

 Frans             en

Duits 

<--  keuze uit

Dit komt ook overeen met het wegendiagram  of verschillende kledingcombinaties of de keuzes voor verschillende gerechten per gang in menu's. Per handeling heb je een aantal mogelijkheden.

Van elke taal één boek:

Op de boekenplank van Yvonne staan zes Engelse boeken, drie Franse boeken en vijf Duitse boeken. 

4. Hoeveel mogelijkheden zijn er als Sabine twee Engelse boeken leent?

2 boeken uit een totaal van 6 Engelse boeken zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet):

6 boven 2  --> 6 nCr 2 = 15

Er zijn dus 15 mogelijkheden.

Gerrit gooit 12 keer met een muntstuk. 

5. Hoeveel mogelijkheden zijn er om 8 keer munt te gooien?

Er ontstaat dan een rijtje met 8 keer munt en 4 keer kop. Zo'n rijtje zou er bijvoorbeeld zo uit kunnen zien: KMMMKKMMMKMM

Er zijn in totaal 12 boven 8 dus 12 nCr 8 = 495 rijtjes mogelijk.

Gerrit gooit 12 keer met een muntstuk. 

6. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

Per worp zijn er steeds twee mogelijkheden: K of M

In totaal: 

2 x 2 x 2 x 2 x....x 2=

2​12​​=4096

Er zijn in totaal 4096 mogelijke series van Kop of Munt bij 12x gooien.

Worp 1

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

7. Meerdere keren mag worden gebruikt en het getal met een even cijfer moet beginnen?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 cijfers

eerste cijfer moet even zijn (3 mogelijkheden), de andere cijfers mogen alles zijn (dus 6 mogelijkheden, want met herhaling!)

Vier plaatsen, eerste cijfer moet even zijn:

even

3       x          6        x       6        x       6         =      648

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

8. Hoogstens één keer mag worden gebruikt en het getal groter dan 5400 moet zijn?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

Geen herhaling  en groter dan 5400

Eerste cijfer een 6 of hoger --> 3 mogelijkheden (6, 7, 8)

Tweede, derde en vierde cijfer mogen alles zijn (maar geen herhaling dus steeds -1 mogelijkheid) geeft:

Eerste cijfer een 5  --> één mogelijkheid

Tweede cijfer een 4, 6, 7 of 8  --> vier mogelijkheden (3 mag niet --> te laag  en 5 mag niet --> geen herhaling)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn, maar geen herhaling dus er vallen respectievelijk twee en drie van de zes mogelijkheden af

Totaal aantal mogelijkheden: 180 + 48 = 228

3      x      5       x      4         x    3     =   180

1      x      4       x      4         x    3     =   48

Geen herhaling en groter dan 5400:

Als het eerste cijfer een 6 of hoger is (6, 7 of 8) dan mogen het tweede, derde en vierde cijfer alles zijn dus

 

3 (een 6, 7 of 8) x 5 (geen herhaling 6 - 1 = 5) x 4 (geen herhaling) x 3 (geen herhaling ) geeft 3 x 5 x 4 x 3 = 180

Een 5 als eerste cijfer kan ook, maar dan moet het tweede cijfer een 4 of hoger zijn! Het derde en vierde cijfer mogen weer alles zijn, behalve de cijfers die al geweest zijn:

1 (alleen een 5) x 4 (4, 6, 7, 8 want 5 mag niet --> geen herhaling) x 4 (geen herhaling dus 6 - 2 mogelijkheden ) x 3 (geen herhaling) geeft 1 x 4 x 4 x 3 = 48

In totaal dus 180 + 48 = 228 mogelijkheden

Van de cijfers 3, 4, 5, 6, 7 en 8 worden getallen van vier cijfers gemaakt. Voorbeelden van zulke getallen zijn 3574, 8743, 7775 en 6565. Hoeveel van deze getallen zijn er als elk cijfer

9. Meer dan één keer mag worden gebruikt en het getal kleiner dan 6600 moet zijn?

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

Geen herhaling  en kleiner dan 6600

Eerste cijfer een 5 of lager --> drie mogelijkheden

Tweede, derde en vierde cijfer mogen alles zijn dus

Eerste cijfer een 6  --> één mogelijkheid

Tweede cijfer een 5, 4 of 3  --> drie mogelijkheden (6 mag niet --> het cijfer 0 zit er niet bij!)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn want het tweede cijfer is hoogstens een 5

Totaal aantal mogelijkheden: 648 + 108 = 756

3      x      6       x      6         x    6     =   648

1      x      3       x      6         x    6     =   108

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

10. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met precies drie meisjes?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met precies 3 meisjes en dus 2 jongens:

Aantal mogelijkheden meisjes '11 boven 3' --> 11 nCr 3 = 165

Aantal mogelijkheden jongens '10 boven 2'--> 10 nCr 2 = 45

Totaal aantal mogelijkheden: 11 nCr 3 x 10 nCr 2 = 7425

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

11. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met hoogstens twee meisjes?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met hoogstens 2 meisjes dus met 

0 meisjes of 1 meisje of 2 meisjes --> per situatie mogelijkheden uitrekenen en optellen (somregel): 

Aantal mogelijkheden met 0 meisjes (dus alleen jongens): 10 nCr 5 = 252

Aantal mogelijkheden met 1 meisje en 4 jongens:  11 nCr 1 x 10 nCr 4  = 2310

Aantal mogelijkheden met 2 meisjes en 3 jongens: 11 nCr 2 x 10 nCr 3 = 6600

Totaal aantal mogelijkheden: 252 + 2310 + 6600 = 9162

Er zijn 9162 mogelijke schoonmaakploegen met hoogstens 2 meisjes.

Op een school bestaat de feestcommissie uit 10 jongens en 11 meisjes. Na elk feest maken vijf leden van de feestcommissie de zaal schoon. 

12. Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met meer dan drie jongens?

10 jongens en 11 meisjes --> 21 leerlingen

Een schoonmaakploeg bestaat uit 5 leerlingen

Aantal schoonmaakploegen met meer dan 3 jongens dus met 4 jongens of met 5 jongens:

Aantal mogelijkheden met 4 jongens en 1 meisje:  10 nCr 4 x 11 nCr 1 = 2310

Aantal mogelijkheden met 5 jongens (en geen meisjes) : 10 nCr 5 x 11 nCr 0 = 252

Totaal aantal mogelijkheden: 2310 + 252 = 2562

Er zijn 2562 mogelijke schoonmaakploegen met meer dan 3 jongens

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

13. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk bij een wedstrijd waarbij de eindstand 7-5 is (en er dus 12 keer is gescoord)?

12 keer gescoord

7x door ploeg A en 5x door ploeg B

Rijtje met 7A's en 5 B's

of

Roosterdiagram van 7 bij 5

Aantal scoreverlopen: 12 nCr 5 = 792

Ploeg B

Ploeg A

0-0

7-5

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

14. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk bij een wedstrijd waar de  ruststand 7-8 is en de eindstand 14-15 is?

Ruststand 7 - 8, eindstand 14 - 15

Dit moet je als twee helften van een wedstrijd zien waar in de eerste helft 15x wordt gescoord, waarbij ploeg A 7 keer scoort en ploeg B 8 keer scoort. Dit levert een rijtje op van 15 A's en B's of een roosterdiagram van 7 bij 8 met A horizontaal en B verticaal.

Totaal aantal mogelijkheden wordt dan 15 boven 7 --> 15C7 = 6435

De tweede helft scoren de teams in totaal nog 14x (elk 7x) en (daarbij hoort dus

7 - 7 als score) waardoor de stand van 7 - 8 naar 14 - 15 gaat.

Bij een score van 7 - 7 horen 14 boven 7 --> 14C7 = 3432 scoreverlopen.

In de eerste helft 6435 mogelijkheden en in de tweede helft 3432 scoreverlopen

In totaal dus 6435 x 3432 = 22084920 scoreverlopen!

Een mogelijk scoreverloop bij een voetbalwedstrijd waarbij drie keer wordt gescoord is 0-0, 0-1, 0-2, 1-2.

15. Hoeveel scoreverlopen zijn er in totaal mogelijk bij een wedstrijd waarbij in totaal acht keer wordt gescoord?

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=2​8​​=256

Bij een wedstrijd waar 8x wordt gescoord en geen eindstand wordt gegeven, kunnen alle eindstanden van 0-8 tot 8-0 en alles wat daar tussenin zit (1-7, 5-3 etc. ) mogelijk zijn. 

Je moet dit nu als volgt zien:

Voor het eerste doelpunt zijn twee mogelijkheden nl. ploeg A scoort of ploeg B scoort. 

Bij het tweede doelpunt zijn weer twee mogelijkheden nl. A scoort of B scoort.

Etc.

Totaal aantal mogelijkheden: 

EINDE