4v afgeleide 5

• Wiskunde
• Middelbare school
• vwo
• Leerjaar 4

Welkom

Hoe klein kan je gaan? 

Met behulp van limieten kun je met oneindig kleine intervallen werken. 

Lesdoel

• Je weet wat de afgeleide is, en kunt die met behulp van een limiet berekenen.
• Breuken herleiden: je begrijpt wat er aan de hand is als de noemer = 0.
• Je begrijpt dat een gebroken functie een perforatie kan hebben. 

Nog even terug naar H3: toetsopgave 6

​1−​x​​1​​​​4​​=x+3

Herleid:

​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

Dus f (x) valt bijna helemaal samen met          nnnn 

Voor x=2 heeft de grafiek een perforatie. 

Er geldt: 

Je kunt zeggen: "4 is de continumakende waarde van f voor x=2.

f(x)=​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

g(x)=x​2​​

​x→2​lim​​f(x)=4

​x−2​​x​3​​−2x​2​​​​

Bereken

​x→0​lim​​​x​​x​​

1. -1
2. 0
3. 1
4. weet ik niet

Bereken

​x→1​lim​​​x−1​​2x−2​​

1. 1
2. 2
3. 0
4. weet ik niet

Bereken

​x→1​lim​​​x−1​​x​2​​−1​​

1. 1
2. 2
3. 0
4. weet ik niet

De afgeleide functie 

De afgeleide van een functie f geeft voor elke x

• De richtingscoëfficient van de raaklijn van de grafiek van f in dat punt.
• de helling van de grafiek van f in dat punt.

De afgeleide is als volgt gedefinieerd:

f​′​​(x)=​dx→0​lim​​​dx​​f(x+dx)−f(x)​​

Voorbeeld:

Gegeven is de functie

a. Bereken 

b. Toon aan: 

f(x)=​2​​1​​x​2​​

f​′​​(4)

f​′​​(x)=x

Dit kan ook algemener:

f(x)=ax​2​​

De afgeleide functie 

De afgeleide van een functie f geeft voor elke x

• De richtingscoëfficient van de raaklijn van de grafiek van f in dat punt.
• de helling van de grafiek van f in dat punt.

Dus: 

De functie koppelt aan elke x een waarde:

De afgeleide functie koppelt aan elke x nóg een waarde, de helling. 

De vorm van de afgeleide functie hangt af van de functie. 

f(x)=x​2​​

f(x)=2x

f(x)=2

Afgeleide

Afgeleide

Afgeleide

Grafiek

Grafiek

Grafiek

Helling-grafiek

Helling-grafiek

Helling-grafiek