Permutaties en combinaties

• Wiskunde
• Middelbare school
• havo
• Leerjaar 4

Permutaties en combinaties

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen 

met herhaling, 

eerste cijfer moet even zijn

Vier plaatsen:

even

3       x          6        x       6        x       6         =      648

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

3       x          5        x       4        x       3         =      180

Geen herhaling  en groter dan 5900

Eerste cijfer moet minimaal een 6 zijn.

Er is namelijk geen 9 dus kan het eerste cijfer geen 5 zijn.

De andere cijfers mogen alles zijn, maar er mogen geen herhalingen zijn dus:

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

1       x          4        x       4        x       3         =      48    mogelijkheden

Geen herhaling  en groter dan 5400

Eerste cijfer een 6  --> 180 mogelijkheden (zie antwoord vorige vraag)

Eerste cijfer een 5  --> één mogelijkheid

Tweede cijfer een 4, 6, 7 of 8  --> vier mogelijkheden (5 mag niet, geen herhaling)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn, maar geen herhaling dus twee mogelijkheden vallen af

Totaal aantal mogelijkheden: 180 + 48 = 228

3, 4, 5, 6, 7 en 8   -->    6 getallen

1       x          3        x       6        x       6         =      108    mogelijkheden

Met herhaling  en kleiner dan 6600

Eerste cijfer een 5 of lager  --> 3 x 6 x 6 x 6 = 648 mogelijkheden

Eerste cijfer een 6

Tweede cijfer een 3, 4 of 5 (geen 6, want er is geen 0 bij!)

Derde en vierde cijfer mogen alles zijn (met herhaling):

Totaal aantal mogelijkheden: 648 + 108 = 756

17 boeken kun je op 17! manieren rangschikken

17!=3,6⋅10​14​​

Eerste boek --> 17 plaatsen

Tweede boek --> 16 plaatsen

Etc.

17 x 16 x 15 x ................x 3 x 2 x 1 = 17! 

Combinaties

Bij combinaties maakt de volgorde niet uit.

Voorbeeld je hebt een vaas met rode en witte knikkers.

Je kan ook zeggen: er zit geen verschil in hetgeen je selecteert.

Voorbeeld:
een vaas heeft rode en witte ballen.

Hoeveel mogelijkheden heb je om 10 ballen te pakken waarvan er 3 rood zijn?

een vaas heeft rode en witte ballen.

Hoeveel mogelijkheden heb je om 10 ballen te pakken waarvan er 3 rood zijn?

10 NCR 3 = 120

notatie: 

op je rekenmachine behalve via math prob 3 ook:

[alpha]  [window] [8]

(​3​10​​)=120

een vaas heeft rode en witte ballen.

Hoeveel mogelijkheden heb je om 10 ballen te pakken waarvan er 3 rood zijn?

10 NCR 3 = 120

maar er zijn er dan toch ook 7 van de 10 wit?

een vaas heeft rode en witte ballen.

Hoeveel mogelijkheden heb je om 10 ballen te pakken waarvan er 3 rood zijn?

10 NCR 3 = 120

maar er zijn er dan toch ook 7 van de 10 wit?

Dat klopt! Dus ook:  10 NCR 7 = 120

A NCR B = A NCR C   dan C+B=A

10 NCR 2 = 10 NCR 8   (2 + 8 = 10)

3 

(​2​10​​)=45

(​8​10​​)=45

A NCR B = A NCR C   dan C+B=A

10 NCR 2 = 10 NCR 8   (2 + 8 = 10)

12 NCR 5 = 12 NCR 7 (5 + 7 = 12)

(​2​10​​)=45

(​5​12​​)=792

(​7​12​​)=792

(​8​10​​)=45

A NCR B = A NCR C   dan C+B=A

10 NCR 2 = 10 NCR 8   (2 + 8 = 10)

12 NCR 5 = 12 NCR 7 (5 + 7 = 12)

15 NCR 12 = 15 NCR 3 

(​2​10​​)=45

(​5​12​​)=792

(​3​15​​)=455

(​7​12​​)=792

(​8​10​​)=45

(​12​15​​)=455

14 NCR 2 =

1. 14 NCR 8
2. 14 NCR 16
3. 14 NCR 12
4. 14 NCR 10

17 NCR 7 =

1. 17 NCR 8
2. 17 NCR 16
3. 17 NCR 12
4. 17 NCR 10

In een klas zitten 30 meisjes en jongens. Op hoeveel manieren kan ik 4 meisjes en 3 jongens selecteren

1. 30 NCR 7
2. 7 NCR 3
3. 7 NCR 30
4. 4 NCR 7

Let op! 

In de vorige vraag ging het erom dat je een jongen of meisje was. Deze vraag komt geen ander gender voor om de vraag simpel te houden, daarmee is dit een klas die uitzonderlijk is.  Verder is het niet interessant wie je bent. Dus vergelijkbaar met   een vaas met rode en witte balletjes

Uit een klas van 30 leerlingen selecteer ik 7 leerlingen.

Hoeveel mogelijkheden heb ik daarvoor?

Let op! 

Nu zijn alle leerlingen uniek en is het de vraag of ik je wel of niet selecteer.

Uit een klas van 30 leerlingen selecteer ik 7 leerlingen.
Hoeveel mogelijkheden heb ik daarvoor?

Uit een klas van 30 leerlingen selecteer ik 7 leerlingen.

Hoeveel mogelijkheden heb ik daarvoor?

Let op! 

Nu zijn alle leerlingen uniek en is het de vraag of ik je wel of niet selecteer.

Dat kan op 30 NCR 7 manieren

Uit een klas van 30 leerlingen selecteer ik 7 leerlingen.

Hoeveel mogelijkheden heb ik daarvoor?

Let op! 

Nu zijn alle leerlingen uniek en is het de vraag of ik je wel of niet selecteer.

Dat kan op 30 NCR 7 manieren

of 30 NCR 23 manieren ( ik selecteer 23 leerlingen niet!)

7 boeken uit een totaal van 17 zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet), dus het is een combinatie (groep):

17 boven 7  --> 17 nCr 7 = 19448

      9            x            3             x           5   = 135

Engels

Frans

Duits

<--  keuze

Dit komt overeen met het wegendiagram of de keuzes voor verschillende menu's of verschillende kledingcombinaties. Per handeling heb je een aantal mogelijkheden.

2 boeken uit een totaal van 9 Engelse boeken zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet):

9 boven 2  --> 9 nCr 2 = 36

Of je kiest 7 boeken niet! 9 NCR 7 = 36

8 boeken uit een totaal van 9 + 3 = 12 Engelse en Franse boeken zonder rangschikking (volgorde doet er niet toe, ze worden niet op een rij gezet):

12 boven 8  --> 12 nCr 8 = 495

Wat hebben we nu

5!   5 faculteit = 1×2×3×4×5 =120 

5 verschillende letters kan je op 120 manieren achter elkaar leggen 

5 NPR 3 

hoeveel woorden van 3 letters kan je maken als je 5 letters gekregen hebt

ABC, ACB, BCA,BAC, CAB, CBA zijn allen verschillend

5 NCR 3

hoeveel verzamelingen van 3 letters kan je krijgen als je begint met 5 letters

ABC, ACB, BCA,BAC, CAB, CBA zijn allen hetzelfde

Einde