H4.1 Vermenigvuldigingsregels & somregel + H4.2 Tellen met & zonder herhaling

• Wiskunde
• Middelbare school
• vmbo t
• Leerjaar 4

H4.1 Vermenigvuldigingsregel en somregel

H4.1 Hoe je telproblemen overzichtelijk weergeeft:

Wegendiagram   Boomdiagram   Rooster   Systematisch noteren

 Somregel     Productregel

H4.2 Tellen met & zonder herhaling

H4.3 ...wat permutaties, faculteiten en combinaties zijn en hoe je deze gebruikt om telproblemen op te lossen

H4.1 Vermenigvuldigingsregel en somregel

Theorie A Telproblemen in een overzicht(schematiseren):

- boomdiagram                            - wegendiagram   

- systematisch noteren            - rooster

H4.1 Vermenigvuldigingsregel en somregel

De somregel: als het één of het ander van toepassing is.  Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er als je 3 keer 4 of 3 keer 6 gooit met een dobbelsteen

De vermenigvuldigingsregel gebruik je bij gecombineerde handelingen dus b.v. een menu in een restaurant,

 Je neemt een voorgerecht én een hoofdgerecht én een nagerecht

De kans bereken je als volgt:

1. aantal keren iets voorkomt : totaal aantal mogelijkheden
2. totaal aantal mogelijkheden : aantal keren iets voorkomt

Boomdiagram

Aantal combinatie bereken: 2X3X2=12    

 Aantal combinaties: Tellen. Dus boomdiagram 

tekenen!!

Regelmatig

Onregelmatig

Hoeveel mogelijkheden
zijn bij het wegendiagram?

Wegendiagram

1. 3+2+4=9
2. 3​2​​+2​2​​+4​2​​=29
3. 3⋅2⋅4=24

Hoeveel mogelijkheden
zijn bij het boomdiagram?

Boomdiagram

1. 3+2+2=7
2. 3​2​​+2​2​​+2​2​​=17
3. 3⋅2=6

Voordeel

Nadeel

Juist

Onjuist

boomdiagram tekenen kost veel tijd

boomdiagram zie alle mogelijkheden apart

wegendiagram tekenen kost veel tijd

wegendiagram zie je alle mogelijkheden.

Hoeveel mogelijkheden
zijn met 2 dobbelstenen in een worp
som 6 te gooien?

Roosteren

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5

1 + 5 = 6

2 + 4 = 6

3 + 3 = 6

5 + 1 = 6

4 + 2 = 6

___________

5 mogelijkheden

systematisch noteren

Hoeveel mogelijkheden zijn om met 

3 dobbelstenen in een worp som 6 te gooien?

 

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8

1 + 2 + 3 = 6

1 + 3 + 2 = 6

2 + 3 + 1 = 6

3 + 2 + 1 = 6

1 + 1 + 4 = 6

1 + 4 + 1 = 6

4 + 1 + 1 = 6

2 + 2 + 2 = 6

___________

8 mogelijkheden

som 1. Hoeveel wedstrijden zijn er bij een
HELE competitie tussen 8 teams?
(maak bijlage af op papier of formule)

Rooster

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

6 van de 9 jongens

2 van de 5 meisjes

1. 8x8 =64
2. 8x7 = 56
3. 8x6 = 48

aantal teams x (aantal teams -1) = wedstrijden

(8 - 1) x 8 = 56 : 2 = 28  

som 2. Hoeveel wedstrijden zijn er bij een
HALVE competitie tussen 8 teams?
(gebruik bijlage of formule)

Rooster

1. 27
2. 28
3. 31

(8 - 1) x 8 = 56 : 2 = 28  

som 3. Hoeveel wedstrijden zijn er bij een AFVALSYSTEEM met 8 teams zijn?
(gebruik bijlage)

Sytematisch noteren

1. 8
2. 7
3. 6
4. 4

H1.   8 teams : 2 = 4

H2.  4 teams : 2 = 2

H3   2 teams : 2 = 1

___________________

                                7 wedstrijden

Bij een pincode is het eerste getal een 4 of een 5 en het 3e getal is een even getal.

Systematisch noteren

1. 10.000
2. 8.000
3. 1.000
4. 2.000

1ste code 4 of 5               = 2 mogelijkheden

2de code 0 t/m 9           = 10 mogelijkheden

3de code 0, 2,4, 6 en 8 = 5 mogelijkheden 

4de code 0 t/m 9              10 mogelijkheden

2 x 10 x 5 x 10 = 1000

vermenigvuldigingsregel

H4.2  Tellen met & zonder herhaling

H4.1 Hoe je telproblemen overzichtelijk weergeeft:

Wegendiagram   Boomdiagram   Rooster   Systematisch noteren

 Somregel     Productregel

H4.3 ...wat permutaties, faculteiten en combinaties zijn en hoe je deze gebruikt om telproblemen op te lossen

H4.2 Tellen met & zonder herhaling

Hoeveel pincodes zitten in een
4-cijferige pincode?

1. 10x 10 x 10 x 10 = 10.000
2. 10 x 9 x 8 x 7 = 5040
3. 10 x 10 x 10 = 1.000
4. 4 x 4 x 4 x 4 = 256

Code1    0 t/m 9 = 10 

Code2   0 t/m 9 = 10

Code3   0 t/m 9 = 10

Code4   0 t/m 9 = 10

________________

10 x10 x10 x 10 = 10.000 pincodes

Tellen zonder herhaling

Groep van 8 personen. 

Ze kiezen:

- voorzitter

- secretaris

- penningmeester.

Combinaties?

Tellen met herhaling

Groep van 8 personen. 

Ze kiezen:

- voorzitter

- secretaris

- penningmeester.

Combinaties:

zonder: 

8 x 7 x 6 = 336

zonder: 

8 x 8 x 8 = 512

zonder herhaling             met herhaling

8 x 7 x 6 = 336                    8 x 8 x 8 = 512

Tellen zonder herhaling

Nummerborden:

- 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

- vijf klinkers (aeiou) worden    niet gebruikt (bv: 12 - wr - tq)

Combinaties zijn?

Tellen met herhaling

Nummerborden:

- 2 cijfers - 2 letters - 2 letters

-  vijf klinkers (aeiou) worden 

    niet gebruikt (bv: 12 - wr - tq) 

Combinaties?

zonder: 

10 x 9 x 21 x 20 x 19 x 18 =12.927.600

met: 

10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19 448 100

zonder

10 x 9 x 21 x 20 x 19 x 18 =12 927 600

dus er zijn 12 927 600 combinaties mogelijk

met 

10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19 448 100

dus er zijn 19 448 100 combinaties mogelijk

H4.3 Permutaties, faculteiten en combinaties

H4.1  Hoe je telproblemen overzichtelijk weergeeft:

           Wegendiagram   Boomdiagram   Rooster   Systematisch noteren

           Somregel     Producregel

H4.2 Tellen met & zonder herhaling

H4.3 ...wat permutaties, faculteiten en combinaties zijn en hoe je deze gebruikt om telproblemen op te lossen

zonder: 

10 x 9 x 21 x 20 x 19 x 18 =12.927.600

3 v/d 8 leerlingen worden uitgekozen: 1 voor muziek, 

1 voor drank en 1 voor hapjes.

Het aantal permutaties van 

3 uit 8 is 8x7x6

- knop OPTN en

- PROB 

- 8nPr3 = 336

Als 8 van de 8 leerlingen een taak krijgen.  

Het aantal permutaties van

 8 uit 8 is 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1

- knop OPTN en

- PROB 8Prn8 of 8! = 40320

Permutaties = rangschikking zonder herhaling

.

NIET GOED

Dan is 5x4x3 niet goed, 

omdat bv ABC hetzelfde is als BCA en ACB en

.

Goed

omdat bv ABC hetzelfde is als BCA en ACB en...Er zijn iedere keer 3! dezelfde stellen.

Daarom berekenen we een combinatie van 3 uit 5 als 

​3!​​5⋅4⋅3​​=​6​​60​​=10

Combinatie                                         Permutatie

 geen volgorde                                  gerangschikt

 Uit 5 (ABCDE) leerlingen worden er 3 gekozen voor een team.

met herhaling         zonder herahling

drei-lettercode        vier lettercode

H1 e t/m y = 6           H1  6 mogelijkheden

H2 e t/m y = 6          H2  6-1  = 5

H3 e t/m y = 6          H3  6-1-1 = 4

_____________           H4 6-1-1-1 = 3

                                    ______________

6 x 6 x 6 = 218          6 x 5 x 4 x 3  = 360

afvalsysteem : 32 ll

Ronde 1     32:2 = 16

Ronde 2    16: 2 = 8

Ronde 3     8 : 2 = 4

Ronde 4    4 : 2 = 2

Ronde 5     2 : 2 = 1

_______________________

31 WEDSTRIJDEN

                         afvalwedstrijden met 16 ll.

H1 ronde 1      16 : 2 =  8

H2 ronde 2      8 : 2 =  4

H3 ronde 3      4 : 2 =   2

H4 ronde 4      2 : 1  =  1

                           ________________

                          8 + 4 + 2 + 1 =  15 wedstr.

  

40 ll in twee rondes. 

Aantal afvalwedstrijden?

RONDE 1        

per groep = 5 ll  5 ll spelen tegen elkaar 

hele comp. gr.1 =  5 ll x (5 ll-1 ll)  = 20 wedstr.

gr 1 t/m gr 8 is dus 8 x 20 = 160 wedst.

RONDE 2 

8 groepen met 2 ll  = 16 spelers

H1  ronde 1   16 : 2 = 8

H2 ronde 2   8 : 2   = 4

H3 ronde 3   4 : 2   = 2

H4 ronde 4   2: 2   = 1

____________________

15 wedstrijden

Combinaties: als er GEEN volgorde is

Uit 5 (ABCDE) leerlingen worden er 3 gekozen voor een schoonmaakploeg.

Dan is 5x4x3 niet goed, omdat bv ABC hetzelfde is als BCA en ACB en...

Er zijn iedere keer 3! dezelfde stellen.

Daarom berekenen we een combinatie van 3 uit 5 als 

​3!​​5⋅4⋅3​​=​6​​60​​=10

Combinaties en GR

Het aantal combinaties van 3 uit 5 noteren we als:

Dat spreek je uit als 5 boven 3

Op de GR: 5nCr3=10

(​3​5​​)=​3⋅2⋅1​​5⋅4⋅3​​=​3!​​5⋅4⋅3​​=​6​​60​​=10

(​3​5​​)

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes. Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 5 meisjes?

Dan heb je dus 6 meisjes of 5 meisjes en 1 jongen

6 van de 9 jongens

2 van de 5 meisjes

(​6​9​​)+(​5​9​​)⋅(​1​6​​)=84+126⋅6=840

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes  Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met 2 jongens?

Volgorde is niet van belang dus combinatie: 

(​3​5​​)

(​2​6​​)⋅(​4​9​​)=15⋅126=1890

2 van de 6 jongens

4 van de 9 meisjes

Op de GR 6nCr2 x 9nCr4

Combinaties toepassen

Er zijn 6 jongens en 9 meisjes

Je hebt een groepje van 6 nodig.

Hoeveel mogelijkheden zijn er met minstens 5 meisjes? 

Dan heb je dus 6 meisjes of 5 meisjes en 1 jongen

(​6​9​​)+(​5​9​​)⋅(​1​6​​)=84+126⋅6=840

Op de GR 9nCr6 + 9nCr5 x 6 nCr 1

Dus er zijn 840 mogelijke combinaties

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

(​0​6​​)⋅(​1​6​​)⋅(​2​6​​)⋅(​3​6​​)⋅(​4​6​​)⋅(​5​6​​)⋅(​6​6​​)=64

Op de GR 6nCr0+6nCr1+6nCr2+6nCr3+6nCr4+6nCr5+6nCr6

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, op 2 ervan moet een A komen op 4 een B

dus bv: ABBABB

Hoeveel mogelijkheden zijn er?  

Er zijn 6x5 mogelijkheden om de A te plaatsen , maar omdat het een combinatie is, (de volgorde maakt niet uit) moet je dat nog delen door 2! 

(​2​6​​)=15

Op de GR 6nCr2 of 6nCr4

Dus er zijn 15 combinaties mogelijk

Omdat het ook 4 B's van de 6 plekken zijn is dat hetzelfde als:

(​4​6​​)=15

Aantal rijtjes A's en B's

Je hebt 6 plekken, 6A's en 6 B's

Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?  

Dit kan ook makkelijker: 

op de eerste plek staat een A of een B, 2 mogelijkheden dus. 

Dat is bij 6 plekken zo dus 

2​6​​=64

Dus er zijn 64 mogelijkheden

Routes in een rooster

Hoeveel mogelijkheden zijn er om van A naar C te komen zonder omwegen? 

Om van A naar C te komen moet je 13 stappen zetten. 5 ervan moeten omhoog de volgorde maakt niet uit dus: 

(​5​13​​)

(​8​13​​)

Je kan ook van de 13 stappen 8 stappen naar rechts zetten dan krijg je 

Er zijn dus 1287 mogelijkheden

=1287

Routes in een rooster

Hoeveel mogelijkheden zijn er om van A naar C via B te komen zonder omwegen? 

Van A naar B zijn 6 stappen, waarvan 2 omhoog EN van B naar C zijn 7 stappen waarvan 3 omhoog dus: 

(​2​6​​)

(​4​6​​)⋅(​4​7​​)

Hier kan dus ook:

(​3​7​​)

⋅

=525

Er zijn dus 525 mogelijkheden

In deze les hebben we behandeld...

...hoe je telproblemen overzichtelijk weergeeft

...dat er regels zijn waarmee je telproblemen kan oplossen

...wat permutaties, faculteiten en combinaties zijn en hoe je deze gebruikt om telproblemen op te lossen 

Wat heb je geleerd in deze les?

Wat heb je nog niet zo goed begrepen van deze les?